книги / Методы обеспечения надежности изделий машиностроения

По табл.	8 приложения	для а = 0,05 и	т = 25 величина
А),о,5 2 5 == 2,06.	Так как |/| <	/ а/т(0,847<2,06),	то гипотеза Я0

о принадлежности статистических данных двух этапов испытаний одной генеральной совокупности справедлива. В этом случае среднее значение наработки между отказами находится из со­ вокупности результатов обоих этапов испытаний:

1 5 1 2

	I	+ I		**
	х = — -----—			= 326 циклов.
	п,	+	п2
От в е т : 1)	доработка		не	эффективна, так	как / = 0,847 <
< ^ 0 .0 5 .2 5 = 2,06;	2) среднее		значение наработки		между отказа­
ми равно х = 326 циклов.

6.7. КРИТЕРИЙ ЗНАКОВ

Одним из простейших непараметрических методов проверки гипотезы Но о соответствии двух статистических групп данных является критерий знаков. Этот критерий применяют в основном при сравнении попарно связанных случайных величин (например, сравнивают наработки между отказами поэтапно до и после доработки). При использовании критерия знаков пред­ полагают, что функции распределения одинаковы и непрерывны,

т.е. F\(x) = F2(x).

Для оценки критерия используют разность между парами

случайных величин х и у:

*\ = хх — У\, Z2 = *2 — у2, . ,г п = хп — уп.

Если принять, что совокупности первой группы х, и совокуп­ ности второй группы yi одинаковы, т. е. верна гипотеза Я0, то вероятность появления положительной разности равна вероят­ ности появления отрицательной разности, и обе вероятности равны 1/2, т. е.

Р (z, X, — у, > 0) = Р (Zj = X, — у, < о) = -у. (6.32)

Нулевое значение непрерывной функции распределения может быть принято лишь с вероятностью, равной нулю, если верна гипотеза Я0, т. е. F\(x) = F2(xyy

p (z ,= 0) = 0.	(6.33)
Если окажется, что какая-то разность будет равна	нулю,

то в дальнейших расчетах ее следует опустить и соответственно сократить объем выборки. Таким образом, проверка гипотезы Яо по критерию знаков сводится к схеме Бернулли, когда число

181

положительных или отрицательных разностей будет незначи­ тельно уклоняться от величины п/2. Следовательно, как большое число положительных, так и большое число отрицательных раз­ ностей свидетельствуют о несправедливости гипотезы Но. Для проверки этой гипотезы служит некоторый критерий k+ — число положительных разностей zt. Согласно формуле Бернулли вероят­ ность того, что число положительных разностей в наших наблю­

дениях окажется равным	находят по формуле
p > + )	= c ; + ( - f ) \	(6.34)

поэтому критерий значимости можно записать в виде (6.34). При односторонней границе гипотеза Но отвергается всегда в том случае, когда число положительных разностей k + превышает некоторое критическое значение /(, т. е. если k +^ k a.

Такой метод проверки называют критерием знаков, так как он учитывает лишь знак разностей. Уровень значимости при таком выборе ka не превышает а. Значение ka определяют по формуле

Р(й+ ^ ka) ^ а,

(6.35)

где а — вероятность ошибки (уровень значимости).

Подставив (6Ч.34) в (6.35), получим уравнение для опреде­ ления Ка‘.

	п
P(k+ > К) =	£ С„ (±-)" < а,	(6.36)
	i — ka
где Сп= ——— — число сочетаний из п элементов		по /-эле-
i\(n —i)!
ментов, или
[<^+1 + C*n‘+2 +	+ C ^ ( - f ) n < a .	(6.37)

Для определения значения ka имеются специальные таблицы критериев знаков (см. табл. 9 приложения). При отсутствии таблиц можно преобразовать критерий с использованием Р-рас- пределения. Гипотезу Но отвергают для всех при выполнении неравенств

k+	>	К /Я,.1Я2’	(6.38)
п — k + + 1

где гп\=2(п — + 1); m2 = 2fe+

Величина F'a, ш,. ш2 является критическим значением Р-рас- пределения при одностороннем ограничении. Некоторые значе­ ния F'a, щ|>ш2 для a = 0,01 и 0,05 и степеней свободы т\ и т 2 при­ ведены в табл. 10 приложения. Для односторонней границы ги­ потеза Но отвергается также всегда, если число положитель­ ных разностей будет меньше некоторого числа k'ay т. е. k +^.k'a.

