книги / Расчет пластин и оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, методом конечных элементов
..pdfгнистерство высшего |
и |
среднего специального образования |
|
? |
С * СР |
Дальневосточный ордена Трудовох^ Красного Знамени |
||
политехнический |
институт имени В.В.Куйбышева |
К.П.Горбачев
РАСЧЕТ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ РЕБРАМИ УЕСГНОСГИ, МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Учебное пособие
УДК 629 С?:539.3
В пособии рассматривается метод конечных элементов применительно к ре счету пластин и пологих оболочек. Подкрепленных ребрами.Раосматриваетоя методика постро ения матриц Весткости "несовместных" элементов,предло женная автором.Даетоя сравнительная оценка оходимости на основе численного эксперимента.Приводится сравнение результатов репения задач лэгйба пластин при аппрокси мации прямоугольными элементами и элементами произвола*, м й формы.Отмечаетоя лроотота реализации машинного ал горитма*
Рецензенты: к.?.н,,допент Родитин В.В. н кафедра сопротивления матеоиалов Дальрыбвтуэа.
Редколлегия: проф.Аникин Е.ГК.йроф. Титаёв Б.Ф ., доц. Мосайлов Ю.П.
Дальневосточный государственный универоитетД960
Впоследние годы исключительно широкое использова ние в расчетах прочности аьлационяых, оуновых и строитель* ных конструкций получл метод конечных элементов (МКЭ). Несмотря на сравнительно ксроткий срок "эксплуатаций'1 это го ычтода, он удивительно успешно применяется при _ ешении задач, которые щедро отавятся перед нами .(рактикой.
Широкое использование МКЭ в значительной мере объяс няется наличием машинных пробами, обладающих высокой с е ленью автоматиэа-ии трудоемких операций составления и р "- иепия систем алгебраических уравнений, минимумом требова ний к исходной информации " оптимальной формой выдачи ре зультатов.
Влаотолщем методическим поооб и метод конечных эле ментов рассматривается применительно к расчету пластин н
оболочек, подкрепленных ребрами жесткооти.
Сложность данных задач и трудности удовлетворения ря ду критериев сходимости при использован ни в расчетной про цедуре элементов прои вольной трлугольной н Че-чрасуголь - вой формы, подкрепленных ребрами, вызывают применение раз личных практических приемов для улучшения качества элемен тов. Одш из таких приемов излагается р наотояпем пособии»
Пособие напиоано в соответствии с программой курсл *4иоленные методы расчета судовых конструкций", чктлемо'^о в Дальневосточном политехническом институте' ш . В.В.Куйбы шева на кераблестронтельном факультете Однако автор пола гает, что оно будет полезным та-же для отудентов и аспиран тов других вузов, для ивенеров и научных работников, за нимающихоя механикой деформируемых тел.
Предполагается, что читатель уже знаком о ооновными идеями и возможностями метода конечных элементов, подробно
изложенными в литера-уре J3i |
, 16] . ; |
ГЛАВА г
МЕТОДЖА ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ.
критерии аодяю сти
Поскольку в оте ’еотвевной в зарубежной лиературе широво стражею збшне вопросы истоде конечных элементов, л на - отожцеи пособив овв вс рассм атриваю т. Основное выиыапн© удел е п я р а з а м » методики поотроення матриц жеоткоотн елеиентов шеотнн в-полог» оболочек, то еоть иатеиатнчесвоиу обеспечен в оучеотчуюцих програни расчета методой конечных элементов. Вопроси поотроення матриц жеоткоотн является наи более ответственными, тас как они определяет точность того нлн иного релення, полученного на основа этих матриц.
. Ыатрнцы жесткости элементов, подкрепленных ребрами,по лучаю на основе функционала, предотавляющего потенциальную энергию деформации элемента о учетом совдестнооти деформаций элемента j e 6pa к элемента пдаотины или оболочки, а также с учетом эхоцевтричнооти подкрепления.
Наибольшие оложноотк при построении матриц жеоткости имеют место при учете иэгьбных деформаций, так как эдеоь
воi ликают трудности о соблюдением условий сходимости. Поэто му в пособив оововное витание уделено' именно этому вопрооу.
Осодвюсть решения будет зависеть; от того, наоволысо точво удовлетворяются критерия сходимости - условия, которым дол ины удовлетворять функции, отражающие законы изменения перемежений и деформаций'в пределах элементарно.!).
