книги / Теоретическая механика
..pdfФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Избранные задачи студенческих олимпиад ПГТУ
Пермь 2010
Составители:
Н.А. Воронович, М.А. Осипенко
УДК 531.01 Т 34
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор М.Б. Гитман (ПГТУ); кандидат физико-математических наук,
доцент С.В. Лутманов (ПГУ)
Т 34 Теоретическая механика: избранные задачи студенческих олимпиад ПГТУ / сост. Н.А. Воронович, М.А. Осипенко. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. – 76 с.
ISBN 978-5-398-00390-1
Приведены избранные задачи студенческих олимпиад ПГТУ (ППИ) по теоретической механике за 1974 – 2009 гг. Задачи сгруппированы в три раздела – статика, кинематика, динамика – и снабжены решениями. Пособие предназначено для студентов всех специальностей, где изучается теоретическая механика, а также для преподавателей теоретической механики и общей физики. Может быть использовано для подготовки к олимпиадам, а также для упражнений студентов.
УДК 531.01
ISBN 978-5-398-00390-1 |
© Пермский государственный |
|
технический университет, 2010 |
Содержание
Введение ....................................................................... |
4 |
|
СТАТИКА |
Задачи Решения |
|
|
||
Статика твердого тела .................................................. |
6 |
35 |
Статика системы............................................................ |
9 |
40 |
КИНЕМАТИКА |
|
|
Кинематика составного движения точки .................. |
15 |
49 |
Кинематика плоского движения твердого тела |
17 |
52 |
и системы...................................................................... |
||
ДИНАМИКА |
|
|
Динамика точки........................................................... |
21 |
55 |
Динамика твердого тела.............................................. |
23 |
59 |
Динамика системы....................................................... |
27 |
64 |
Список литературы................................................... |
74 |
|
3
Введение
Студенческие олимпиады ПГТУ (ППИ) по теоретической механике проводятся с 1974 г. В них приняли участие около 4600 студентов. Форма проведения олимпиад неоднократно изменялась, так как учитывался накопленный опыт и изменялись учебные планы.
В1974 г. все задачи были по динамике. В 1975 г. олимпиада проводилась в два тура. Первый (заочный) тур был отборочным, второй – основным. В каждом туре были задачи по статике и по динамике, причем соревнования по статике и динамике проходили отдельно (в них участвовали студенты разных курсов); фактически проводились параллельно две олимпиады. В 1976 г. олимпиада проводилась в один тур, и были задачи по всем трем разделам механики (статика, кинематика, динамика), соревнования по которым проходили отдельно; фактически проводились параллельно три олимпиады. В 1977–1999 гг. эта система проведения олимпиады в основном сохранялась. Изменения касались только соревнования по кинематике: иногда оно не проводилось, а иногда было объединено с соревнованием по статике. В 1974–1999 гг. олимпиада проходила (один раз в год) в апреле или в мае, за исключением 1990 г. (декабрь) и 1991 г. (не проходила по техническим причинам). Начиная
с2000 г., ежегодно проводятся две олимпиады – одна в апреле или в мае, другая – в декабре. В 2000 г. весенняя олимпиада проходила по всем трем разделам механики (отдельные соревнования), а зимняя – только по динамике. В 2001–2002 гг. весенняя олимпиада была посвящена только кинематике, а зимняя – только динамике. В 2003– 2006 гг. обе олимпиады были по динамике. Весенняя олимпиада 2007 г. также была только по динамике. Начиная с зимы 2007 г. и по настоящее время (2009 г.) каждая из двух ежегодных олимпиад содержит задачи по всем трем разделам механики; по ним проходит единое соревнование.
Вданном пособии собраны наиболее интересные задачи всех
олимпиад ПГТУ (ППИ) за 1974–2009 гг. Некоторые задачи заимствованы из [1–19]. В ряде случаев заимствовалась только идея, а со-
4
держание задачи подвергалось существенной переработке. Задачи сгруппированы по темам и снабжены решениями; поиск решений, отличных от приведенных, может составить дополнительное задание для читателя.
Авторы надеются, что пособие будет полезно для студентов всех специальностей при подготовке к олимпиадам (разных уровней) и при углубленном изучении курса теоретической механики. Преподаватели же теоретической механики и общей физики могут найти в пособии задачи для практических занятий.
5
ЗАДАЧИ
СТАТИКА Статика твердого тела
С1 (1980). Однородная прямоугольная плита ABDH массы m удерживается в равновесии тросом КМ, подшипником A и подпятником B. Плита образует угол α с горизонтом и прямой угол с отрезком BM; положение троса задано углами β и γ ; DK = k DH ,
где k – заданный коэффициент.
