книги / Прикладная теория систем массового обслуживания

1.4. Вещественный параметр. Дискретный случай

На практике часто сталкиваются со случаем, когда наблюдения за случайно меняющейся системой производятся через равные промежутки времени. Взяв в качестве единицы времени промежуток между двумя по­ следовательными измерениями, получим последовательность случайных величин, т.е. случайный процесс с целочисленным параметром.

Изменим прежние обозначения: параметр будем обозначать л вместо t, а случайную величину, наблюдаемую в момент л, будем обозначать или £„(со) вместо £(/, со). Множество Т значений параметра будет состоять из всех рассматриваемых л; чаще всего Т будет множеством всех целых чисел л = ..., -1, 0, 1, или множеством всех положительных чисел п\ = = 1,2,...

Последовательность случайных величин = Ç„(co), л = 1,2, ..., пере­ водит каждую фиксированную точку со основного вероятностного про­ странства в некоторую точку Ç = (Çi, Ç2, —) бесконечномерного простран­ ства Æ® Иными словами, выборочным пространством X является про­ странство Æ®, состоящее из всех точек х = (х\ х2, ...) с бесконечным числом координат. Интервал в R®представляет собой множество точек х, удовле­ творяющих конечному числу неравенств вида QJ <xj < bj с теми же замеча­ ниями о знаках неравенств, что и в общем случае (§ 1.3).

Предположим, что дана последовательность случайных величин

= Ç„(a>), л = 1,2, Тогда любое конечное множество величин напри­ мер £Я1 ,...,£>Пк, имеет совместное распределение вероятностей с функцией

распределения

Я ** , ,-,Х „к ) = P {\j < Xj\ j = И,,...,Пк}

В силу первой части теоремы Колмогорова семейство всех функций F однозначно определяет вероятность того, что точка £ = (£ь ...) принад­ лежит множеству В < Л®для любого борелевского В.

Пусть теперь дано лишь семейство {F} функций распределения F(xn] ,х„к ) с любыми к и л„ удовлетворяющее условиям симметрии и со­

гласованности. Вторая часть теоремы Колмогорова показывает, что это семейство однозначно определяет распределение вероятностей в классе борелевских множеств в Л®.

Таким образом, в обоих случаях в Л® может быть построено некото­ рое распределение вероятностей, соответствующее бесконечной случайной последовательности Ç = (£ь £2, ...). Вероятность того, что эта последова­ тельность как точка в R* будет принадлежать данному множеству А, одно­ значно определяется для любого борелевского А в В00

Оказывается, что все множества в Æ00, которые могут быть опреде­ лены с помощью обычных аналитических операций над £я, являются борелевскими. Это очень важный факт; он означает, что в случае дискретных последовательностей случайных величин все события, с которыми сталки­ ваются, имеют вполне определенные вероятности. В непрерывном случае ситуация далеко не так проста.

Пример 1.1. Рассмотрим три простых примера борелевских мно­ жеств в Д00, определенных с помощью простых операций над последова­ тельностью случайных величин £i, Ç2, ... Каждый из этих примеров суще­ ственен для различных приложений.

Пусть h - некоторое число. Обозначим А, В и С множества в Æ00, оп­ ределенные следующими соотношениями:

A:	supÇn</z,
В:	lim	= А,
С:	lim	- существует и конечен,

где п пробегает множество положительных чисел. Покажем, что каждое из этих множеств может быть получено из интервалов в ВТ с помощью счет­ ного числа операций, так что все они являются борелевскими. Для любых положительных целых чисел т, п и q обозначим через /я, K^q и Lm>lг<7, ин­ тервалы в Æ00, определенные неравенствами:

Knq: U „ - A l< - ,

ч

w

ч

Множества А, В и С могут быть построены из этих интервалов с помощью пересечений и объединений следующим образом:

А = П1„,

Л=1

В = П Z П K n,q > g=l ш=1 п-т

00 00 00

С = П X П Lmtn,q •

9=1т=\ п=т

Отсюда следует, что множества А, В, С являются борелевскими.

1.5. Вещественный параметр. Непрерывный случай

Для большинства случайных процессов, которые рассматриваются в этом учебном пособии, множеством значений параметра служит некото­ рый интервал на вещественной оси R. В основном будут встречаться три случая: 1) Т совпадает со всей прямой R = (-оо, +оо); 2) Т представляет со­ бой положительную полуось [0, +оо); 3) Т является конечным интервалом [а, Ь]. Параметр / рассматривается как время.

