книги / Математика. Функции нескольких переменных

Вариант 20

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функ-

ций

а) z

1

; б) z ln 6 x y

x

x2

y2

4x

5

y

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z ln y3 2x2

3 .

3.

Вычислить значение производной

dz

, если z y3e2 x ,

где

dt

x sin 3t , y cos6t

, при t

.

3

4.

Найти производную

du

, если u tg2

x y , где y 2x2 .

dx

5.

Найти частные производные

z

,

z

, если

z xy yx ,

где

v

u

x u2v , y

u

.

v

6.

Найти производную

dy

функции

y y x , заданной урав-

dx

нением ey sin x e x cos y .

7.

Вычислить

значения

частных

производных

z

,

z

x

y

функции

z z x, y ,

заданной

уравнением

x3 3y2 z2 2xy 6x 2y 8z 4 0 , в точке M0

1; 1;2 .

x

y

8.

Проверить,

удовлетворяет

ли

функция

u sin

a

b

2u

2u

2u

1

1

2

уравнению 2

2 u

0 .

x y

y

2

x

b

a

121

9. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности S : x2 y2 z2	xy 4x 9 0	в точке M0 2;1;0 .
10. На поверхности	S : x2 y2 z2	33 найти точки, в кото-

x 3t,

рых касательная плоскость перпендикулярна прямой y 2t,

z 5t.

11.		Найти градиент и производную функции z x3				y3 9 в
точке	M0 1;2 в направлении линии y2 4x				в сторону возраста-
ния аргумента x .
12.		Исследовать	на	экстремум		функцию
z 2xy 3x2 2y2 10 .
13.		Найти наибольшее	и	наименьшее	значения	функции
z x2	xy 2 в области D : y 4x2 4, y 0 .

122

Вариант 21

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функ-

ций

а) z ln 3x2 y ;	б) z		xy		.
			x y

2.Найти частные производные и полный дифференциал функции z arcctg 2x y3 .

3.Вычислить значение производной dzdt , если z 3x2 y 3,

y et 1 , при t

где x

t 3 ,

1.

4.

Найти

производную

dx

, если

x arccos 2t2 ty ,

где

dy

t e4 y .

z

z , если

x

5.

Найти

частные

производные

,

z 2 y ,

где

u

v

x 3u v2 , y u2 3v .

6.

Найти производную

dy

функции

y y x , заданной урав-

dx

нением y x arctg y .

z

z

7.

Вычислить значения частных производных x

, y функ-

ции z z x, y , заданной уравнением

5x2 4y2 2z2 3y z 15 ,

в точке

M0 1;2;0 .

8.

Проверить,

удовлетворяет

ли

функция

u ex x cos y y sin y уравнению 2u

2u

0 .

x2

y2

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности S : x2 y2 xz yz 3x 11

в точке M0 1;4; 1 .

123

10.	На поверхности S : x2 y2 4x 2z 4 0 найти точки, в
			x 5t,
которых касательная плоскость перпендикулярна прямой
			y t,
			z t.
11.	Найти градиент и производную функции z	2x2 y2 в

точке M0 2;2 в направлении линии	y x в сторону возраста-
ния аргумента x.

12.	Исследовать на экстремум функцию z x3 8y3		6xy 1.
13.	Найти	наибольшее и наименьшее значения	функции
z y 4 x y		в области D : y 6 x, y 0, x 0 .

124

Вариант 22

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функ-

ций

а) z x2 9 4 y2 ; б) z 1 x y2 1 x2 y2 .

2.Найти частные производные и полный дифференциал функции z x2 y sin x 3y2 .

3.Вычислить значение производной dzdt , если z arcctg 2xy ,

где x

1

, при t 1.

, y 3

t 7

t3

dz

y2

где y ln u .

4.

Найти производную

, если z ctg

,

du

u

5.

Найти

частные

производные

z

,

z ,

если

u

v

z sin2 x 2y ,

где x

u

v , y u

v

.

2

2

6.

Найти производную

dy

функции y y x , заданной урав-

dx

aearctg

y

x2 y2

.

нением

x

7. Вычислить значения частных производных z , z функции

x y

zz x, y , заданной уравнением x2 y2 z2 2xy 4x yz 3y z 0 ,

вточке M0 1; 1;1 .

