книги / Теория упрочняющегося пластического тела

вий совместности подучим

где

= ViJVj,

tow] =

— т)о-с,

Ivij] =

liVj,

(2.114)

»Ш

=

Ur^,fc] Vft,

i j =

V*.

Из

соотношений

(2.110) — (2.114) следует

4U V , = о,

(2.115)

-

C ^

“ 4

+ S b r « [p ? ] = 0 ,

(2.116)

Г

~ c\

= 4&&U +

I* (5 ,V # +

g,.v. -

2 S [|X0 ] /£ > ).

(2.117)

CD

Подставляя значения TJ*; из (2.117) в (2.115), получим

(*■ + I*)SfcVfcVi +

1 *6 * -2 ^ 2

[|*«] /)fv> =

0.

(2.118)

СО

Из (2.118) для величин £* имеем

« . - 2|* 1 В Д

(tn \ -

/ffv.v.v.) •

(2.1W)

Подставим значения £г из (2.119) в (2.117):

- ст1у = Г ? к 2

а д

{Ц , -

2

(К + (i) v^.} +

г

со

+

2

(i 2

[ ^ ]

O S S *, +

/<“>vkv. - /(“)).

(2 .1

2 0 )

СО

Подставляя значения г\и из (2 .1 2

0 ) в (2.115),

для

оп­

ределения [р^]

получим

систему

линейных

однородных

уравнений

2

(*W +

< W )[^ ]= 0 .

(2 .1

2 1 )

СО

Уравнения

(2

.1

2 1

)

совпадают

с

уравнениями

(2.78),

которые были рассмотрены выше. Определитель этих систем уравнений для устойчивых упрочняющихся упруго-пла­

стических тед отличен от нуля, поэтому все	=	0	, а из
соотношений (2.119) и (2.117) следует, что и	^	=	0, и
r\ij = 0 ,

В ы в о д : В устойчивых упрочняющихся упруго-пла­ стических телах нестационарных (как и стационарных) поверхностей раврыва скоростей деформаций не'существует.

§5. Поверхности разрыва скоростей деформаций

видеальных упруго-пластических телах

Видеальных упруго-пластических телах поверхность

нагружения не зависит	от пластических деформаций	efj
и параметров Хг» и из	соотношений (2.55) получим,	что

Ъчг =	0. В этом случае определитель системы уравнений
(2 .1 2 1	) может обращаться в нуль, и в идеальном упруго­

пластическом теле могут существовать поверхности раз­ рыва скоростей деформаций.

Ограничимся рассмотрением пластически несжимаемых изотропных сред. В этих средах поверхность нагружения может быть или гладкой, или иметь сингулярные точки, которые образованы пересечением двух регулярных по­ верхностей. Действительно, в системе координат, совпа­ дающей с главными осями напряжений, условие пластич­ ности определяет зависимость между главными значения­

ми девиатора напряжений / “ (ai, о'2, сгз, к{) =					0. Если в син­
гулярной точке	пересекаются		две	гладкие поверхности
/(1)(<31 , 4	4	h ) = о , /(*> (02,		4 Оз, k i)	= 0, (2.122)
то, учитывая, что		компоненты о\ связаны			соотношением
		+	сгз =	0,	(2.123)
из соотношений	(2.122) и (2.123) можно определить значе­

ния а/, а любое третье условие, присоединенное к соотно­ шениям (2 .1 2 2 ), будет зависимым.

Если поверхность текучести в идеальном упруго-пла­ стическом теле гладкая, то в соотношениях (2' 1 2 1 ) следует положить о) = q = 1 .

Система уравнений (2.121) будет состоять из одного уравнения для определения одной величины [|х°]. Это

уравнение будет иметь нетривиальное решение при усло­ вии

(fij ~ fihVhVj — fjkVhVi + NfhlVhVlViVj)X

x (fi) —:/ynv„Vi - f invn\j - NfmnvmvnV|V,) = 0,

где

N = 1 + ] / Я.+ 2 Ц •

(2.124)

Левая часть равенства (2.124) является суммой квад­ ратов и обратится в нуль при условии, что будет равно нулю каждое из слагаемых, то есть

fij = fikVkV} + fjh V h V i — N f k i V b V i V i V ) .

(2.125)

Сворачивая уравнения (2.125) с VjV/, получим, что fhiVkVi = 0, а (2.125) можно представить в виде:

ftj = fmVhVj + fjhVhVi.

