книги / Общая физика. Ч. 1 Механика

где т – масса тела, V – его объем, d и h – диаметр и высота цилиндра, которые измеряются с помощью штангенциркуля.

В данной лабораторной работе определяется плотность материала ρ, из которого изготовлены цилиндры.

Расчеты завершаются определением величины доверительного интервала для плотности материала при заданной надежности (α = 0,95) по правилам вычисления погрешности косвенныхизмерений.

Порядок выполнения работы

Задание I. Измерение диаметра цилиндра

1.Измерьте 5–7 раз диаметр цилиндра d с помощью штангенциркуля. Результаты измерений занесите в табл. 1.

2.Найдите среднее арифметическое значение диаметра по формуле

n

∑di

	< d > =	i=1	,
		n

где п – число измерений, i – номер измерения.

3. Вычислите отклонения результатов отдельных измерений от среднего арифметического ∆di = di − d и квадрата отклоне-

ния (di − d )2 . Занесите результаты в табл. 1.

Таблица 1

Микрометр №… Цена деления штангенциркуля ∆ = …, погрешностьприбораδ= …

№ п/п	di	di − d	(di − d )2
…
Σ		–
среднее		–	–

21

4. Найдите полуширину доверительного интервала ∆d по формуле

	n	)2
	∑(di − d		+	2	δ	2
∆d = τ(α, n)	i=1					+(0, 48∆)2 ,
	n (n −1)			3

где τ (α, n) – коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности (чаще всего выбирают α = 0,95; таблица коэффициентов Стьюдента приведена в приложении I), п– количество измерений, δ– погрешностьприбора, ∆– ценаделенияшкалыприбора.

5. Рассчитайте относительную погрешность εd измерения диаметра цилиндра по формуле

εd = (∆d/< d >)100 %.

6. Результат измерения запишите в стандартном виде: d =( d ± ∆d ) мм, εd= … при α = 0,95.

Задание II. Измерение высоты цилиндра

Высоту цилиндра измерьте 5–7 раз с помощью штангенциркуля, данные занесите в табл. 2.

Проведите расчеты погрешности измерения высоты так же, как это было сделано в задании I.

Результат представьте в стандартном виде: h =( h ± ∆h) мм, εh = … при α = 0,95.

						Таблица 2
Штангенциркуль		№ … Цена		деления	штангенциркуля
∆ = …, погрешность прибора δ = …
№ п/п		hi		hi – < h >		(hi – < h >) 2
…
Σ				–
среднее				–		–

22

Задание III. Измерение массы цилиндра

Измерьте массу цилиндра на аналитических весах с ценой деления 1 мг. В этом случае значение массы можно определить с высокой точностью, а погрешность прибора и погрешность округления массы достаточно малы, и поэтому погрешностью в определении массы цилиндра можно пренебречь.

Задание IV. Вычисление плотности цилиндра и оценка погрешности косвенных измерений

1. Вычислите среднее значение плотности цилиндра по

	формуле
	< ρ > =	4 < m >	,
		π< d >2 < h >

где < т>, < d >, < h > – средние значения массы, диаметра и высоты цилиндра.

Число π = 3,14159… округлите так, чтобы его относительная погрешность была на порядок (в 10 раз) меньше наибольшей из относительных погрешностей εd, εh, εm. Например, если наибольшая из этих погрешностей больше 13 %, то число следует округлить до двух значащих цифр, т.е. π ≈ 3,1. В этом случае относительная погрешность

επ = ∆π = 0,04159 100 % ≈1,3 %.

π3,14159

Если же наибольшая относительная погрешность εd, εh, εm больше 0,5 %, но меньше 13 %, то число следует округлить до трех значащих цифр: π = 3,14.

При правильном выборе степени округления любой константы (например, числа π) погрешность округления не внесет существенного вклада в величину доверительного интервала измеряемой величины.

23

2. Рассчитайте относительную погрешность в определении плотности цилиндра по формуле

ερ = ∆ρρ = 4ε2d +ε2h +ε2m .

3. Рассчитайте абсолютную погрешность определения плотности цилиндра

∆ρ = ρ ερ.

Результат измерений запишите в стандартном виде:

ρ = ( ρ ± ∆ρ) кг/м3, ερ = … % при α = 0,95.