Очень часто имеется прямое соответствие между результатами, по­ лученными для процессов с непрерывным параметром, и аналогичными, обычно проще получаемыми, результатами для дискретного случая.

В § 1.4 мы видели, что в дискретном случае класс борелевских мно­ жеств в выборочном пространстве достаточно широк, чтобы включить все события, с которыми мы обычно встречаемся в приложениях. Даже если непосредственное вычисление вероятностей таких событий связано с большими трудностями, мы знаем, что они все равно однозначно опреде­ ляются конечномерными распределениями. Если эти распределения из­ вестны, то вероятностная структура случайного процесса полностью опре­ делена.

Сделаем одно замечание для дискретного процесса. Пусть и г|„ - эквивалентные процессы (см. § 1.1), тогда и г\п имеют одинаковые ко­ нечномерные распределения и Р(^п= г|„) = 1 для каждого фиксированно­ го п = 1, 2, Так как п принимает лишь счетное множество значений, то отсюда следует , что Р(^п = т\п для всех п = 1,2, ...) = 1. Таким образом, можно сказать, что два эквивалентных дискретных процесса с вероятно­ стью единица тождественны.

В непрерывном случае ситуация не столь проста. Выборочным про­ странством здесь является пространство X всех конечных вещественных функций х(0 0 < / < оо. Борелевские множества в X были определены в § 1.3 как множества из наименьшего S-поля, содержащего все интервалы. Каж­ дое множество, полученное с помощью счетного числа операций над счетной совокупностью интервалов, является борелевским. На вероятност­ ном языке это означает, что соответствующее событие определяется с по­ мощью некоторых ограничений, наложенных на значения случайных ве­ личин Ç(f) в точках tu ti, из некоторого счетного множества. Вероят­ ность любого такого события однозначно определяется конечномерными распределениями.

Однако очевидно, что многие события, вероятности которых мы хо­ тели бы знать, нельзя определить таким образом. Каждому элементарному событию со соответствует определенная выборочная функция £(/) = £(/, со). Когда со пробегает пространство элементарных событий Q, получаем сово­ купность «значений» соответствующей случайной функции £(/). Часто (в

дальнейшем это будет видно) интересно знать вероятность того, что эта случайная функция обладает тем или иным свойством, которое определя­ ется ее поведением в несчетном множестве точек t.

Например, может потребоваться знать вероятность того, что £(/) < h для всех t в некотором интервале I = [а, 6], или вероятность того, что £(/) непрерывна, дифференцируема или интегрируема на I. События такого ви­ да, вообще говоря, не являются борелевскими множествами, и их вероятно­ сти не определяются однозначно конечномерными распределениями про­ цесса. Иными словами, иногда можно найти два случайных процесса (при этом каждый из них задается некоторой функцией вида £(г, со)), имеющие одно и то же семейство конечномерных распределений, для которых веро­ ятности таких неборелевских множеств не равны.

Покажем это на следующем примере.

Пример 1.2. Возьмем в качестве вероятностного пространства ин­ тервал Лебега [2] Q = [0, 1] и равномерное распределение на нем. Опреде­ лим случайные процессы £(/) и r|(f) следующими соотношениями:

£(0 = U.U ©) = 0 для всех t и со,

1 при t - оо,

Г|(г) = Л(A Cù)

О в противном случае.

Очевидно, £(/) и г|(0 имеют одно и то же семейство конечномерных распределений. Все эти распределения сосредоточены в начале координат, так что соответствующие функции распределения имеют вид

[1 когда всех- >0, F(x{, Гь ...,*„) = 4 7

[О в противном случае.

Тем не менее,

Р{£(/) < 1для всех t} = 1,

P{r\(t) < 1 для всех t) = О

и

P{Ç(f) непрерывна при 0 < t <1} = 1,

P{r\(t) непрерывна при 0 < t < 1} = 0.

Таким образом, даже в примере сталкиваемся с событиями, вероят­ ности которых не определяются однозначно конечномерными распределе­ ниями.

Несколько изменив этот пример, можно показать, что даже вероят­ ность того, что выборочная функция непрерывна в отдельной точке / = tQi не определятся однозначно конечномерными распределениями.

Пример 13. Действительно рассмотрим процесс £(/), определяемый соотношениями

f1 при / = (1 + ®/п)(п +1), п = 1,2,...,

v(0 = v(t, со) =

[О в противном случае.

