6. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Классическая физика рассматривает движение тел со скоростями, много меньшими скорости света . При скоростях, близких к скорости света законы классической механики не выполняются. Эти процессы и явления рассматривает релятивистская механика или специальная теория относительности.

Специальная теория относительности была создана А. Эйнштейном в 1905году и представляет собой физическую теорию пространства и времени. Основу этой теории образуют два постулата: принцип относительности Эйнштейна и принцип постоянства скорости света.

6.1.ПОСТОЯНСТВО СКОРОСТИ СВЕТА. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. СВЯЗЬ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ

Главный парадокс теории относительности заключается в том, что скорость света в пустоте должна быть одной и той же для всех наблюдателей. Экспериментально установлено значение скорости света м/с. Эйнштейн объяснил этот “странный” результат “странными “ свойствами пространства и времени. Он предположил, что с точки зрения движущегося наблюдателя пространство “сокращается” в направлении движения враз, а время по измерению того же движущегося наблюдателя во столько же раз “замедляется”. Иными словами, Эйнштейн “поправил” пространство и время , причем так, чтобы получить правильный результатдля любого светового импульса и любого наблюдателя , движущегося с постоянной скоростью (и- координата и время, измеренные движущимся наблюдателем). Таким образом, первый принцип теории относительности – постоянство скорости света во всех инерциальных системах отсчета.

Второй принцип теории относительности – принцип относительности Эйнштейна - является обобщением принципа относительности Галилея на релятивистский случай: законы физики выполняются одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Неизменность вида уравнения при замене в нем координат и времени одной системы отсчета координатами и временем другой системы называется инвариантностью. Поэтому принцип относительности можно сформулировать следующим образом: уравнения, выражающие законы

природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Применим оба принципа теории относительности к простой разновидности часов – световым часам. Они представляют собой два обычных зеркала, установленных параллельно друг другу на расстоянии (рис.6.1). Такое устройство может служить своего рода часами, если поверхности зеркал абсолютно отражающие и короткий световой импульс бегает между ними в прямом и обратном направлениях. Пусть- время, за которое импульс света, отразившись от нижнего зеркала, достигнет верхнего. Часы “тикают” всякий раз, когда свет отражается от зеркала. Рассмотрим две пары вполне идентичных часови, причем частота их синхронизована и период тиканья равен. Часыдвижутся вправо со скоростью. Останется ли длина движущихся часовтакой же, как у часов? Пусть на конце часовимеется небольшая кисточка с краской. Когда часыпроходят мимо часов, эта кисточка оставляет на часахметку, и, если метка приходится на край часов, то это означает, что длина часовне изменилась. Если же метка окажется ниже края часов, то длина часовпри движении сократилась. Предположим, что именно последний случай и реализован в действительности. Тогда наблюдатель, движущийся вместе с часами, увидит, что движущиеся часыстали короче. С другой стороны, с точки зрения наблюдателядвижущиеся относительно него световые часы окажутся длиннее. Однако, согласно принципу относительности, оба наблюдателя совершенно равноправны и оба должны наблюдать один и тот же эффект. Это возможно лишь в том случае, когда обоим наблюдателям обе пары часов кажутся одной и той же длины.

Рассмотрим наблюдателя (рис.6.2). Ему путь светового луча от одного края часовдо другого будет представляться более длинным, чем в часах(световой импульс относительно наблюдателядвижется по диагонали со скоростью света). Следовательно, с точки зрения наблюдателясветовому импульсу в часахпонадобится больше времени для того, чтобы достичь верхнего зеркала, чем световому импульсу в часах. Обозначим этот больший промежуток времени, тогда длина диагонали равна, и по теореме Пифагора, отсюда

.

В теории относительности множитель, стоящий перед , встречается очень часто и обозначается.

Наблюдатель видит тиканье часовчерез время, а тиканье своих часовчерез время. Таким образом, любой наблюдатель обнаруживает замедление хода движущихся часов враз по сравнению с точно такими же, но находящимися в покое часами. Величинаназывается собственным временем. Это измеренный наблюдателем промежуток времени между двумя событиями, которые наблюдатель видит в одной и той же точке пространства. Тогда- промежуток времени между теми же событиями, но измеренный движущимся наблюдателем по его собственным часам. Собственное время– это время, измеренное наблюдателем, движущимся вместе с часами. Оно одинаково во всех инерциальных системах отсчета, т.е. является инвариантом.

Теория относительности Эйнштейна приводит к взаимосвязи пространства и времени. Эта взаимосвязь состоит в образовании единого пространства-времени, т.е. четырехмерного пространства, по трем осям которого откладывают пространственные координаты x,y,z, а по четвертой – временную координату . Какое-либо событие характеризуется местомx,y,z, и временем , когда оно произошло. Таким образом, событию отвечает в четырехмерном пространстве точка с координатами (x,y,z,ct). Эту точку называют мировой точкой.