182

В этом случае критическое значение k'a определяют из соотно­ шения

к'а

Р (k+ < k'a) = £ Сл (- f )" < а.

(6.39)

1= 0

Соответствующее преобразование с использованием /^рас­ пределения дает опровержение гипотезы Я0 для всех &+, удов­ летворяющих неравенству

п — k+	> ка,/П|,ш2	(6.40)
k+ + 1

при m \=2{k++ 1) и ni2 = 2{n — k+) степенях свободы.

Если для числа отрицательных разностей мы примем ту же границу ka, что и для положительных разностей, то двусторон­ ний критерий знаков можно сформулировать так. Гипотеза F\(X)= F2 {X) отвергается каждый раз, как только число поло­ жительных разностей окажется большим ka или меньшим п — ka. Вероятность ошибки [4] при этом не превышает 2а, поскольку выполняется неравенство

+ с: + + с			']+ [(?:+' + с^“+2 +			+Спп}х
X (	f =У2 [<£+1 +		*л°+2с +		+ c ; ; ] )"(	-< f2а.	(6.41)
Для	п = 5-М00	в табл. 9		приложения приведены			границы
критической области		в случае		1, 2 и 5%-ных уровней			значимо­

сти для двустороннего критерия знаков [4]. Те же таблицы при­ менимы и для одностороннего критерия знаков, но соответст­

венно с 0,5;	1 и 2,5%-ным	уровнем значимости.
При	0 может быть использовано приближенное равен­
ство, основанное на нормальном.распределении [4]
(	)"f [ ^ а+‘ + ^ °	+2 +	+	С "]= Я(ц >	ka) *
		е	2	dz = а.	(6.42)

По таблицам нормального распределения можно для каждо­ го п найти ka.

Пример 6.10. Пусть изделие подвергнуто двум видам испы­ таний (межведомственным и государственным). Каждый вид испытаний разделен на десять этапов, при этом в каждом этапе подсчитывают наработку на отказ. После завершения межве­

183

домственных испытаний проводят доработку изделия. Государ­ ственные испытания также состоят из десяти этапов, в каждом из которых определяют наработку на отказ. Предполагаем, что наработка на отказ описывается непрерывной функцией распре­ деления.

Определить с помощью критериев знаков справедливость

гипотезы	Но о	равенстве		функций распределения		FI(X)—~F2 {X)
с уровнем	значимости а =0,05.				Оценить надежность изделия
(найти среднюю		наработку		на отказ). Данные испытаний све­
дены в табл. 6.4.			в	двух	случаях из десяти	наработки
Р е ш е н и е .		Так как

на отказ совпали, то эти два исхода в объем испытаний не вклю­ чают. Поэтому по табл. 9 приложения для п = 8 и а =0,005 на­ ходим, что число со знаком «+ » равно 1, а со знаком «—» — 7, Это свидетельствует о справедливости гипотезы Но. В нашем случае число знаков « + » равно 2, а знаков «—» — 6. Эти числа довольно близки табличным значениям и даже их улучшают, поэтому с уровнем ошибки, равным 0,5 %, можно говорить о справедливости гипотезы Но.

Дополнительно проверим гипотезу Н 0 с использованием ^-распределения. Для этого по формуле (6.40) вычислим кри­ тическое значение F и сравним его с табличным:

				п — k + __				8 — 2 __ 0
				*+ + 1				2+1
	m,	= 2 ( k + +		l)	=	6;	т 2 = 2 (л		— k + ) =		12.
Для а = 0,05 из табл.					10 приложения
Отсюда				^0,05;6;12			“	3,0.
			п — k+
						— 2 < ^005;6;12 — 3.
			k+ +		1
			6.4. Результаты испытаний (к примеру 6.10)
	Наработка на отказ, ч.,								Наработка на отказ
Номер		при испытаниях						Номер	при испытаниях
этапа	межве­							этапа	межве­
испыта­			государ­					испыта­			государ­
	домст­								домст­
ний			ственных	Zi = Xi — y i				ний		ственных		Zi — x , — y t
	венных								венных
	Xi		У1						Xi		У/
1	200		250		—			6	420		450	_
2	250		250		0			7	450		450	0
3	300		320		—			8	500		550	___
4	350		330		+			9	600		650	___
5	420		400		+			10	700		800	—

