- •Колебания. Волны. Оптика
- •1.Колебания
- •1.1.Гармонические колебания
- •1.1.1. Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний
- •1.1.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Комплексная форма представления гармонических колебаний
- •1.1.3. Примеры колебательных движений различной физической природы
- •1.1.3.1. Колебания груза на пружине
- •Где – коэффициент жёсткости пружины, – координата положения равновесия, х – координата груза (материальной точки) в момент времени ,- смещение от положения равновесия.
- •1.1.3.2. Маятники
- •1.1.4. Сложение колебаний (биения, фигуры Лиссажу). Векторное описание сложения колебаний
- •1.1.5. Энергия колебаний
- •1.2. Ангармонический осциллятор
- •1.2.1. Линейность и принцип суперпозиции. Границы его применимости
- •1.2.2. Ангармонический осциллятор
- •1.3. Свободные затухающие колебания осциллятора с потерями
- •Она пропорциональна числу колебаний за время релаксации.
- •1.4. Вынужденные колебания. Время установления вынужденных колебаний. Его связь с добротностью осциллятора
- •1.5.Электромагнитные процессы в колебательном контуре с током
- •1.5.1. Свободные колебания в контуре
- •1.5.2. Свободные затухающие колебания в контуре
- •1.5.3. Вынужденные электрические колебания. Резонанс в последовательном контуре
- •1.5.4.Резонанс в параллельном контуре
- •1.5.5.Переменный ток
- •1.6.Связанные колебания. Нормальные моды связанных осцилляторов
- •1.6.1.Системы с двумя степенями свободы Нормальные моды колебаний
- •1.6.2.Общее решение для мод
- •2.Волны в упругой среде
- •2. 1. Волновое движение. Продольные и поперечные волны
- •2.2. Волновое уравнение в пространстве. Плоская гармоническая волна. Длина волны, волновое число, фазовая скорость. Одномерное волновое уравнение. Упругие волны в газах, жидкостях и твердых телах
- •2.3.Энергия волны
- •2.4.Принцип суперпозиции волн
- •2.5.Образование стоячих волн
- •2.6.Свободные колебания системы со многими степенями свободы. Волны – колебания непрерывных систем
- •2.7. Стоячие волны как нормальные моды колебаний
- •2.8. Моды поперечных колебаний непрерывной струны
- •2.9. Эффект Доплера
- •2.10. Электромагнитные волны
- •2.10.2. Энергетические характеристики электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга
- •2.10. 2.1.Энергия и импульс электромагнитного поля. Сохранение энергии и импульса в изолированной системе произвольно движущихся зарядов
- •2.10.2.2. Работа, совершаемая полем при перемещении зарядов
- •2.10.2.3.Энергия электромагнитного поля. Плотность и поток энергии. Закон изменения энергии
- •2.10.2.4. Закон сохранения энергии для изолированной системы «поле- заряды»
- •2.10.2.5. Импульс электромагнитного поля. Закон сохранения импульса и момента импульса
- •2.10.3 Излучение диполя
Колебания. Волны. Оптика
1.Колебания
Лекция 1
1.1.Гармонические колебания
1.1.1. Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний
Колебание – один из самых распространённых процессов в природе и технике. Колебания – это процессы, повторяющиеся во времени. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведённых часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни. Звук – это колебания давления воздуха, радиоволны – периодические изменения напряжённости электрического и магнитного поля, свет – это тоже электромагнитные колебания. Землетрясения – колебания почвы, приливы и отливы – изменение уровней морей и океанов, вызываемые притяжением луны и т.д.
Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и др. Несмотря на такое многообразие, все колебания описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями.
Первыми учёными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей и Христиан Гюйгенс. Галилей установил независимость периода колебаний от амплитуды. Гюйгенс изобрёл часы с маятником.
Любая система, которая, будучи слегка выведена из положения равновесия, совершает устойчивые колебания, называется гармоническим осциллятором. В классической физике такими системами являются математический маятник в пределах малых углов отклонения, груз в пределах малых амплитуд колебаний, электрический контур, состоящий из линейных элементов ёмкости и индуктивности.
Гармонический осциллятор можно считать линейным, если смещение от положения равновесия прямо пропорционально возмущающей силе. Частота колебаний гармонического осциллятора не зависит от амплитуды. Для осциллятора выполняется принцип суперпозиции - если действуют несколько возмущающих сил, то эффект их суммарного действия может быть получен как результат сложения эффектов от действующих сил в отдельности.
Гармонические колебания описываются уравнением (рис.1.1.1)
(1.1.1)
где х -смещение колеблющейся величины от положения равновесия,А– амплитуда колебаний, равная величине максимального смещения,- фаза колебаний, определяющая смещение в момент времени,- начальная фаза, определяющая величину смещенияв начальный момент времени,- циклическая частота колебаний.
Время одного полного колебания называется периодом, , где- число колебаний, совершенных за время.
Частота колебаний определяет число колебаний, совершаемых в единицу времени, она связана с циклической частотой соотношением, тогда период.
Скорость колеблющейся материальной точки
,
ускорение
. (1.1.2)
Таким образом, скорость и ускорение гармонического осциллятора также изменяются по гармоническому закону с амплитудами исоответственно. При этом скорость опережает по фазе смещение на, а ускорение – на(рис.1.1.2).
Из сопоставления уравнений движения гармонического осциллятора (1.1.1) и (1.1.2) следует, что, или
. (1.1.3)
Это дифференциальное уравнение второго порядка называется уравнением гармонического осциллятора. Его решение содержит два постоянные аи, которые определяются заданием начальных условий
.
Отсюда .
Если периодически повторяющийся процесс описывается уравнениями, не совпадающими с (1.1.1), он н6азывается ангармоническим. Система, совершающая ангармонические колебания, называется ангармоническим осциллятором.