книги / Упругопластические решения и предельное состояние

4.5. К расчету диска с учетом ползучести материала

91

одноосном растяжении скорость деформации на установившем­ ся участке может быть принята в виде степенной зависимости

£ = d^/dt = Ат",

где А и п — константы, известные на основе экспериментов. Если после исходного нагружения диска во времени прояв­

ляется ползучесть, то сначала происходит изменение напряжен­ ного состояния — это неустановившаяся стадия процесса. Затем увеличение размеров диска происходит при установившемся на­ пряженном состоянии, отличном от исходного. Если большая часть деформаций происходит с постоянной скоростью, то приближен­ но, пренебрегая начальной упругой или пластической деформаци­

ей и первой стадией ползучести, можно считать ё = £ = / (о). Аналогично рассмотрению пластических свойств материала

для описания ползучести вращающегося диска с отверстием ис­ пользуем условие Треска—Сен-Венана. Пластическая деформа­ ция епл при этом условии (а, —о3 = аг) представляет собой чи­ стый сдвиг в плоскости главных осей 1 и 3, т. е. осей действия ст, = Oj и с. = а3. Указанный сдвиг выражается через значения соответствующих деформаций е"л = е™ и е"л = е™. В направле­ нии среднего по величине напряжения <тг = а2 необратимой де­ формации не происходит, е"л = е2,л = 0.

Тогда из условия несжимаемости материала получаем

ej" + в;л + е?л = в™ + е™ + е™ = е” + е™ = 0,

т.е. б™ = —е™.

Вслучае ползучести материала основной закон процесса свя­ зывает главные напряжения а, = а, и ст3 = а. = 0 со скоростями

деформаций 4i = 4/ и 4з =

4| - 4 з = /(®1-®э)-

Среднее напряжение ст2 = стг> а скорость деформации = 0. Необратимые деформации ползучести аналогичны не­ обратимым деформациям пластичности, поэтому справедливо ус­

ловие неизменности объема, записанное в виде		+ £з = 0
или в виде 4i + + 4з = 0, откуда £3 = -4i-
На основании полученных соотношений
4, =	=	(4.15)

92	4. Расчет вращающегося диска

Условие 4Г = dii/dr = 0 указывает, что изменение во време­ ни радиальных деформаций не происходит, т. е. скорость ра­ диальных перемещений й(г) для всех точек диска одинакова, й(г) = С = const. Однако изменение радиальных перемещений при­ водит к изменению окружных деформаций, и так как ^,~et = и/ /*, то

i= C /r ,

(4.16)

Найти значение С — это значит найти скорости увеличения размера диска. С этой целью из уравнений (4.15) и (4.16) получаем

(4.17)

уравнение (4.2) представляем в виде

= о, -рш 2г2,

dr

и после интегрирования находим

r-V 'd r- рш2^ -

Для диска с отверстием граничное условие (a)r=a = 0 выпол­ няется тождественно, а из условия на наружном контуре опреде­ ляем С. Например, если (стг)гяА = 0, то

У• J r~4ndr - р со2 (Ь3 - аг)/з = 0.

Характерно, что для диска переменного профиля распределе­ ние тангенциального напряжения также отвечает уравнению (4.17) и не зависит от профиля диска.

5ЗНАКОПЕРЕМЕННОЕ МАЛОЦИКЛОВОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ

5.1 . ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Несущая способность элементов, подвергающихся повторным нагружениям, определяется циклическими свойствами конструк­ ционного материала. В этих ситуациях ориентация на упругость уже лишена смысла, поскольку упругость соответствует поведе­ нию материала лишь при достаточно малых напряжениях и де­ формациях и не возникает необходимость в проведении расчетов по предельному состоянию.

Малоцикловое деформирование и малоцикловая прочность связаны с малой упругопластической деформацией, которая вы­ зывает упрочнение (наклеп) металла, т. е. повышение его предела текучести. Другой особенностью циклического деформирования является наличие процессов, подготавливающих разрушение ма­ териала.

Различные факторы (конструктивные, технологические и экс­ плуатационные) влияют на малоцикловые свойства. Как правило, это влияние учитывают на основе результатов эксперимента, ис­ пользуя соотношения, носящие эмпирический или полуэмпирический характер (использование методов аппроксимации). В то же время при разработке новых узлов элементов конструкции возникает необходимость проводить в процессе проектирования оценку малоцикловой прочности для различных вариантов вы­ полнения и для различных условий работы конструкционного материала. В тех случаях, когда конструирование выполняется методами САПР (системы автоматизированного проектирова­ ния), использование эмпирических соотношений неиелесооб-

94	5. Знакопеременное малоцикловое деформирование

разно. В этом случае эффективно компьютерное моделирование поведения конструкционного материала (компьютерный анализ, численный эксперимент или компьютерный эксперимент). Рас­ сматриваемые варианты анализируются на основе математичес­ кой модели деформирования вплоть до разрушения.

Компьютерный эксперимент позволяет исследовать проявле­ ние логических следствий, вытекающих из представлений о де­ формировании конструкционного материала. Это исследование не может предсказать или описать новый физический закон, но может выявить новые связи, предсказать существование не оче­ видных на первый взгляд соотношений.