Конечномерные распределения остаются теми же, что и в примере 1.2, и £(0) = 0, v(0) = 0 для всех со, но

0 -► 0 при t -> 0} = 1, P{v(r) -» 0 при / —^ 0} = 0.

Все три процесса £(/), T|(f), v(f) эквивалентны, т.к.

Р{Ш) = Л(0 = v(0 = 0} =1

для каждого фиксированного /. Однако

P{Ç(/) = г|(0 = v(0 для всех t} = 0,

так что эти процессы не являются тождественными.

Как следует из приведенных примеров, вероятности многих собы­ тий, связанных со случайным процессом с непрерывным параметром, не определяются конечномерными распределениями этого процесса. Рас­ смотрим два возможных способа преодоления этого препятствия.

Первый способ. Пусть £(/) - случайный процесс с известными конеч­ номерными распределениями. При каких условиях в терминах этих рас­ пределений существует процесс такой Ç0(f), что Ç(f) и £0(0 эквивалентны, т.е. P{£(t) = Ço (t)} = 1 для любого фиксированного t е Т> и выборочные функции процесса £о(0 с вероятностью единица обладают определенным свойством регулярности?

Если в рассматриваемом случае такой процесс £0(0 существует, то естественно изучать £,0 вместо используя получаемое при этом упроще­ ние.

Джордж Дуб [4] дал определение свойства регулярности, которое он назвал сепарабельностью. По известному определению сепарабельная функция может быть в известном смысле восстановлена по ее значениям на некотором счетном всюду плотном множестве точек. Случайный про­ цесс называется сепарабельным, если с вероятностью единица его выбо­ рочные функции обладают свойством регулярности. Дж. Дуб показал, что для любого случайного процесса Ç(t) можно найти эквивалентный ему се­ парабельный процесс Ш - Это решает сформулированную выше проблему в том случае, когда свойство регулярности совпадает с сепарабельностью.

Второй способ. Этот подход основан на использовании явного ана­ литического выражения, которым задается процесс £(/). Рассмотрим, на­ пример, функцию

Ç(r, (ù) = q{t, Ц|, |12, ...),

где pi, Р2, - конечное или счетное множество случайных величин (т.е. функций со); q - аналитическое выражение, содержащее t и р,. Если это выражение достаточно простое, то выборочные функции, полученные при фиксированных значениях р,, часто будут обладать свойством регулярно­ сти. Приведем пример использования этого метода.

Пример 1.4. Пусть р и 0 - независимые случайные величины, р > 0 и

имеет плотность распределения хе 2 , а 0 равномерно распределена на [О, 2л]. Тогда функция Ç(f, со) = р cos (Xt - 0), где X - некоторое положитель­ ное число, определяет случайный процесс £(у) = £(/, со), который представ­ ляет собой гармоническое колебание с угловой частотой X, случайной ам­ плитудой р и случайным сдвигом по фазе 0. Все выборочные функции это­ го процесса непрерывны, так что вероятности событий, о которых говори­ лось раньше, однозначно определяются. Например, легко найти вероят­ ность

P{Ç(f) < h для всех t) = Р{р<й} = 1 -е 2

1.6. Пуассоновский процесс

Сначала рассмотрим пуассоновский процесс, который является по­ током событий простейшего типа и, кроме того, сам играет важную роль во многих приложениях. Например, пуассоновский процесс служит моде­ лью для потоков таких событий, как радиоактивные распады, телефонные вызовы или обращения в страховое общество. Разумеется, в некоторых случаях эта модель дает хорошее приближение к истинной ситуации, а иногда используется лишь на начальном этапе изучения явлений.

Построим пуассоновскую модель на основании следующих предло­ жений Хинчина [5]:

1.Вероятность Pn(t) того, что в интервале времени длительностью t произойдет ровно п событий, зависит от п и г, но не зависит от положения этого интервала на временной оси (условие стационарности).

2.Числа событий, происшедших в течение непересекающихся ин­ тервалов времени, являются независимыми случайными величинами (от­ сутствие последствия).

3. Вероятность того, что в малом интервале времени длительность произойдет более одного события, есть величина порядка меньше f, т.е. при f -> 0 эта вероятность равна 0(f) (условие ординарности).

Рассмотрим следствия, вытекающие из условий 1 -3 . Из условий 1 и 2 вытекает, что для любых f и и

Po(t + u) =P0(t)P0(u).

