книги / Переработка полимеров

Задача охлаждения проводника с пластмассовой изоляцией может быть решена в различных постановках в зависимости от сделанных при постановках задачи допущений.

7.1. Первая модель охлаждения изолированного провода

Допущения:

1.Процесс стационарный.

2.Теплофизические характеристики постоянны.

3.Диффузия тепла в направлении оси z пренебрежимо мала

всилу малого значения для полимеров коэффициента теплопроводности и большой длины проводника (по сравнению с его диаметром).

4.Температура проводника считается постоянной по длине охлаждающей ванны.

Постановка задачи.

Уравнениеэнергии в силу сделанныхдопущенийприметвид

сиз из 0	T		1	T		2	T2		(7.1)
		из						.
	z	r		r		r

Граничные условия

T r Rпр Tпр .

Теплообмен на внешней границе, определяющий теплообмен с окружающей средой,

T			T Tср
					.
r	r R				r Rиз
	из

Температура полимера на выходе из кабельной головки вначале (начальная температура материала)

T z 0 T0 .

Поставленную задачу будем решать методом конечных разностей.

81

Введём сетку по r и z и запишем производные, входящие в уравнения и ГУ в разностном виде.

Сетка по радиусу:

ri i h,

i

1, N

(разбиваем так,

чтобы

узел сетки по радиусу попал в точку M, лежащую на границе

раздела двух материалов) (см. рис. 7.1).

Сетка по длине:

z j

j k, k

.

1, M

Используем явную разностную схему

Ti, j 1 Tij

a

1

Ti 1, j Ti 1, j

Ti 1, j 2 Tij Ti 1, j

,

(7.2)

k

2h

h2

0

r

i

где a

èç

– коэффициент температуропроводности.

C

èç

èç

Граничные условия в сеточных функциях примут вид

TMj

Tï ð .

(7.3)

TN , j

h

TN , j Tñð .

(7.4)

Ti,1

T0 .

(7.5)

Из уравнения (7.2) выражаем неизвестное Ti, j 1 , что позво-

ляет сделать выбранная явная разностная схема

ak

1 Ti 1, j Ti 1, j

Ti 1, j

2 Tij Ti 1, j

T

T

(7.6)

2h

h2

i, j 1

r

ij

0

i

Выражение (7.2) и, следовательно, (7.6) используются для вычисления температуры во внутренних точках изоляции, для

i m 1...N 1. Значения температур в граничных точках m и N определяют по выражениям (7.3), (7.4). Таким образом, получаем полное поле температур на первом сечении по длине.

Для расчета температуры на следующем сечении по длине снова прибегаем к рекуррентному выражению (7.6) и вычисляем новые значения температур в новом сечении, подставляя в пра-

82

вую часть (7.6) температурное поле с предыдущего сечения по длине. Для нового температурного поля вновь определяются значения температур в граничных точках и переходят к расчету поля на следующем сечении. Такой вычислительный процесс охватывает всю длину охлаждающей ванны.

В результате получают поле распределения температур по сечению изоляции и по длине изоляции.

Изменения значения технологических, геометрических, теплофизических параметров определяют длину ванны, на выходе из которой достигнута заданная температура Tâû õ , позволяющая

без повреждения изоляции наматывать кабель на барабан. Варьируя величинами Tпр, 0 можно получить оптимальную длину

ванны с учётом равномерного охлаждения.

7.2. Вторая модель охлаждения изолированного провода

Второй, более сложный подход к решению задачи основывается на исключении предположения о неизменности температуры провода. Всегда более общие подходы к решению задач отличаются от частных, менее корректных, меньшим содержанием упрощающих предположений.

В этом случае необходимо рассматривать два уравнения энергии для жилы и изоляции и решать контактную задачу со своими граничными условиями.

Имеем две области: I – металлическая жила, II – изоляция

(рис. 7.2).

Для проводника уравнение энергии имеет вид

спр пр 0	T	пр		T			2		. (7.7)
			1				T2
	z		r	r		r
Для изоляции
сиз из 0	T		1 T			2	T2
		из						.(7.8)
	z	r r				r

Рис. 7.2. Расчетная область

83

Краевые условия теплообмена на внешней границе

q		T Tñð		, или	T				T Tñð		. (7.9)
	r Rèç		r Rèç		r		r R				r Rèç
					èç

ГУ 4-го рода – равенство потоков тепла на границе раздела двух разнородных сред:

q	q		T				T		.	(7.10)
из	пр		из r		r R		пр r		r R
					пр				пр

Для области I в центре проводника из условия симметрии всегда реализуется экстремум функции (температуры)

T		0 .	(7.11)
r
		r 0

Температура в точке контакта должна иметь одно и то же значение (как со стороныобласти I, так исо стороныобласти II):

T 1			T 2		.	(7.12)
		r Rпр			r Rпр

Значение температуры в проводнике (Т1) и изоляции (Т2) на выходе из кабельной головки

T 1			T , T 2			T .
		z 0	1		z 0	2

Поставленная задача может быть решена любым численным методом. Используем метод конечных разностей – наиболее распространенный метод для задач теплопроводности.