Контрольные вопросы

1.Что называется плотностью вещества? Укажите размерность плотности и единицы измерения.

2.Прямые и косвенные измерения в данной лабораторной работе.

3.Получите формулы для расчета плотности твердых тел

вформе шара и параллелепипеда.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА

Цель работы – изучение динамики поступательного движения связанной системы тел с учетом сил трения.

Приборы и принадлежности: машина Атвуда, смонтиро-

ванная на лабораторном модуле ЛКМ-3, набор грузов и перегрузов, нить с крючками длиной 60 см (зеленая), измерительная система ИСМ-1 (секундомер).

24

Введение

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из вращающегося легкого блока, через который перекинута нить с привязанными грузами массами т1 и т2 (т1 < т2) (рис. 1).

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для движения грузов:

m ar = m gr +T ,			(1)
1 r	1 r	1r
m a	= m g	+T .
2	2	2

Если нить нерастяжимая, то ускорения грузов ar1 = ar2 ≡ a .

Спроецируем векторные уравнения (1) на направление ускорения движения каждого груза.

m1a =T1 −m1 g,				(2)		Рис. 1. СхемамашиныАтвуда
m2 a = m2 g −T2 .
Из уравнений (2) получим
a =	m2 −m1		g −		T2 −T1		.	(3)
	m	+ m			m	+ m
1		2		1		2

Разность сил натяжения (T2 – Т1) зависит от меры инертности блока (момента инерции) и трения в подшипниках блока.

В предельном случае отсутствия сил трения и нулевой

	массы блока и нити Т2 = Т1,
	поэтому	a =	m2	− m1	g ,	(4)
			m	+ m
		2		1

а ускорение свободного падения

25

	g =	m2	+ m1	a.	(5)
		m	− m
	2		1

Учтем влияние сил трения в подшипниках оси блока (пренебрегая массой блока). Введем в уравнение (3) вместо разности Т2 – Т1 «эффективную» силу сопротивления F.

a =	m2 −m1		g −		F	.	(6)
				m
	m	+ m			+ m
1		2		1	2

При сухом трении в подшипниках и незначительном изменении массы грузов m1 и m2 в первом приближении можно считать, что

	отношение		F	не зависит от масс грузов, а ускорение а
		m	+ m
	1		2

зависит от величины k = (т2 – m1) / (m1+ m2).

Кинематическая связь ускорения а грузов с угловым ускорением β блока при отсутствии проскальзывания нити

а = β R,

(7)

где R – радиус блока.

При равноускоренном движении угол поворота блока ϕ при начальной угловой скорости ωо = 0

ϕ =	βt2	(8)
	.

2

Из формул (7) и (8) следует

a = 2ϕR	(9)
t2

Описание установки

Машина Атвуда представляет собой блок, закрепленный на стойке 1, через который перекинута нить. К концам нити подвешены грузы m1 и т2 (рис. 2). Вращение блока регистриру-

26

Рис. 2. Машина Атвуда на модуле ЛКМ-3

ется фотодатчиком, который фиксирует поворот блока на один и более оборотов.

Задание I. Измерение ускорения свободного падения

1. Подключите датчик угла поворота блока к разъему № 2 на задней стенке модуля ИСМ-1. Переключатель 10 переведите

вположение К2. Переключатель 4 – в положение «: 1», переключатель 5 – в положение «ОДНОКР», переключатель 8 – в положение «+» или «–», переключатель 9 – в среднее положение. Включите переключателем «СЕТЬ» питание модуля.

Перекиньте нить через большой блок, радиус которого R = 25 мм, и закрепите на концах нити грузы примерно одина-

ковой массы m1 и т2 (m1 ≈ т2 ≈ 100 г, точное значение массы грузов выгравировано на каждом грузе), убедитесь, что грузы

всвободном состоянии находятся в равновесии. Массу т2 увеличьте на 10 г с помощью перегрузка. Значение массы грузов m1 и т2 с точностью до десятых долей грамма занесите в табли-

27

цу. Переведите груз m1 в нижнее положение и остановите качание второго груза. Вращая блок, добейтесь срабатывания датчика угла поворота, о чем свидетельствует загорание индикатора 3, при этом прорезь на блоке будет находиться вблизи нулевой отметки шкалы блока. Нажмите кнопку 7 «ГОТОВ» и отпустите груз m1. Система грузов придет в движение и таймер модуля ИСМ-1 зафиксирует время одного оборота блока в секундах или в миллисекундах в зависимости от положения переключателя 2. Результат измерения занесите в таблицу.

