Физика лекции / квантовая / 13 Механика системы микрочастиц13
.doc
ЛЕКЦИЯ 13
9. Механика системы микрочастиц
9.1.Волновая функция системы микрочастиц
Квантовая механика системы микрочастиц строится путем обобщения основных понятий и законов механики одной частицы. Состояние системы описывается волновой функцией:
Ψ = Ψ(х1, х2,…, хN , t),
где хi совокупность трех координат точки пространства, в которой может оказаться i – тая микрочастица.
Вероятность того, что частица находится в элементе объема около точки с координатами х1, у1, z1 и одновременно с этим частица в элементе объема около точки с координатами определяется формулой:
.
Таким образом, речь идет о конфигурации системы, т.е. того или иного расположения частиц в заданный момент времени.
Следует помнить, что координаты xi, yi, zi не есть координаты i – той частицы – это координаты любой точки пространства, но относятся они к описанию i – той частицы, к нахождению ее места в общей конфигурации системы.
Обычный вид имеет условие нормировки:
.
Этот интеграл 3N кратный.
В механике системы частиц используют операторы, относящиеся к отдельным частицам, например, оператор координаты , оператор импульса и другие. Такие операторы можно назвать одночастичными. При умножении на волновую функцию каждый одночастичный оператор действует только как оператор своей частицы. Поэтому операторы, относящиеся к разным частицам, коммутируют между собой.
Операторы величин, характеризующих систему в целом, найдем по принципу соответствия с классической механикой.
Оператор импульса системы имеет вид: .
Оператор момента импульса системы определяется как сумма .
Оператор Гамильтона для системы взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем поле,
.
Первое слагаемое есть кинетическая энергия частиц, второе – потенциальная энергия их во внешнем поле, третье – потенциальная энергия их взаимодействия друг с другом.
Уравнение Шредингера для системы имеет тот же вид, что и для одной частицы:
.
На систему микрочастиц распространяются все постулаты, записанные для одной частицы (стационарные состояния, законы сохранения физических величин, допустимые значения физических величин, вероятности отдельных значений, принцип суперпозиций и правило вычисления средних).
В системе необходимо учитывать спин частиц. Используются операторы спина отдельных частиц и вводится оператор спина системы:
.
Если частицы в системе не взаимодействуют, то оператор Гамильтона для системы имеет вид:
,
где .
Операторы можно назвать одночастичными операторами Гамильтона.
Внешние поля предполагаются стационарными, поэтому энергия системы сохраняется. Ее волновая функция равна произведению координатного и временного множителей:
.
Для нахождения функций ψ(х1,х2,…,хN) нужно решить уравнение Шредингера без времени
или
. (9.1)
Одночастичные операторы Гамильтона действуют только на координаты i-той частицы. Поэтому переменные в уравнении (9.1) разделяются. Выполним подстановку:
. (9.2)
Получаем
,
разделим на ψ1ψ2…ψN
.
Подставим энергию системы Е в виде слагаемых, имеющих смысл энергии отдельных частиц. Значения последних находятся из уравнений:
, (9.3)
на которые распадается уравнение (9.1).
Решив уравнение (9.3), мы найдем уровни энергии и волновые функции для каждой частицы. Каждый уровень и каждая функция определяется некоторым набором квантовых чисел, обозначающихся через ni (например, для электрона в кулоновском поле набор представляет совокупность четырех чисел: n, , m, ms). Индекс i дает номер частицы, к которой относится набор.
Итак, для системы:
- функция состояния системы невзаимодействующих частиц находится как произведение одночастичных функций.
Можно показать, что четность состояния системы частиц равна произведению четностей состояния отдельных частиц:
.
Если частицы в системе одинаковы, например, это электроны, то все уравнения (9.3) имеют один и тот же вид. Это означает, что спектр функций состояния и уровней энергии один и тот же для всех частиц. Квантовые состояния системы можно получить, составляя различные комбинации по N – одночастичных состояний. Все эти состояния определяются выборками по N из бесконечного числа наборов квантовых чисел n, определяющих состояние одного электрона в некотором поле.
9.2. Тождественность частиц одного и того же вида и
принцип Паули
В системе микрочастиц проявляются также физические закономерности, которые не могут быть установлены при анализе движения одной микрочастицы.
Квантовая система, состоящая из одинаковых частиц, например, электронов, протонов, фотонов и т.д., обладает некоторыми новыми свойствами, не имеющими аналога в классической физике. Они связаны с абсолютной тождественностью частиц одного и того же вида. В макромире всегда можно различить два тела по массе, заряду, энергии и т.д. Все эти величины в классической физике считаются изменяющимися непрерывно, так что вопрос о различии параметров частиц сводится к степени точности измерений. Более того, при совпадении всех характеристик частиц одного и того же вида всегда можно отличить частицы друг от друга, постоянно следя за движением каждой частицы по своей траектории.
В микромире имеют место дискретные значения величин, характеризующих микрочастицы. Внутренние параметры у частиц одного вида совершенно одинаковы, так, у всех электронов одинаковы масса, заряд, спин. Если частицы находятся в одинаковых состояниях, то совпадают и параметры состояний: у них одинаковые энергия в связанном состоянии, момент импульса и его проекция, проекция спина. Абсолютное совпадение характеристик микрочастиц одного вида приводит к их тождественности, принципиальной неразличимости. Это положение носит название принципа тождественности частиц и является постулатом квантовой механики системы частиц.
Принцип тождественности связан и с тем, что при тесном сближении невозможно проследить за каждой частицей в отдельности вследствие неопределенности положений частиц в пространстве. В случае столкновения классических тел всегда можно установить, какое из них отскочило вверх или вниз (рис.9.1.а). Для квантовых объектов вместо траекторий приходится рассматривать «трубку», в которой движется волновой пакет (рис.9.1.б) Если нет перекрывания волновых пакетов, то частицы можно различить по их положению в пространстве.
Однако при заимодействии или даже при сближении без взаимодействия трубки пересекаются и нельзя установить, где какая частица находится. Поэтому после соударения можно сказать только, что одна из частиц полетела вверх, а другая – вниз. В микроскопической системе, например, в атоме, волновые функции отдельных частиц (электронов) перекрываются, т.е. отличны от нуля в одних и тех же точках пространства. Поэтому при одинаковых характеристиках частицы совершенно неотличимы друг от друга.
Принцип тождественности приводит к важнейшему выводу: в силу абсолютной неразличимости одного и того же вида перестановка местами любых двух частиц в системе не приводит к изменению физического состояния системы.
Посмотрим, какие ограничения накладывает принцип тождественности на операторы физических величин функции состояния системы. Для этого учтем, что перестановка частиц в системе отображается в операторах и функциях состояния перестановкой соответствующих координат. Так, перестановка j -ой и k -ой частиц означает перестановку xj и xk.
Операторы физических величин должны быть симметричными относительно индексов частиц одного сорта, т.е. они не должны зависеть от нумерации этих частиц в системе. Этому правилу удовлетворяют все операторы, введенные ранее для системы.
Волновая функция системы при перестановке аргументов, относящихся к двум разным частицам, может изменяться только на физически несущественный фазовый множитель еiα. Поэтому для функции состояния системы должно выполняться равенство:
.
Сделаем вторую перестановку координат двух рассматриваемых частиц в правой части этого равенства:
,
отсюда
Следовательно, при перестановке координат любых двух частиц волновая функция либо только меняет знак, либо не изменяется. Функции первого типа называются антисимметричными, а второго - симметричными (по отношению к перестановке частиц местами).
Симметрия функций состояния не зависит от взаимодействия и движения частиц в системе.