Решение:

1. Введем сетку по радиусу и длине, причем будем использовать сквозную нумерацию узлов сетки для обеих областей (рис. 7.3).

r ri i h,			i		, – по радиусу
				1, N
I : i			II : i
	2..m 1;					m 1..N 1

Рис. 7.3. Сетка по радиусу z z j j k, j 1, M – по длине.

84

2. Все производные в уравнениях (7.7), (7.8) заменяем разностными соотношениями так, чтобы получить явную разностную схему

Ti, j 1

Tij

a

1 Ti 1, j Ti 1, j

Ti 1, j 2 Tij Ti 1, j

,

п

k

0

2h

h

2

(7.13)

r

i 2,m 1

Ti, j 1

Tij

a

1 Ti 1, j Ti 1, j

Ti 1, j 2 Tij Ti 1, j

,

èç

k

2h

h

2

0

r

i

(7.14)

m 1, N 1 ,

j1, M

3.Запишем граничные условия в сеточных функциях. Для координаты z

T 1

T .

(7.15)

i,0

1

T 2

T .

(7.16)

i,0

2

Из уравнения (7.9)

TN , j TN 1, j

T

T

,

h

из

из

N ,

j

ср

1

TN 1, j

TN , j

Tср,

h

из

h

из

TN 1, j

T

h

èç

TN , j

ñð

.

(7.17)

1

h

èç

Из уравнения (7.10)

из

Tm 1, j Tm, j

пр

Tm, j Tm 1, j

.

h

h

85

T		Tm 1, j из Tm 1, j пр	.	(7.18)
m, j		из пр
Из уравнения (7.11)
		T1 j T2 j .		(7.19)

В случае выбранного разбиения по радиусу, когда узел сетки попадает на границу раздела проводник–изоляция, граничное условие (7.12) выполняется автоматически:

Tmj Tmj (слева и справа).

Расчет:

1. В уравнениях (7.13) и (7.14) выносим неизвестное в правую часть.

Ti, j 1

Tij

aпрk

1 Ti 1, j Ti 1, j

Ti 1, j 2 Tij Ti 1, j

.

(7.20)

0

2h

h

2

r

Ti, j 1

Tij

a k

1 Ti 1, j Ti 1, j

Ti 1, j 2 Tij Ti 1, j

èç

.

(7.21)

0

2h

h

2

r

Рассчитываем температуру во внутренних точках области

(I) и области (II) по уравнениям (7.20), (7.21), используя начальные значения температуры (7.15), (7.16) на границах.

2. При расчете температуры на следующем шаге по длине сначала пересчитываются значения температур по уравнениям (7.17)–(7.19) в граничных точках через температурное поле, полученное на предыдущем сечении. Процесс расчета повторяется снова для следующего сечения длины и продолжается до конца охлаждающей ванны.

7.3. Третья модель охлаждения изолированного провода

Отличается от второй модели отсутствием допущения о постоянстве теплофизических характеристик.

В этом случае кривые изменения c, , аппроксимируются ломаными линиями (кусочно-линейными) или иной другой

86

функцией, более близко описывающей характер изменения функции на некоторых диапазонах температур. К примеру, гра-

фик зависимости ñ f T будет выглядеть так:

Рис. 7.3. Аппроксимация функции теплоемкости

На выбранных промежутках температур функция температуры заменяется линейными функциями со своими коэффициентами. Если, например, функция теплоемкости в общем случае имеет вид

c(Ò) f T ,

то после аппроксимации кусочно-линейными функциями будут

c1 (Ò) A1T B1; T T1

c2 (Ò) A2T B2 ; T1 T T * c3 (Ò) A3T B3 ; T * T T2 c4 (Ò) A4T B4 ; T T2

Аналогично аппроксимируются зависимости плотности и коэффициента теплопроводности , соответственно.

Тогда уравнение энергии, например, для второй области запишется как

ñ	T		T		T		1		r		T T .
		èç		0						èç
èç					z
							r r				r

87

èç T можно вынести из-под знака производной в том слу-

чае, если для решения используется метод секущих модулей (производитсяитерационнаяпроцедуранакаждомшагепо длине).