5 .2 . УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ С ЛИНЕЙНЫМ УПРОЧНЕНИЕМ

Диаграмма упругопластического материала с линейным уп­ рочнением приведена на рис. 5.1. Пластическое деформирование сопровождается линейным упрочнением, причем коэффициент к упрочнения удовлетворяет условию к <ЗСЕ. В этом случае если е, < е7, то а,- = £е„ а если е,- > а г, то а, = л^г + ке{= а* + keh где Л = 1 - к/Е.

Математическую модель упругопластического тела с линей­ ным упрочнением распространим на ситуации повторных знако­ переменных нагружений. При этом ограничимся рассмотрением одноосного напряженного состояния при растяжении и сжатии.

Математическую модель проиллюстрируем феноменологичес­ кой моделью, построение которой (рис. 5.2, а) основано на пред­ ставлении силовой деформации материала в виде суммы

е = 8е + в™,

где ее — упругая деформация, е™ — пластическая (необратимая) деформация, которая может быть определена разгрузкой матери-

Рис. 5.1. Схематизированная диаграмма

5.2. Упругопластический материал с линейным упрочнением

95

ала и (или) графическим построением на диаграмме а —в на ос­ нове условия упругой разгрузки. Для упругопластической среды используют следующую аналогию. Действующая сила и переме­ щение точки ее приложения отражают напряжение и деформа­ цию материала. До тех пор, пока абсолютная величина напря­ жения а меньше значения о Т, материал деформируется упруго, епл = 0; ве = с/Е .

Затем при увеличении действующей силы, когда абсолютная величина напряжения превысит значение стг, начинается пласти­ ческое деформирование материала:

6™ = (a - a T)/bE = S/bE.

Усилие S пропорционально пластической деформации,

				S = ЬЕгт
(здесь параметр b		1,0);
Е	JL .	.	Н	. 1	, г	Н		оТ
		К	— ;	by	ЬЕу	- у ,		ег =
’	м2 ’		м2		1	м	1	Е

При описании исходного нагружения математическая модель имеет следующий вид:

если |в| < вг = <зт/Е> то о = Ее;

если |в| > еГ, то S = ЬЕе™, а = сгг + S.

Учитывая, что епл = е —а/£, получаем

а = а г /(1 + b) + ЬЕе/(1 + Ь) = а* + кг.

96	5. Знакопеременное малоцикловое деформирование

Метод взаимного перестроения диаграмм а —е и а —епл при­ веден на рис. 5.2, б:

Для произвольной точки А, поскольку

аА =	+ ЬЕ*™ = ат+ЬЕ ^			- Ц - j ,
получаем
ол = Стг + кгА или а А =			+ гА -— -
л	т А	л	1+Ь	А \+Ь

и, сопоставляя множители при гА, получаем

ЬЕ = к(\ + Ь)>к .

В случае, когда происходят изменение знака (реверсирова­ ние) нагрузки и последующая смена упругой разгрузки и упруго­ го состояния упругопластическим, имеет место эффект Баушингера. Эффект заключается в отличии предела текучести Т в на­ правлении текущего (после реверсирования)' упругопластического деформирования от предела текучести исходной диаграммы. Для описания свойств конструкционного материала в указанной си­ туации, а именно для отражения величины напряжения, при ко­ тором упругое состояние сменяется упругопластическим, исполь­ зуют различные подходы (диаграмма на рис. 5.3):

•независимость предела текучести после реверсирования от исходного нагружения (точка В диаграммы);

•изотропное упрочнение (точка С диаграммы), когда значе­ ние предела текучести после реверсирования принимают равным

5.3. Циклически стабильный конструкционный материал

97

по абсолютной величине значению напряжения аА в конце ис­ ходного нагружения;

• идеальный эффект Баушингера (точка D диаграммы), когда абсолютное значение предела текучести после реверсирования принимается равным |аг —»S|.

Отметим, что, поскольку реальное нагружение материала в конструкции не ограничивается разовым реверсированием, ма­ тематическая модель должна отражать любые виды реверсирова­ ния в процессе деформирования.

5.3. ЦИКЛИЧЕСКИ СТАБИЛЬНЫЙ КОНСТРУКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ

Рассмотрим функционирование математической модели, от­ ражающей идеальный эффект Баушингера, в ситуации повтор­ ного реверсирования. До реверсирования имеем (рис. 5.4, а, б)

о M = °T + SM = aT + bEt’fi,

предел текучести Т сжатия после исходного растяжения и ревер­ сирования равен (—а т+ SM), а дальнейшая траектория соответ­ ствует уравнению прямой, проходящей через точку Я с коорди­ натами ( -а г + ‘S,A/); eJJ:

а - ( - c r + 5w) = /.£(£"■-8^).

Имеем а = —ат+ ЬЕгпл, т. е. после реверсирования из любой точки исходной диаграммы переходим на аналогичный упруго-

Рис. 5.4. Траектория при идеальном эффекте Баушингера в коор-

динатах

а — а(е); б — а(е™)

98	5. Знакопеременное малоцикловое деформирование

пластический участок другой ветви исходной диаграммы. Повтор­ ное реверсирование вызовет переход на направление упругопла­ стического участка исходной диаграммы (рис. 5.4, б).