	8. Проверить, удовлетворяет ли функция z					x y	уравнению
						x y
2 z		2 2 z		2 z	0 .
x2		x y		y2

125

9. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности S : x2 2y2	z2	4xz 8 в точке M0		0;2;0 .
10. На поверхности		S : 2x2 y 2z2 0 найти точки,				в кото-
				x 2t,
					t,
рых касательная плоскость перпендикулярна прямой y
					8t.
				z
11. По какому	направлению		должна	двигаться		точка
M x; y; z при переходе через точку			M0 1;1; 1 , чтобы функция

u xy yz xz возрастала с наибольшей скоростью?

12.	Исследовать на экстремум функцию z y x y2				x 6y .
13.	Найти	наибольшее и наименьшее значения			функции
z x3 y3 3xy		в области D : y 1, x 2, y 2, x 0 .

126

Вариант 23

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функ-

ций

					x	arcsin 1 y .
	а) z y	x2 y2 x ;		б) z arcsin
					y2

2.Найти частные производные и полный дифференциал функции z ctg 2 xy .

3.Вычислить значение производной dzdt , если z 3yx2 2xy2 ,

где x sin 2t , y tg t , при t

.

4

dt

x y

4.

Найти производную

, если t ln

, где

y x .

1 xy

dx

5.

Найти частные производные

z

,

z , если

z cos

x

, где

u

v

y

x u2 v2 , y u v .

6.

Найти производную

dy

функции y y x , заданной урав-

dx

нением ex

ey 2xy 1 0.

z

z

7.

Вычислить значения частных производных x

,

y функ-

ции z z x, y , заданной уравнением x2 z 3xy 4z2

4yz 0 в

точке

M0 0;1; 1 .

8.

Проверить, удовлетворяет ли функция

z x ln

y

y

урав-

x

x

нению

x2

2 z

2xy

2 z

y2

2 z

0.

x2

x y

y2

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности S : x2 y2 2z2 2y 0 в точке M0

1; 1;1 .

127

10. На поверхности S : x2 y2 2z2 10 найти точки, в кото-

x t,

рых касательная плоскость перпендикулярна прямой y t,

z 4t.

11. Найти градиент и производную функции z x3 y3 в точке M0 1;2 в направлении линии x2 y2 5 в сторону убывания

аргумента x.
12.	Исследовать		на	экстремум		функцию
z x2 xy y2 9x 6y 20 .
13.	Найти	наибольшее	и	наименьшее значения		функции
z 4 x y x2		y2 в области D : x 2y 4, x 2y 4,			x 0 .

128

Вариант 24

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функ-

ций

а) z ln

25 x

2

y

2

4y 2x ; б) z

1

x 2 y

.

x y 1

2.

Найти

частные

производные и

полный

дифференциал

функции z arcsin

x

.

y2 4

3.

Вычислить значение производной

dz

,

если z

4

,

dt

x y 3

где x ln t , y t 2 , при t 1.

4.

Найти производную

dy

, если

y

ez

, где

z

1

.

dt

t2 z2

t

5.

Найти частные производные

z

,

z

,

если

z x2ex y ,

где

u

v

x uv ,

y u v .

6.

Найти производную

dy

функции y y x , заданной урав-

dx

нением y2 x ln xy .

7. Вычислить значения частных производных z , z функ-

x y

ции z z x, y , заданной уравнением x2 y2 z2 3z 3 в точке

M0 4;3;1 .

8.	Проверить,			удовлетворяет ли функция		z arctg 2x y
уравнению		2 z	2	2 z	0.
		x2		x y
9.	Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-
верхности S : x2 y2 3z2 xy 2z 0 в точке M0						1;0;1 .

129

	10.	На поверхности S : y2 4y z2 x2 8		найти точки, в ко-
торых		касательная плоскость перпендикулярна					прямой
	x z 0
x y z 0 .
	11.	Найти градиент и производную функции z				2y2 x2 в
точке		M0 2; 2 в направлении идущем от точки			M0		к точке
N 3;1 .
	12.	Исследовать на экстремум функцию z 15xy x3					y3 .
	13.	Найти наибольшее и	наименьшее	значения			функции
z x2 y2 2xy 4x в области			D : x y 1 0,	y 0, x 3.

130