Лекция 4-6

3.Функции распределения

3.1.Микросостояние. Вероятность. Средние значения

Для исследования и количественного описания статистических закономерностей вводят, в статистической физике, многомерное пространство, которое называется фазовым пространством. Это такое пространство, в котором в качестве координатных осей выбираются координаты и импульсыp_i частиц, входящих в макроскопическую систему А. Если в систему входит N частиц, то размерность фазового пространства 3N+3N=6N (3N координатных осей- проекции координат всех частиц системы А, 3N координатных осей- проекции импульсов).

Если система характеризуется одной степенью свободы, то фазовое пространство двухмерно (см. рис.3.1). Точка а фазового пространства характеризует микросостояние системы А (т.е. совокупность всех координат и импульсовp_i всех частиц системы А) в некоторый момент времени и называется фазовой точкой.

Из-за взаимодействия частиц между собой и с окружающим пространством положение фазовой точки ав следующий момент времени изменится, т.е. фазовая точка сместится по фазовой траектории (кривая на рис.3.1).

Если через каждые измерятьиp_i частиц системы А и наносить точку в фазовом пространстве, то спустя большое время Т в фазовом пространстве получается облако точек. Эти точки изображают возможные микросостояния системы А, совместимые с данным макросостоянием. За время Т система А побывает во всех возможных микросостояниях, которые совместимы с данным макросостоянием.

Рассмотрим некоторый объем фазового пространства dV:

dV соответствует значениям координат и импульсов частиц, лежащих в интервале

Если dt - время, в течение которого микросостояние системы А изображается фазовыми точками, находящимися в объеме dV, то величину можно рассматривать, как частоту события (точнее - как вероятность) того, что при наблюдении за системойА , эта система в произвольный момент времени находится в одном из микросостояний с координатами x; х+dx и импульсом p; p+dp. Ясно, что чем больше выбран объем dV, тем больше вероятность застать в нем фазовую точку, т.е. , где- функция статистического распределения.

Рассмотрим случай, когда случай­ная величина х имеет непрерывный характер (например, скоро­сти молекул). Для этого разобьем всю область изменения х на отдельные интервалы и будем считать число попаданий случай­ной величины в тот или иной интервал. Интервалы должны быть во избежание заметных флуктуаций достаточно больши­ми, чтобы в каждом интервале число попаданий было >>1 и чтобы можно было определить вероятность по­падания случайной величины в данный интервал. Вместе с тем, интервалы должны быть достаточно небольшими, чтобы более детально характеризовать распределениевеличины х.

Итак, мы имеем достаточно большое число достаточно небо­льших интервалов и, допустим, нам известна вероятность попадания в тот или иной интервал ∆x. Сама величина ∆ве­сьма мала, поэтому в качестве характеристики случайной вели­чины берут отношение ∆/∆x, которое для достаточно малых ∆х не зависит от величины самого интервала ∆x. Это отношение при ∆х —> 0 называют функцией распределе­ния f(х) случайной величины х:

. (3.1)

Видно, что функции распределения f(х) можно приписать смысл плотности вероятности, т.е. вероятности интересую­щей нас величины оказаться в единичном интервале вблизи значения х.

В разных случаях функция распределения имеет совершен­но различный вид, один из ко­торых в качестве примера при­веден на рис. 3.2. В соответст­вии с (3.1) площадь полоски шириной dx на этом рисунке равна вероятности того, что случайная величина х окажется в пределах интервала (x, x + dx), .

Вероятность того, что величина х попадает в интервал (a,b):

.

Очевидно, вероятность того, что величина х может принять хотя бы какое-нибудь значение (достоверное событие), равна единице. Это положение называют условием нормировки:

,

интегрирование проводится по всему интервалу возмож­ных значений величины х. Согласно этому условию вся площадь под кривой f(x) равна единице (см. рис. 3.2).

Среднее значение величины x можно найти, зная ее нормированную на единицу функцию распреде­ления f(x):

,

интегрирование проводится по интересующему нас интерва­лу значений х. Аналогичные формулы справедливы для любой функции φ(x), например,

.