№ п/п	t	t2	m1	m2	a	g	k
1
…
среднее
…
среднее
среднее	–	–	–	–	–		–

2.Рассчитайте ускорение грузов по формуле (9).

3.Рассчитайте ускорение свободного падения g по фор-

муле (5).

4.Повторите измерения и расчеты по п. 2–4 не менее 5 раз

ирассчитайте среднее ускорение грузов а и среднее ускорение свободного падения g.

5.Замените перегрузок массой 10 г на другой перегрузок, массой 20 г. Повторите измерения по пунктам 2–5.

6.Проведите те же опыты по п. 2–6 с перегрузками в 10 г

и20 г, изменив массу наборных грузов вдвое (m1 ≈ т2 ≈ 200 г).

7.Найдите среднее значение ускорения свободного падения g по всем измерениям.

8.Оцените абсолютную и относительную погрешность нахождения ускорения свободного падения g по методу Стьюдента. Результат запишите в стандартном виде:

g = (< g > ± ∆g) м/с2, ε = … % при α = 0,95.

28

Задание II. Определение ускорения свободного падения с учетом трения в подшипниках оси блока

Разность масс грузов в нашем эксперименте составляет всего 2–10 % от их суммарной массы (при большей разности масс движение грузов становится слишком быстрым, что приводит к выходу из строя установки). При этом на результаты эксперимента заметно влияет трение в подшипниках оси блока. Введя в уравнение движения грузов некоторую «эффективную» силу сопротивления F, получим уравнение движения грузов с учетом силы трения в подшипниках оси блока

a (m1 + m2) = (m2 – m1)g – F,									(10)
откуда	a =	m2 −m1			g −		F	.	(11)
						m
		m	+ m				+ m
	1		2			1	2
Отношение	F			в случае сухого трения в первом при-
	m + m
	1		2

ближении постоянно. Рассчитайте коэффициенты k =	m2 −m1
	m	+ m
1		2

для каждого значения массы и заполните таблицу.

Построив график зависимости ускорения а от величины k и убедившись в том, что эта зависимость линейная, найдите g как угловой коэффициент графика. Ускорение свободного паде-

ния можно найти так же как
g =	∆a ,	(12)
	∆k

где ∆a – разность между ускорениями системы при разных массах, а разность ∆k = k2 – k1 вычисляется для соответствующих значений масс.

Сравните результаты, полученные в первом и втором заданиях.

29

Отношение		F	можно найти как экстраполированное
	m + m
	1	2

значение произведения k·g, при котором а = 0.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение кинематических характеристик материальной точки, движущейся прямолинейно: траектории, перемещению, пути, скорости, ускорению.

2.Дайте определение кинематических характеристик материальной точки, движущейся по окружности: углу поворота, угловой скорости, угловому ускорению. Какова связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками?

3.Что изучает динамика поступательного движения? Как вводится понятие силы, действующей на частицу, и массы частицы

вдинамике? Записать уравнение движения материальной частицы.

4.Как изменяется закон сухого трения в зависимости от внешнего воздействия на тело, находящегося на поверхности другого тела? От каких факторов зависит коэффициент трения? Другие виды трения. Анализ движения тела по наклонной плоскости при разных углах наклона.

5.Выведите основную рабочую формулу (5).

Задания для отчета по лабораторной работе

1.Ускорение свободного падения у поверхности Луны в 6 раз меньшеускорениясвободногопаденияуповерхностиЗемли.

Во сколько раз выше может прыгнуть человек на Луне, чем на Земле?

2.Радиус Луны Rл примерно в 3,7 раза меньше радиуса Земли Rз, а масса Луны mл в 81 раз меньше массы Земли mз. Найти ускорение свободного падения gл у поверхности Луны.

3.На какой высоте над полюсом Земли ускорение свободного падения убывает в 2 раза?

30