Найти компоненты реакций подшипника A и подпятника B (по осям какой-либо прямоугольной системы координат) и модуль T силы натяжения троса.
К задаче С1
С2 (1981). Однородный брус массы m, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, может вращаться без трения вокруг неподвижной оси AB. Брус удерживается в равновесии тросом DK.
Найти модуль T силы натяжения троса.
С3 (1983). Однородный тяжелый стержень OA укреплен на сферическом шарнире в точке O и опирается на неподвижную вертикальную шероховатую плоскость. Коэффициент трения между стержнем и плоскостью равен f. Расстояния OB = a и BA = r известны.
6
Найти, при каких значениях угла 0 ≤α ≤ π2 стержень может находиться в равновесии.
К задаче С2
С4 (1992). На твердое тело действует система сил, главные моменты которой относительно точек O и A отличны от нуля и направлены так, как показано на рисунке.
Доказать, что такая система сил не имеет равнодействующей.
К задаче С3 К задаче С4
С5 (1993). Прямоугольная однородная плита ABDH массы m удерживается в равновесии шестью стержнями, массами которых пренебречь. На плиту действует вертикальная сила F .
Доказать, что усилия в стержнях не зависят от размеров конструкции.
7
С6 (1996). Однородный стержень AB массы m опирается концом A на шероховатую вертикальную плоскость (коэффициент трения равен f ), а концом B – на гладкую горизонтальную плоскость.
К точке B приложена заданная постоянная горизонтальная сила F . Найти область значений угла 0 <α < π2 , при которых воз-
можно равновесие стержня.
К задаче С5
К задаче С6 К задаче С7
С7 (1997). На твердое тело действует система сил, главные моменты которой относительно точек O, A, B направлены так, как показано на рисунке, и модули их: M O = M , M A = 4M , M B =5M ; расстояния OA =OB = l.
Доказать, что такая система сил приводится к равнодействующей, и найти модуль R равнодействующей.
С8 (2008). К балке ABH приложены сила F , равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = Fl и пара сил, момент
8
которой M = Fl . Силой тяжести пренебречь. Расстояния
AK = KB = BH = l .
В какой точке D отрезка AB и под каким углом α следует расположить подвижную опору, чтобы балка находилась в равновесии (в показанном на рисунке положении) и при этом модуль реакции в шарнире A равнялся нулю?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К задаче С8 |
К задаче С9 |
|
Статика системы |
|
|
|
С9 (1975). Модули сил |
F1 = F2 = F , момент M и расстояния |
AD = l, DE = EC =CK = KB = BH = l2 заданы. Система находится в равновесии.
Найти модуль RD реакции в шарнире D и мо-
мент M A в заделке A, составив минимальное число уравнений равновесия.
|
С10 (1976). |
Однородные шероховатые |
|
|
цилиндры 1 и 2 массами m1 и m2 |
опираются |
|
|
на горизонтальную и вертикальную шерохо- |
||
|
ватые плоскости. Прямая, соединяющая цен- |
||
К задаче C 10 |
тры цилиндров, |
образует угол |
0 <α < π 2 |
с горизонтом. Система находится в равновесии.
Найти, в каких пределах могут лежать значения коэффициентов трения: f1 – между цилиндром 1 и горизонтальной плоскостью,
9
f2 – между цилиндром 2 и вертикальной плоскостью, f – между цилиндрами.
С11 (1979). Система, состоящая из n одинаковых однородных горизонтальных стержней массы m каждый, находится в равновесии. Стержниукреплены посредством тросов.
D1B1/А1В1 = D2 B2 A2 B2 =... = Dn−1Bn−1 An−1Bn−1 = k ,
где |
k |
|
– |
заданный |
коэффициент. Известно, что существует |
||||||
lim T |
n |
=T |
, где T |
n |
– натяжение троса A D |
0 |
. |
|
|||
n→∞ |
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|||
|
Найти |
T∞ . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К задаче С11
С12 (1984). Система расположена в вертикальной плоскости. Однородные стержни OA и АВ имеют массы m1 и m2 соответст-
венно. Угол α задан. Точки D и K соединены нитью; OD = DA , AK = KB . Система находится в равновесии в показанном на рисунке положении.
Найти натяжение T нити DK.
С13 (1985). Шероховатая тяжелая однородная балка ОА, закрепленная одним концом в шарнире O, опирается в точке B на тяжелый шероховатый однородный цилиндр, лежащий на неподвижной шероховатой горизонтальной плоскости. Коэффициенты трения между балкой и цилиндром и между плоскостью и цилиндром одинаковы и равны f.
Найти, при каких значениях угла 0 <α < π2 система может находиться в равновесии.
10