(2.126)

Если в некоторой точке поверхности Н выбрать ло­ кальную систему координат так, чтобы оси координат хх совпадали с главными осями тензора скоростей дефор­ маций, то из соотношений (2.126) получим, что на поверх­ ности разрыва скоростей деформаций в идеальном упруго­ пластическом теле должны иметь место соотношения

. /1 « ОЧ „ . . .

п

_ . . . _ О.

Л

где fx — главные значения тензора / i;, пропорционального тензору скоростей пластических деформаций.

Из соотношений (2.127) следует, что

где символ (1*2.3) означает, что невыписанные соотноше­ ния получаются при круговой перестановке индексов.

Из (1.128) следует, что на поверхностях разрыва ско­ ростей деформаций в идеальных упруго-пластических те­ лах с гладкой поверхностью текучести скорости пластиче­ ских деформаций представляют собой чистый сдвиг, а сами поверхности разрыва совпадают с поверхностями

максимальных скоростей пластического сдвига, то есть являются поверхностями скольжения.

В изотропных идеально-пластических телах главные оси скоростей деформаций совпадают с главными осями напряжений, и одна из главных осей тензора напряжений касается поверхности разрыва, а две другие наклонены

к этой поверхности		под углом 45°. Напряженное состоя­
ние на	поверхности	разрыва должны быть таким, чтобы
/ 3 = 0.	При любом	напряженном состоянии это условие

будет выполнено только для критерия текучести Треска. Рассмотрим поверхности разрыва скоростей деформа­ ции в идеальном упруго-пластическом теле с сингулярной поверхностью текучести. Пусть напряженное состояние с обеих сторон от поверхности разрыва соответствует сингулярным точкам на поверхности текучести, которые

лежат на пересечении двух гладких поверхностей

/ (1) ( o i i )	= 0 , Я (а у ) =	0 .
На поверхности Я	система уравнений (2.121) имеет от­
личное от нуля решение относительно		[р,?] и [ц°], и опре­

делитель этой системы должен обращаться в нуль, откуда

	#1 1 # 2 2 — а21а12 = 0’	(2.129)
Введем в рассмотрение два тензора рц и дг-7, которые
определяются из	равенств
Р<| = / “’ —	V„v, - /51'v„v, + Nf';! V,v,v„	I
Подставляя значения аШиз (2.58) в (2.129) и используя
обозначения (2.130), получим
PijPijQhlQkl — PijQtjPhlQhl ^		(2.131)

Из соотношения (2.131) следует, что на поверхности разрыва скоростей деформаций компоненты тензоров ри

и Ян пропорциональны, то есть
Ри — УЯи ~ 0,	(2.132)
где у — некоторый неопределенный множитель.

Подставляя значения рц и цц из (2.130) в (2.132), получим, что на поверхности Н будут выполнены ра­

венства
hi = tihvh\j + t)hvhVi — N thivhVi\iVj,	(2.133)

где ti3 = flf

Равенства (2.133) аналогичны соотношениям (2.125). Поэтому (2.133) будут выполнены, если в локальной си­ стеме координат, совпадающей с главными осями тензора tij, будут иметь место равенства

= + -~2 ~У 2 , v2 = +	У"2 , v3 = 0 ,	^	— 0
	(1-2.3),		(2.134)

где tt — главные значения тензора t^.

В изотропных идеально-пластических телах главные

оси тензоров f\)\ f[f и ttj совпадают с главными осями тен­ зора напряжений оi7-, откуда следует, что поверхности разрыва скоростей деформаций в этом случае совпадают с площадками, на которых касательные напряжения дости­ гают максимальных значений. Отметим, что в пластически

несжимаемых		телах	tx + t2 + t3 = 0 , поэтому		условия
t3 = 0 и	tx +	t2 = 0	могут быть	выполнены для произ­
вольного	ребра любого условия			пластичности	за счет
соответствующего выбора у в определении тензора ttj.
Таким	образом, если в изотропном идеальном упруго­

пластическом теле напряжения в некоторой области со­ ответствуют сингулярным точкам условия пластичности, то в этой области могут существовать поверхности разры­ ва скоростей деформаций, которые совпадают с поверхно­ стями, на которые касательные напряжения достигают максимального значения.