Рис. Г
Поскольку метод конечна элементов являемся методом прибл шейного репения уравнений математячес :ой физики, воз никает вопрос об исследовании его сходимости к точному ре - шению. Полагая, что сходимость ШСЭ г* точному ревеню анало гична сходимости метода Ритца, можно рассматривать ее в энергетическом смысле. То есть для задач теории упру эстя при условии закрепления тела от жесткого смещения потеадиальная энергия деформации от разности точного (U « ) н преблике нюго ( и * ) реиений.должна .тремиться к нулю при нео граниченном возрастании числа координатчкх функций (о.-*-©о).
Э(и.*-и«) |
с , |
С |
|
Для рассматриваемых |
задач доказана сходимость ШСЭ |
в |
|
смысле ( 1. 12) . еслн выполняются след)* )щне условия. |
|
||
1. Координатные функции должны обеспечивать геометре- |
|||
чески возможные перемещения в |
пределах всего теля. |
|
|
2. Координатные Санкции должны быть линейно неэавчен- |
|||
мими. |
|
|
|
3. Координатные Функ!"!и должны образовывать полную сис |
|||
тему функций. |
|
|
|
Кроме .указанных требований/*ас то предлагаются и Допол |
|||
нительные (31.. |
|
|
|
Функции перемещений должны быть такими, чтобы |
в |
случае, когда узловые перемещена» соответствуют условно по стоянной деформации, это соетяние действительно реализова лось бы в элементе.
5. Функция перемещений должны быть яьбраш так, чтоб" деформация на границах между элементами были конечными.
6. пункции перемещений должы быть выбран/ такы обра зом, чтобы у* возникала деформация эх&.ента при узловых череыещениях, вызванных его смещением как жесткого тела.
Шесть условий, приведенных выше, могут .беспечить схг * диыость решения при их выполнении. При этом пекоторые из н(к могут быть объединены.
Первое и пятое условия будут Удовлетворены, если для
уравнений 2 -го порядка должно бить (m - D непрерывных про изводных.
Уоловне (б ) может рассматриваться как чаотный случай четвертого условия, поскольку жесткое перемещение является частным случаем рав.юй нуле однородной деформации,-
Эдеме/ ?ы, координатные функции которых удовлетворяют условиям I и 5, называются совместными. В противном олучае - реоовместными.. Сложность удовлетворения всем уоловиям одно временно часто приводит в расчетной практике к использованию реоавмеотиых элементов. ф и атом следует отме-чть, что для ряра -аких элементов при простоте построения координатных функ ций мы получаем решения, сходящиеоя к точному. Одним иэ таких рлементов является прямоугольный адеме^т[5 .), содержащий 12 Неизвестных параметров.
Степенной полином, определяющий координатную функцию
W СХ.У) * 4>, +- 4 . 8X + сЦ У + 4 , Ха* Л5 X/ + <АвУ %
+с1 7 х ^ + Д в хг у + л ,х у 2 + 4 * у 3 +
+ сХц х 5у + |
С1.1Э) |
х у г ( |
реомотря на то,- что не выполняется условие непрерывности уг ров п овоете вдоль линий стыковки омежных влементов, приво - дит к решению, оходящв1уоя к точному при увеличении числа конечных элементов.
Зтот полином используется при решении задач изгиба, ус тойчивости и колебаний жестких пластин, ф и решении таких важач, в частности задачи исследования; усто№ивостк пластины, основные раэпешащие уравнения часто получают исходя из прин ципа Лахранка. Согласно этому принципу из всех мыслимых сис тем перемещений упругого тела перемещения, действительно имеющие место, сообщают потенциальной анергии минимальное энечеишв. Полная потенциальная анергия в данном случае складывает ся из анергии изгиба и потенциальной энергии срединной повер хности.
где W „ = |jj{ (v V ')% 2 0 * J* )t(^ j^ r) |
~ 5 ^ ' | ^ | lll<V p.I5> |
||
v |
4 |
& |
s ; < $ ) > db < ь *> |
В- цилиндрическая жесткость.
Исходя из критериев сходимости, отмеченных выше, следу ет, что сходимость решения будет обеспечена, а выражение (1.14) стремиться к минимуму, если выбранный полином отреша ет возможные естественные формы деформирования элемента и,
как минимум, будут соблодаться условия непрерывности |
первых |
|
производных |
в выражении (1*15) и самс Л функции в ( 1 ,1 |
6 ) .Сле |
довательно, |
при стремлении стог ->н элемента к нуле значения |
ВХОДЯЩИХ В ( l.I5 ) t< I .I6 ) производных |
ДОЛЖНЫ отрет 'ТЬСЯ |
к |
своим точным значениям. |
|
|
Полином ( I . D ) не дает равенства |
первых производных |
но |
границам смежных элементов, но разрывы непрерывности вторых производных по границам элемента в данном олучае имев*- ко - иечпые значения и стремятся к естественным, допускаемым фи зической сущность» задачи, при стремлённи сторон элемента к пуло.
