Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Физика лекции / квантовая / 13 Механика системы микрочастиц13

.doc
Скачиваний:
40
Добавлен:
08.03.2015
Размер:
97.79 Кб
Скачать

77

ЛЕКЦИЯ 13

9. Механика системы микрочастиц

9.1.Волновая функция системы микрочастиц

Квантовая механика системы микрочастиц строится путем обобщения основных понятий и законов механики одной частицы. Состояние системы описывается волновой функцией:

Ψ = Ψ(х1, х2,…, хN , t),

где хi совокупность трех координат точки пространства, в которой может оказаться i – тая микрочастица.

Вероятность того, что частица находится в элементе объема около точки с координатами х1, у1, z1 и одновременно с этим частица в элементе объема около точки с координатами определяется формулой:

.

Таким образом, речь идет о конфигурации системы, т.е. того или иного расположения частиц в заданный момент времени.

Следует помнить, что координаты xi, yi, zi не есть координаты i – той частицы – это координаты любой точки пространства, но относятся они к описанию i – той частицы, к нахождению ее места в общей конфигурации системы.

Обычный вид имеет условие нормировки:

.

Этот интеграл 3N кратный.

В механике системы частиц используют операторы, относящиеся к отдельным частицам, например, оператор координаты , оператор импульса и другие. Такие операторы можно назвать одночастичными. При умножении на волновую функцию каждый одночастичный оператор действует только как оператор своей частицы. Поэтому операторы, относящиеся к разным частицам, коммутируют между собой.

Операторы величин, характеризующих систему в целом, найдем по принципу соответствия с классической механикой.

Оператор импульса системы имеет вид: .

Оператор момента импульса системы определяется как сумма .

Оператор Гамильтона для системы взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем поле,

.

Первое слагаемое есть кинетическая энергия частиц, второе – потенциальная энергия их во внешнем поле, третье – потенциальная энергия их взаимодействия друг с другом.

Уравнение Шредингера для системы имеет тот же вид, что и для одной частицы:

.

На систему микрочастиц распространяются все постулаты, записанные для одной частицы (стационарные состояния, законы сохранения физических величин, допустимые значения физических величин, вероятности отдельных значений, принцип суперпозиций и правило вычисления средних).

В системе необходимо учитывать спин частиц. Используются операторы спина отдельных частиц и вводится оператор спина системы:

.

Если частицы в системе не взаимодействуют, то оператор Гамильтона для системы имеет вид:

,

где .

Операторы можно назвать одночастичными операторами Гамильтона.

Внешние поля предполагаются стационарными, поэтому энергия системы сохраняется. Ее волновая функция равна произведению координатного и временного множителей:

.

Для нахождения функций ψ(х12,…,хN) нужно решить уравнение Шредингера без времени

или

. (9.1)

Одночастичные операторы Гамильтона действуют только на координаты i-той частицы. Поэтому переменные в уравнении (9.1) разделяются. Выполним подстановку:

. (9.2)

Получаем

,

разделим на ψ1ψ2…ψN

.

Подставим энергию системы Е в виде слагаемых, имеющих смысл энергии отдельных частиц. Значения последних находятся из уравнений:

, (9.3)

на которые распадается уравнение (9.1).

Решив уравнение (9.3), мы найдем уровни энергии и волновые функции для каждой частицы. Каждый уровень и каждая функция определяется некоторым набором квантовых чисел, обозначающихся через ni (например, для электрона в кулоновском поле набор представляет совокупность четырех чисел: n, , m, ms). Индекс i дает номер частицы, к которой относится набор.

Итак, для системы:

- функция состояния системы невзаимодействующих частиц находится как произведение одночастичных функций.

Можно показать, что четность состояния системы частиц равна произведению четностей состояния отдельных частиц:

.