Единственным решением этого уравнения, для которого 0 < Po(t) ^ 1, является

Р0«) = е-Ь ,

где X - некоторая неотрицательная константа. Исключая тривиальный слу­ чай Po(f) = 1 для всех f, можно считать X > 0. (Другие тривиальные реше­ ния Po(t) = 0 не совместимо с условиями 2 и 3.) Для малых f

Po(t) = 1- Xf + 0(f),

и из условия 3 получаем

P\(f) = 1 - Po(t) + 0(f) = Xt + 0(f).

Далее в силу условий 2 и 3 для п >1

P n{t + т) = (1 - Xi)Pn(t) + ХтЛ,,(0 + 0(т).

Поделив обе части на т и устремив т к нулю, убеждаемся, что произ­ водная PnX(f) существует и удовлетворяет соотношению

Pn\t)=UPn-l(t)-Pn(t)l

( 1.2)

Положив P„(t)= e~^‘vn(t), получим vj,(f)- X.vn_l(t) .

Единственным решением этой системы, удовлетворяющим условиям v0(0) = 1, v„(0) = 0 для всех n 't 1, является

V . W - и!

Следовательно, единственным решением системы (1.2), при условии Рп(0) = 0 для всех и > 1 и Р0(О) = 1, будет

Л(0- ми!и -

(1.3)

Определим теперь случайный процесс Ç(f), который даст возмож­ ность описать вероятностную структуру пуассоновского процесса. Пусть Ç(f) обозначает число пуассоновских событий на интервале времени (0, 1];

приращение hfj + и) - Qu) есть число событий на интервале (и, и + f\. Тогда
£(f), так же как и любое приращение	+ и) - Qu), будет иметь пуассонов­

ское распределение с параметром X t.

Определим конечномерные распределения Ç( t ) соотношением

р Ш	= г^	п) = гп} = р Г1( f , ) V r , ('2	('* - '« - ■ ) =
		rl'(r2 - r l)" " (rn _ r n -l)!
где r\< r2<	< /*„ -	целые числа; t\< t2<	< tn. Ясно, что условия 1-3 и

условия согласованности теоремы Колмогорова выполняются. Следова­ тельно, существует вероятностная мера на функциональном пространстве X, которая определяется этими конечномерными распределениями.

Построим эквивалентный вариант Qt) следующим образом. Из вида конечномерных распределений следует, что с вероятностью единица £(/) не убывает на множестве всех рациональных /; оставим без изменения !;(/)

для всех рациональных /, а для иррациональных t положим Qt) = lim Qtk),

к-+«

где tk - рациональны и меньше /. Нетрудно видеть, что так определяемый процесс эквивалентен Qt), поскольку значения нового процесса являются с вероятностью единица пределами величин Qtk), а Qt) - предел по вероят­ ности этих величин, что следует из специфики конечномерных распреде­ лений.

Далее с вероятностью единица этот эквивалентный вариант Qt) не убывает и в каждом конечном интервале имеет не более конечного числа единичных скачков. Эти скачки соответствуют появлениям пуассоновских событий, и мы можем определить, например, случайные величины рь р2, • рл где р„ - промежуток времени между появлениями {п - 1) и п-го событий после момента t = 0.

Последнее замечание приводит к другому естественному способу определения процесса Qt) с помощью параметрического метода (второй способ § 1.5). Рассмотрим множество^ всех функций Qt), определенных для t > 0 соотношениями

Qt) = 0 при 0 < t < pIt

Qt) = n при pi + + p„<r<pi + +Ц„+1,

где рь р2, - положительные параметры. Множество Х0 является под­ множеством функционального пространства X и каждое £(/) е Х0 будет ступенчатой функцией, имеющей единичные скачки в точках t = pj + + + р„. Пусть параметры р7 являются независимыми случайными величинами

с плотностью распределения Хеь. Тогда сумма Ц| + + имеет плот­ ность (X Y / и!)е_Х/, и легко заметить, что совместное распределение слу­ чайных величин 4(*0, ..., Ç(fjt) совпадает с введенным ранее распределени­ ем для процесса Пуассона (1.3).