Это объясняется тем,, что коэффициенты талинома ( I . 13) подобраны так г ' образом, при : отором двукратное дифференциро вание (1,13) по координатам X , Г приводит к симметричному билинейному характеру изменения вторых производных в ноле элемента и линейно цг по его границам.
Напртер,
хх= |
+ |
С |
, |
|
К х * = |
а*ТЗХ1) , |
С1.Г7) |
Э с *= |
Э(,(ЛУ) |
- функции Эрм .та. |
|
Функции 3t(*,Y) легко получить в рассматриваемом случае, если воетльзоваться L -координатами (рис .3 ) , которы* по
определен» равны отношение
где |
F |
- |
площадь алеиента; |
|
|
- |
I . 2 , 3; |
|
i |
- 2 , 3 . 4 . |
|
|
Рис 2 |
|
1 |
- |
(а~ х )Ь |
|
F |
|||
L l l “ |
|||
1 |
- |
C b -Y )a |
|
Ч * |
F |
||
|
|
||
U b |
35 |
|
|
L M |
- |
* » ■ |
Тогда С 1 .17) исвно будет переписать в следующем виде
Ч „ - ( - ' » ) , L,.LM + (Ч х < )Л * Ч ,+ 1 ! • 195
(S x*)^** 1-as +
При увеличении количества элементов,аппроксимирующие
рассматриваемую область, когда отороны элементов |
а . |
в & |
|||||
стремятся к нулю, |
мрино предположить, |
что |
закон ( I . I 9 ) , |
||||
описывающий характер изменения кривизны в прадедах элемен |
|||||||
та, отремитоя к точному. |
|
|
|
|
|
|
|
Но для полной сход тост и необходшо, |
чтобы узл |
вые зна |
|||||
чения ( w>¥.x. ) к при уменьшении оторон |
элемента стремились |
||||||
также к точным овоим значениям в узлах элемента. |
По. эжитель- |
||||||
ной особенностью |
полинома (I.X3) |
и является то обстоятельст |
|||||
во, что ( W,ц{ Xj \ |
аппрокоимируютоя эавиоимостяын, |
которые в |
|||||
пределе стремятся |
к иотинным. |
|
|
|
|
|
|
Например, значение \*/|Х1>в |
первом у м е |
равное |
|
|
|||
6 |
- 4 |
^ |
- |
I ^ |
, |
|
С1.го) |
следует из очевидной операции |
|
|
|
|
|
|
(Со + с , х * с а х*-*
Выражение в скобках есть полином, хаоактеризующий дефор мацию кромки 1-4 элемента и являющийсяинтегралом.дифференци ального уравнения w lv« a . ф и стремлении оторон элемента к нулю значение второй производной, определи'юй "о ( 1,20) , бу дет стремиться к точному. Эть же замечания относятся для рас сматриваемого полинома н ж оотальным узловым значениям <У^д)к . Следовательно, еолж рассматривать сходимость в энергети
ческом смысле, то
арш |
«V— «« |
Скорость же сходшооти ( пстройность) оценивается зависи мостью
|
|U , - u , , l - ^ 3 ( u 4-iU ) - |
ОСИ). |
Ь. - |
максимальный из двамч гров элементов; |
|
р - |
степень интерполяционного |
поли: ма. |
Следовательно, полином, отражающий характер деформиро ванной повертности элемента и приводящий к несовместности в отношении углов поворота по кромкам омежных элементов, мо - кет давать сходящиеся решения, если выполнены условия, от - меченные выше. В противном случае, решение не будет схо диться из- а нарушения естественности деформирования элемен та. Для примера рассмотри тот же конечный элемент, закон
помещ ения по области |
которого примем в виде |
[9 .] |
||
х у у > + х 1у, \ л£ ' - в д < > |
|
|||
+ х 1у , ^ о ч |
|
|
|
|
+ Х,у, w^’+XA |
|
w,‘<" |
( 1-20 |
|
* Х Д « (" ч Х Л |
* А < * ’ , |
|
||
V _ 1 X * -5 ax '+ Q s |
|
|
||
|
|
а ъ |
|
|
v - 2 x * + 3 a x * |
|
( 1. 22) |
||
v |
X1- 2.a x S а1х |
|
|
|
|
* |
а 1 |
* |
|
хз - QX*
Ча 1
Полиномы, типа ^аналогичны |
X* с заменой |
а на |
& |
и X |
на у |
|
|
|
|
Полином (1.21) удовлетворяет |
условиям ( и ) , |
(5)i, |
(б) |
и |