Если частицы в системе одинаковы, например, это электроны, то все уравнения (9.3) имеют один и тот же вид. Это означает, что спектр функций состояния и уровней энергии один и тот же для всех частиц. Квантовые состояния системы можно получить, составляя различные комбинации по N – одночастичных состояний. Все эти состояния определяются выборками по N из бесконечного числа наборов квантовых чисел n, определяющих состояние одного электрона в некотором поле.

9.2. Тождественность частиц одного и того же вида и

принцип Паули

В системе микрочастиц проявляются также физические закономерности, которые не могут быть установлены при анализе движения одной микрочастицы.

Квантовая система, состоящая из одинаковых частиц, например, электронов, протонов, фотонов и т.д., обладает некоторыми новыми свойствами, не имеющими аналога в классической физике. Они связаны с абсолютной тождественностью частиц одного и того же вида. В макромире всегда можно различить два тела по массе, заряду, энергии и т.д. Все эти величины в классической физике считаются изменяющимися непрерывно, так что вопрос о различии параметров частиц сводится к степени точности измерений. Более того, при совпадении всех характеристик частиц одного и того же вида всегда можно отличить частицы друг от друга, постоянно следя за движением каждой частицы по своей траектории.

В микромире имеют место дискретные значения величин, характеризующих микрочастицы. Внутренние параметры у частиц одного вида совершенно одинаковы, так, у всех электронов одинаковы масса, заряд, спин. Если частицы находятся в одинаковых состояниях, то совпадают и параметры состояний: у них одинаковые энергия в связанном состоянии, момент импульса и его проекция, проекция спина. Абсолютное совпадение характеристик микрочастиц одного вида приводит к их тождественности, принципиальной неразличимости. Это положение носит название принципа тождественности частиц и является постулатом квантовой механики системы частиц.

Принцип тождественности связан и с тем, что при тесном сближении невозможно проследить за каждой частицей в отдельности вследствие неопределенности положений частиц в пространстве. В случае столкновения классических тел всегда можно установить, какое из них отскочило вверх или вниз (рис.9.1.а). Для квантовых объектов вместо траекторий приходится рассматривать «трубку», в которой движется волновой пакет (рис.9.1.б) Если нет перекрывания волновых пакетов, то частицы можно различить по их положению в пространстве.

Однако при заимодействии или даже при сближении без взаимодействия трубки пересекаются и нельзя установить, где какая частица находится. Поэтому после соударения можно сказать только, что одна из частиц полетела вверх, а другая – вниз. В микроскопической системе, например, в атоме, волновые функции отдельных частиц (электронов) перекрываются, т.е. отличны от нуля в одних и тех же точках пространства. Поэтому при одинаковых характеристиках частицы совершенно неотличимы друг от друга.

Принцип тождественности приводит к важнейшему выводу: в силу абсолютной неразличимости одного и того же вида перестановка местами любых двух частиц в системе не приводит к изменению физического состояния системы.

Посмотрим, какие ограничения накладывает принцип тождественности на операторы физических величин функции состояния системы. Для этого учтем, что перестановка частиц в системе отображается в операторах и функциях состояния перестановкой соответствующих координат. Так, перестановка j -ой и k -ой частиц означает перестановку xj и xk.

Операторы физических величин должны быть симметричными относительно индексов частиц одного сорта, т.е. они не должны зависеть от нумерации этих частиц в системе. Этому правилу удовлетворяют все операторы, введенные ранее для системы.

Волновая функция системы при перестановке аргументов, относящихся к двум разным частицам, может изменяться только на физически несущественный фазовый множитель е. Поэтому для функции состояния системы должно выполняться равенство:

.

Сделаем вторую перестановку координат двух рассматриваемых частиц в правой части этого равенства:

,

отсюда

Следовательно, при перестановке координат любых двух частиц волновая функция либо только меняет знак, либо не изменяется. Функции первого типа называются антисимметричными, а второго - симметричными (по отношению к перестановке частиц местами).

Симметрия функций состояния не зависит от взаимодействия и движения частиц в системе.