1Л. Общие свойства случайных процессов

Рассмотрим событие Е, происходящее в случайные моменты време­ ни. Пусть N(s, t) обозначает их число в полуинтервале (s, /]. Вероятност­ ную структуру N(s, t) определяют, как и в пуассоновском случае, возрас­ тающие ступенчатые функции £(/), которые будут задаваться на всей пря­ мой - ао < t < + оо. Как и в пуассоновском случае, N(s, t) будет определяться соотношением N(s, t) = Ç(r) - ^(s). Предположим, что для любого конечного числа непересекающихся интервалов (уь t\],..., (sk, rj заданы вероятности

P{N(s\, ti) = ru ..., N(sk, tk) = r*},

согласованные в том смысле, что

P{iV(s, ,Г,) = г,} = £ P{N{s^ ,Ц) = г,,N{S2 ,t2 )= r2},

^=0

P{W(s,«) = r} = '£P{N{s,t)= q,N {t,u)= r-q} , s< t< q ,

9=0

и т.п.

Так как рассматриваются полузамкнутые интервалы (s, f], то необхо­ димо, чтобы функции вида P{N(s, t) = г} были непрерывны справа по t. Эти вероятности определяют конечномерные распределения процесса £(/) и, следовательно, вероятностную меру на функциональном пространстве X. Так же как для пуассоновского процесса, построим эквивалентный ва­ риант Ç(f), реализации которого не убывают и в любом конечном интерва­ ле имеют не боЛее конечного числа скачков. Эти скачки будут соответст­ вовать появлениям событий рассматриваемого потока (читатель может провести это построение самостоятельно). В дальнейшем не будем обра­ щать внимание на основной процесс £(/), а будем рассматривать лишь случайные величины N(s, t).

Согласно работе [5] случайный процесс является стационарным, ес­ ли для любого конечного числа интервалов (su t\], ..., (ski tk]yлюбых чисел (целых) Г |,..., гкИ любого г > О

P{N(st+1, /,+ 1) = r„ / = 1,.... £} = P{N(sit ti) = r„ i= l .......k}.

Это и есть общие условия 1, сформулированные ранее для пуассоновского случая.

Стандартный процесс будет называться ординарным [2], если

P{N(0, 0 >1} = 0(/) при t 0.

Это уточнение условия 3 для пуассоновского процесса.

Рассмотрим следующую лемму, которая очень полезна при изучении свойств процессов.

Лемма 1. Пусть / (х) - вещественная неотрицательная и неубываю­ щая функция в интервале 0 < х < а и f(х + у) < {(х) + {(у), когда х, у, х + у е е (0, а). Тогда при х —> 0 отношение {(х)/х стремится к некоторому преде­ лу, быть может бесконечному. Этот предел равен нулю лишь при условии f(*) = 0.

Положим со(*) = P{N(0, t) > 1}. С помощью леммы можно доказать

[5] существование такого неотрицательного X < оо, что
со (0 ~ Xt при f 0.	(1.4)

Действительно, co(f), очевидно, не убывает по t. Далее, если в интер­ вале (0, t\ + *2) произошло хотя бы одно событие, то, по крайней мере, в од­ ном из интервалов (0, /1] и (tu t\ + /2] тоже произошло хотя бы одно собы­ тие и, следовательно, co(fi + t2) < (ù(t\) + <ù(t2), так что условия леммы вы­ полнены. Таким образом, (ù(t)/t стремится к некоторому пределу при t, от­ куда следует (1.4). Число X, в (1.4) называется интенсивностью стационар­ ного процесса. Очевидно, X всегда строго положительно, за исключением тривиального случая, когда ни одно из событий не происходит.

Приведенные выше рассуждения касаются стационарного процесса без требования ординарности. Если же стационарный процесс ординарен, то вероятность того, что два или более события произойдут одновременно хотя бы в одной точке, равна нулю. Действительно, разделим отрезок [0, 1] на т равных частей, тогда интересующая нас вероятность не превосходит mP{N(0, тл) >1}, которая стремится к нулю при т -¥ оо. Обратное утвер­ ждение содержится в следующей лемме [2].

Лемма 2. Рассмотрим стационарный поток событий, для которого вероятность того, что хотя бы в одной точке отрезка 0 < t < 1 произойдут одновременно два или более события, равна нулю. Пусть р = e{N(0,\)} < 00. Тогда процесс ординарен.

Лемма доказана Добрушиным при условии р = б {М(0, 1)} < оо. Разу­ меется, это не исключает возможности существования ординарного пото­ ка с р = +00.

Из эвристических соображений ясно, что для стационарного регу­ лярного (ординарного) процесса среднее число событий в единичном ин­ тервале р и интенсивность процесса, определенная (1.4), совпадают. До­