В ы в о д : В идеальной изотропной упруго-пластиче­ ской среде могут существовать поверхности разрыва ско­ ростей пластических деформаций. Для гладких точек условий пластичности эти поверхности совпадают с по­ верхностями максимальной скорости чистого пластиче­ ского сдвига. В сингулярных точках условия пластичности поверхности разрыва Н совпадают с поверхностями мак­ симальных касательных напряжений.

§6. Поверхности разрыва производных напряжений

идеформаций в упруго-пластических телах.

Характеристические многообразия уравнений теории упруго-пластического деформирования

Под g-поверхностью разрыва в упруго-пластическом теле будем понимать изолированную движущуюся по­ верхность, на которой напряжения и деформации непре­ рывны вместе с их производными до (q — 1 )-го порядка включительно, а разрыв претерпевают их производные g-го порядка.

Из непрерывности деформаций и их производных сле­ дует непрерывность скоростей перемещений и их произ­ водных до (д — 1 )-го порядка.

Действительно, из кинематических и геометрических условий совместности для производных скоростей пере­ мещений получим

Га*

а V-

dtk = Ljfc) (— с)к (по к

ак	1
д Vi

-- Lfi V; .

dxj . . . dxt

— не суммировать!),

..	Г	A	1
<	i—		<a>

(2.135) При составлении соотношений (2.135) предполагалось,

что (к — 1 )-производные		функции		у* непрерывны на рас­
сматриваемой поверхности.
Дифференцируя соотношения (2.14) к раз по времени,
получим
d\i_ = ± . (		А	4 -	А	\	(2.136)
di*	2 {dxjdt*-1 ^			дх{д1*-1 )

Пусть производные скоростей деформаций (к — 1)-го по­ рядка непрерывны, тогда из соотношений (2.136) и (2.135) следует

	( L f vj +	L(f\ ) ( - с)*-* = 0.	(2.137)
Если с Ф	0, то из (2.137) следует, Что i f f		= 0, и все
производные	скоростей	перемещений к-то порядка непре-

рывны. Непрерывность этих производных при с = 0 полу­ чается аналогично. Для этого вместо соотношений (2.136) следует использовать уравнение (2.14), предварительно продифференцировав его один раз по времени и (к — 1 ) раз по нормали к поверхности разрыва.

Таким образом, на ^-поверхностях разрыва производ­ ные (q — 1 )-го порядка скоростей перемещений непре­ рывны.

Из непрерывности производных напряжений и дефор­ маций до (q — 1 )-го порядка включительно и соотноше­ ний (2 .1 2 ), (2.13) следует, что и упругие и пластические деформации на ^-поверхности разрыва будут непрерывны вместе с производными до (q — 1 )-го порядка включитель­ но. Из соотношений (2.10) получим непрерывность пара­

метров	вместе с их производными до (q — 1 )-го порядка.
Если	производные (q — 1 )-го порядка от массовых

сил непрерывны на поверхности разрыва, то, дифферен­ цируя соотношения (2 .7 ) (q — 1 ) раз по времени, получим

dqe..	0.	(2.138)
=

dx.dt« - 1

Дифференцируя уравнения (2.9) q раз по времени и подставив значения % из (2 .1 0 ), найдем, что на д-поверх- ности будут выполнены соотношения

<21з9>

где
»Ь =	£ 4
	dtq

Аналогично иэ соотношений (2 .1 2 ) — (2.14) следует

Г*V	I	J	» Г
.I 9*			[дх^-1

+ И1

(2.140)

Скачки производных скоростей пластических деформа­ ций определим из ассоциированного закона течения (2 .1 1 ),

откуда после дифференцирования по времени (g — 1 ) раз получим

« S - S u S l / g * . t f = ^ r -

(2.141)

Скачки производных напряжений выражаются через кинематические и геометрические условия совместности по формулам

dqG:.
___12	Мц( с)'1,			= 7Wi,vJ( - c ) i - 1.			(2.142)
dtq
Из соотношений		(2.138) — (2.142) следует
			(— с) ^ - 1	MijVj =	0,		(2.143)
	$ М ц	( -	с)* +	2 Ь-г №«] =		0.	(2.144)
				СО
М и (— c)q =			-f- М»	"Ь	— 2	2 [И'м9]
где Ц = Ц ( — с ) ^							(2.145)
					(2.143) — (2.145) и
Сравнивая системы уравнений

(2.115) — (2.117), получим, что они совпадут, если переобозначить искомые величины (— c)9 "W ^ на т)^, [цЦ?] на

[цЛ] и Lt на £i# Поэтому выводы, полученные из соотноше­ ний (2.115) — (2.117), о свойствах поверхностей разрыва скоростей деформаций для g-поверхностей вытекают из уравнений (2.143) — (2.145).