Итак, пространство и время являются частями единого целого. Однако время качественно отличается от пространства. Это проявляется в отличии четырехмерного пространства от обычного трехмерного. В трехмерном пространстве используется евклидова метрика, и квадрат расстояния между точками .

Квадрат расстояния между двумя мировыми точками называется интервалом и равен

Это пространство является псевдоевклидовым.

6.2. Преобразования лоренца

Рассмотрим двух наблюдателей, движущихся с относительной скоростью (рис.6.3). Один наблюдатель , другой . Наблюдатель находится в системе координат , а наблюдатель - в системе . Назовем эту систему штрихованной. Необходимо найти такие уравнения преобразования координат, чтобы тело, движущееся со скоростью в нештрихованной системе, двигался бы в штрихованной системе с той же скоростью, т.е. еслиx=ct, то . Общий вид преобразования координат

(6.1)

где - некоторые функции скорости.

Будем считать, что в начальный момент времени ( при ) начала координат обеих систем совпадали, а движение происходит в направлении оси, поэтому.

Рассмотрим часы, которые находятся в точке , время между их “тиканьями” составляет. НаблюдательX видит движущиеся часы, время между “тиканьями” которых , тогда прии из (6.1) получаем. Таким образом,.

Для наблюдателя X часы движутся со скоростью , он их видит при , подставив в (6.1), получаем, тогда.

Чтобы найти коэффициент , поместим часы в начало координат X. В соответствии с принципом относительности наблюдатель видит их удаляющимися влево со скоростью. Таким образом,приx=0. Тогда из (6.1) получаем

и . С учетом сказанного уравнения (6.1) пронимают вид:

Известно, что при x=ct . Подставив это выражение в последнюю систему уравнений и разделив первое уравнение на второе, получаем:

.

Отсюда , и.

Мы получили все коэффициенты уравнений (6.1), тогда эти уравнения принимают вид:

(6.2)

Эта система уравнений в физике называется преобразованиями Лоренца. Она выражает штрихованные координаты через нештрихованные. Обратные преобразования

6.3. Следствия из преобразований лоренца

Предположим теперь, что наблюдательX решил измерить длину метровой линейки, покоящейся относительно штрихованной системы координат, сама же система координат движется относительно нештрихованнойX со скоростью (рис.6.4). Концы этой линейки закреплены в точкахи, тогда из преобразований Лоренца получаем:

Длина линейки в штрихованной системе (длина покоящейся линейки) равна . Чтобы наблюдательправильно измерил в своей системе отсчета длину движущегося предмета, он должен постараться отметить положения концов линейки в моменты времени, которые он считает совпадающими:, поэтому. Очевидно,- длина линейки, которую измерит наблюдательX. Относительно этого наблюдателя линейка движется со скоростью . Тогда, или - длина движущейся линейки в раз меньше длины этой же линейки в покое. Данный факт получил название лоренцева сокращения длины.

6.4.ОДНОВРЕМЕННОСТЬ СОБЫТИЙ В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА

То, что один наблюдатель считает метровую линейку короче, чем другой, с точки зрения физики объясняется несовпадением для них понятия одновременности, т.е. события, одновременные для одного наблюдателя, не являются таковыми для другого. При этом следует помнить, что для измерения длины метровой линейки положения обоих ее концов следует отмечать одновременно.

Рассмотрим движущийся вагон (рис.6.5) и покажем, что события одновременные с точки зрения неподвижного наблюдателя, не будут одновременными для наблюдателя внутри вагона. Длина вагона в состоянии покоя равна для наблюдателя, стоящего в центре вагона.

Предположим, что в момент времени наблюдательпроезжает мимо наблюдателяX, который стоит рядом с железнодорожным полотном. В это время (по часам наблюдателя X) две молнии ударяют в концы вагона и оставляют следы на рельсах (рис.6.5). Наблюдателю X это дает хорошую возможность измерить длину вагона как расстояние между отметками, при этом .

Однако наблюдатель считает, что молния ударила сначала в правый конец, действительно, наблюдатель в вагоне движется навстречу свету от правой молнии и видит раньше этот свет. Если лицо наблюдателяраньше освещается светом справа, то это означает, что свет справа достиг его раньше, и этот факт не зависит от наблюдателя. Но по мнению наблюдателя, обе вспышки молнии произошли на одинаковом расстоянии от него, и если он сначала видел вспышку справа, то он и считает, что она произошла раньше, Если ввести еще одного наблюдателя, который начал двигаться из той же точки не вправо, а влево, то для него раньше произойдет левая вспышка.

Таким образом, если промежуток времени между двумя событиями короче того времени, которое необходимо для распространения света между ними, то порядок следования этих событий остается неопределенным: он зависит от скорости наблюдателя. В таких случаях может оказаться, что будущее событие опережает предыдущее, если выбрать подходящего движущегося наблюдателя.