ñ

T

èç

T

0

T

èç

T

1

r

2T

èç

z

r

r

2

r

или, преобразовав, получим

T		aиз T		1		T		2T			,
z						r		r	2
		0
			r

где аиз(Т) – коэффициент температуропроводности. Определяющее уравнение для первой области (проводника)

и все граничные условия записываются аналогично предыдущей модели так же, как и введение сетки и сеточных функций. В случае выбора неявной разностной схемы и сквозной сетки для обеих областей будем иметь следующее определяющее уравнение в разностном виде:

Ti, j 1

Ti, j

aij

1

Ti 1, j 1

Ti 1, j 1

Ti 1, j 1 2Ti, j 1 Ti 1, j 1

,

k

r

2h

h2

0

i

	aij			aij
		h2		2h r
	0			0	i

		1		aij	2
T							T
				0		h2
i 1, j 1	k							i, j 1

Ai

Ci

(7.22)

a

a

T

ij

ij

T

ij

.

2h r

h2

i 1, j 1

k

0

i

0

Bi

Здесь при i = 1 ÷ m aij принимают значения, свойственные металлу, а при i = m + 1 ÷ N – полимеру.

Для определения поля температур на каждом шаге по длине необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений для каждой из областей. Число уравнений определяется числом неизвестных. В данном случаеобщеечисло неизвестных равно N.

88

Шаблон разностной схемы

Алгоритм решения задачи с переменными коэффициентам следующий:

1.На первом шаге по длине по уравнению (7.22) и уравнениям (7.17)–(7.19) рассчитывается полетемпературвобластях I иII.

2.Пересчитываются значения теплофизических констант по выбранным формулам во всех точках области.

3.На следующей итерации снова производится расчет температурного поля во всей области (I и II) с новыми значениями

вкаждом узле сетки теплофизических коэффициентов.

4.Оценивается итерационная погрешность

T k T k 1
ij	ij		0,001	,
	T k
	ij

где k – номер текущей итерации.

При выполнении условия сходимости по итерации переходят к расчету температурного поля в следующем сечении по длине. Процедура расчета повторяется снова на новом сечении по длине, начиная с пункта 1 данного алгоритма.

В результате расчета получают распределение температуры во всех точках по радиусу и по длине изолированного провода. На выходе из последней ванны определяют среднюю температуру по сечению изоляции. Для обеспечения геометрической целостности изоляции (сохранения формы при намотке на барабан) средняя температура не должна превышать 50–60°С. Изменяя технологические параметры – скорость изолирования, температуру среды в охлаждающих ваннах, длины ванн или режимы охлаждения, можно влиять на качество получаемой изоляции при прочих равныхусловиях (маркоразмер, изоляционный материал и т.д.).

89

8. Теоретические основы пластифицирующих экструдеров

Слово экструдер образовано из лат. ex – наружу и trudere (to trust) – толкать. Такое словосочетание достаточно легко описывает процессформирования черезштамповальную головку.

Шнековый экструдер эффективно и непрерывно превращает твёрдый полимер в расплав и нагнетает высоковязкий расплав в профильную головку (экструдер совмещает свойства расплавителя и насоса) под большим давлением.

Самый первый зарегистрированный индустриальный экструдер (полагают) был изобретён Джозефом Брамахом в 1795 г. Это была машина ручного действия, предназначенная для получения свинцовых труб, состоящая из штемпеля и штемпельной головки. Первые патенты на экструзионные машины, имеющие архимедов винт, были выданы Грею (Англия) и Роулу (США). В середине XIX века до развития индустрии синтетических полимеров в экструзионном процессе использовалисьрезина, каучук.

Только в 1925 г. экструзия различных типов поливинилхлорида положила начало современной экструзионной технологии. Примерно в это же время Роввел и Финлазин вели первые теоретические исследования шнековых экструдеров.

Первый шнековый экструдер, созданный специально для переработки появившихся термопластических материалов, появился в 1935 г. в Германии.

8.1. Конструкция пластифицирующего экструдера

На сегодняшний день выпускаются экструдеры, диаметры которых колеблются от 25 до 500 мм. Создан экструдер с диаметром 900 мм. Такие машины экструдируют множество изделий с большой скоростью. Среди них кабели, провода, трубы, плёнки, листы, различные контурные профили. Различают экструдеры вертикального и горизонтального направлений.

Шнек и корпус экструдера делаются из очень прочных легированных сталей, частично с износостойкими покрытиями. Наиболее распространенная конструкция пластицирующего экструдера представлена на рис. 8.1.

90