Откуда следует, что в устойчивых упрочняющихся уп­ руго-пластических телах g-поверхности разрыва не су­ ществуют, и напряжения, перемещения и деформации не­ прерывны в зоне пластического деформирования вместе с их производными любого порядка, за исключением, может быть, некоторых изолированных точек.

В идеальных упруго-пластических телах с гладкой по­ верхностью текучести g-поверхности разрыва совпадают с поверхностями максимальных скоростей пластического сдвига, то есть являются поверхностями скольжения, которые могут иметь место только при некоторых напря­ женных состояниях. Так, если идеальное упруго-пласти­

ческое	тело	изотропно и имеет поверхность текучести
fit'll	0 Г3 ),	то на ^-поверхности разрыва главные
напряжения		должны	удовлетворять	одному	из соотно­
шений
	А -	= 0 или -А - = 0 , или		-А - = 0 .	(2.146)
Условие (2.146) тождественно выполняется только для
условия	пластичности		Треска.

Если в некотором изотропном идеальном упруго-пла­ стическом теле напряженное состояние соответствует сингу­ лярной особенности поверхности текучести, то в этом теле могут существовать g-поверхности разрыва. На этих по­ верхностях касательные напряжения достигают макси­ мального значения.

Если некоторая поверхность в упруго-пластическом теле может быть поверхностью разрыва скоростей дефор­ маций или g-поверхностыо, то поставленная на этой по­ верхности задача Коши не будет иметь единственного ре­ шения, т. е. эти поверхности будут характеристическими. И наоборот, если некоторая поверхность характеристиче­ ская, то на этой поверхности могут претерпевать разрыв некоторые производные напряжений и деформаций.

Условия существования поверхностей разрыва ско­ ростей деформаций и g-поверхностей одновременно явля­ ются условиями существования характеристических по­ верхностей.

Вустойчивых упрочняющихся упруго-пластических телах поверхностей разрыва скоростей деформаций и g-поверхностей существовать не может, а, следовательно,

вэтих телах не существует и характеристических поверх­ ностей. В этом смысле уравнения теории устойчивых, уп­ рочняющихся, упруго-пластических сред являются эл­ липтическими.

Видеальных упруго-пластических телах с гладкой

поверхностью текучести характеристические поверхно­ сти существуют только при условии, что скорости пласти­ ческих деформаций являются чисто сдвиговыми. Сами характеристические поверхности при этом являются по­ верхностями скольжения.

Для изотропных идеальных упруго-пластических тел условие существования характеристических поверхностей будет выполнено, если выполняется одно из равенств (2.146). Для условия пластичности Треска одно из (2.146)

выполняется тождественно, то				есть через каждую	точку
проходит характеристическая				поверхность.	Мизеса
Если	имеет	место	условие пластичности
o'ijo'ij =	2/с2, то	(2.146)	выполняется только при условии»

что два главных напряжения окажутся равными.

Если напряженное состояние соответствует сингуляр­ ной точке на поверхности текучести изотропного идеаль­ ного упруго-пластического тела, то в каждой точке тела существуют три площадки, на которых достигаются мак­ симальные касательные напряжения, и эти площадки яв­ ляются характеристическими.

Если напряженное состояние соответствует ребру ус­ ловия пластичности Треска, то ох = сг2 = ог3 ± 2/с, а лю­ бая площадка, наклоненная под углом 4 5 ° к главному направлению о3, является площадкой максимального ка­ сательного напряжения, огибающая этих площадок по­ верхность является конусом, который будет характери­ стическим.

§7. Непрерывность скоростей перемещений

вупрочняющихся жестко-пластичеоких телах

Вжестко-пластической среде полные деформации сов­ падают с пластическими, то есть

	1				(2.147)
	eiJ = ~2~ (ui>) +
Скорости пластических		деформаций			определяются
из ассоциированного закона течения
р?. _	V „°/И	^ > о , $	Ч	>	о ,
		[ ц ° = 0 , $	Ч	У<	(2.148)
сг; —	HWi; *				0 .

Напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия

°tj,} + Ft = 0.

(2.149)