Математическая модель отражает изменение пластической деформации лишь при движении по прямым (рис. 5.5)

ст = а* + кг,

о= -а* + кг

исодержит ограничение, которое заключается в том, что траекто­ рия рабочей точки не может находиться вне области, ограничен­ ной этими прямыми. Если пластическая деформация остается не­

изменной, то рабочая точка движется по прямой а =

где бр1 — значение пластической деформации на предыдущем этапе расчета.

Для определения напряжения необходимо знать в фиксиро­ ванный момент времени значения Е, e™, г. Предварительно вы­ числяют значения

cjj = £(б-е™ ), ст2 = o'sgncj! + кг.

Затем на основе указанного ранее ограничения принимают напряжение в материале а = ст15 если (с^ — а2)а] > 0. В ином случае а = ст2, причем тогда следует вычислить новое значение пластической деформации eJJone - a 2/ £ , которое используется в расчетах при следующем значении г. Рассмотренный вариант ма­ тематической модели отражает циклически стабильные свойства конструкционного материала, так как участки траектории рабо­ чей точки при повторном реверсировании повторяются.

а

a

/	1/ lu 2	"е 0	цикла
/	!	Знакопеременные циклы
		.
е ™ /	В А

- a *

Пульсационные циклы

Рис. 5.5. Расчетные значения о „ сг2 и амплитуда е0 ц и к л о в :

а — расчетные значения напряжений; б — знакопеременные никлы; в — пульсационные циклы

5.4. Циклически упрочняющийся конструкционный материал

99

5.4. ЦИКЛИЧЕСКИ УПРОЧНЯЮЩИЙСЯ КОНСТРУКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ

Рассмотрим функционирование математической модели, от­ ражающей изотропное упрочнение в ситуации повторного ре­ версирования. До реверсирования имеем (рис. 5.6)

а л/ = а г + *$л/ = ° т +^ ел?>

предел текучести Т сжатия после исходного растяжения и ревер­ сирования равен ( - а Л/), а дальнейшая траектория соответствует уравнению прямой, проходящей через точку Н с координатами (-адД (4t ~ 2а Л,/£ ). Таким образом,

если (ел(. - 2аи /Е ) < е < е„, то

о = f [е -	(ем - <%/£)],
если е < (е„ - 2с м/Е ), то
а = -сгд,(1 - А)/(1 +	Ь) + ЬЕ(г - £,„)/( 1 + А).

Эти уравнения могут быть записаны в общем виде, если счи­ тать, что значения оЛ{ и гм достигнуты не при исходном дефор­

мировании, а (см. рис. 5.6) в конце j - го полуцикла (J = 0,		1,2,
3,..., N ):
если (бу —2сту/£ )	< в < ву, то
	а = £ [ в - ( е у - о / £ ) ] ,
если в < (ву —2Оу/£), то
a = -cr/1	- b)/( 1 + b) + Щ е - ву)/(1 + 6).	(5.1)

Рис. 5.6. Изотропное упрочнение:

а — реверсирование; б — изменение за цикл

100	5. Знакопеременное малоцикловое деформирование

Характерной особенностью рассматриваемой математической модели является описание свойств циклически упрочняющегося материала. Эта особенность проявляется уже с первого цикла деформирования при различных программах испытания.

Приведем результаты сопоставления деформирования в зна­ копеременном симметрическом цикле и в пульсационном цик­ ле. В этих простейших ситуациях анализ поведения конструкци­ онного материала может быть выполнен без применения вычис­ лительной техники.

Знакопеременное симметричное деформирование. Деформация г изменяется в пределах —е0 < в < е0 (см. рис. 5.5). При исходном (у = 0) деформировании имеем

а м = ( а Т + 6£е0)/(1 + Ь) = £ е0 - (£ е0 - а г )/( 1 + Ь).

(5.2)

После первого реверсирования на основании уравнения (5.1) имеем

а = [ ~ а ,А Ь)(1 +- ЬЕ(е - е 0)3/(1Ь) +

и в конце полуцикла у = 1 при е = - е 0 и (е —е0) = —е0 —е0 = —2е0 получаем с учетом значения ам из (5.2)

= - т т 1 [ £ е » - Т Т а ( £ е» - СТг) ] - Т Т й 2 £ Е » =

=" h " ^ (£e° - 4

(здесь суммированы первое и последнее слагаемые). После второго реверсирования на основании (5.1)

а = -Oj (1- b)/(1 + Ь) + ЬЕ (е - ^ )/(1 + Ь),

и в конце полуцикла у = 2 при е = е0 и (е - е{) = е0 —( -е 0) = 2е0 получаем

1 -Ь

~1 + Ь £Eo' n(иT* )F (Ee° " CTr)+TT62£eo =

(5.4)

=Ее0 - о - * ) 2 (£ е ,

а+ 6 )3

(здесь также суммированы первое и последнее слагаемые).