184

Следовательно, гипотеза Но о равенстве функций распре­

деления F\{x)=Fi(y) справедлива. Таким образом, результаты межведомственных и государственных испытаний можно о б ъ еди ­ нить в одну совокупность и найти среднюю наработку на отказ по формуле

	" I		"2
	X xi+Е у>
Т — '•='		'= ■		_ 200 + 2 5 0 + 300 +35 0 +4 0 0 + 420 + 450 + 5 0 0 +
°	п,	+ п2			20
	+600+700+250+250 +320 +330 +420 + 450 + 450 + 550 + 650 + 800 _
				=	432 ч.
О т в е т :		1)	гипотеза Но о		равенстве	функций	F\(x) — F2(y)
справедлива,		т.	е.	результаты	испытаний	можно	объединить;
2) средняя наработка на отказ					То = 432 ч.
	6.8. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ
	УИЛКОКСОНА
	Критерий Уилкоксона аналогично критерию знаков
используют для проверки зависимых выборок, когда							измерения
случайной величины попарно взаимосвязаны. Учеными М анном
и Уинти критерий Уилкоксона был применен для сравнения двух

независимых выборок, в связи с чем этот критерий известен так ­ же под названием и-критерия Манна — Уинти. Критерий прост в употреблении и достаточно эффективен для проверки гипоте­ зы Но о равенстве двух непрерывных функций распределения

Fi(x)=F2(y).

Суть критерия состоит в следующем. Пусть имеются			две по­
следовательности взаимно независимых		результатов	наблю ­
дений xi, х2,	, хт и у\, у 2,". , у„, которым соответствуют не­
прерывные функции распределения F\(x) и F2(y). Проверяем				гипо­
тезу Но о том, что оба распределения совпадают для всех х,				т. е.
F ,(X) = F M	обе последовательности	наблюдений и	р асп о­
Перемещаем

ложим их в порядке возрастания значений. В результате полу­ чим последовательность неубывающих чисел m -f-л . Если гипоте­ за Но F\(x)—F2(y) верна, то числа обеих последовательностей

должны хорошо перемещаться. Для оценки степени перемеш и­ вания подсчитывают число инверсий членов первой последова­ тельности относительно второй. Если в упорядоченной общ ей последовательности некоторому х предшествует у, то имеет место одна инверсия. Если некоторому х предшествуют k значений у , то это значение х имеет k инверсий. Общее число инверсий рав­ но сумме чисел измерений всех х и выражается зависимостью

/85

	и= I I Zir				(6.43)
	f	1,	если	Xi>yj\	(6.44)
	li [	0,	если	XiCyj.

Ввиду предположения о непрерывности функций распреде­ ления F\(x) и F2(y) одинаковые результаты измерения могут иметь место лишь с вероятностью Р = 0. Однако на практике из-за неточности измерения возможны совпадения. Если два измере­ ния в пределах одной выборки совпадают, это не влияет на чис­ ло инверсий. Если же результат измерения из первой выборки идентичен результату измерения из второй выборки, то при под­ счете инверсий эти величины не учитывают^

Математическое ожидание числа инверсий находят по формуле

A*M = - f k	(6.45)
Выражение (6.45) свидетельствует о том, что	гипотеза Но

F](x) = F2(y) опровергается для х при слишком большом или слиш­ ком малом числе инверсий.

Число инверсий и = 0 для случая, когда выполняется нера­ венство х/<у/, т. е. когда все значения х,- первой выборки т рас­ полагаются перед всеми значениями у; второй выборки п. Чис­ ло инверсий и = тпу когда для всех х,- выполняется неравенство х/>у/, так как в этом случае каждое значение х,- образует со всеми значениями у, точно п инверсий. Если число инверсий и

принимает значение 0 или mn, то функции	распределения F\(x)
и Fг(х) существенно различаются.
Дисперсия инверсий
D[u} = ^ - ( m + n - 1).	(6.46)

При увеличении числа наблюдений имеет место предельное неравенство [4]

(6.47)

— о о

Формула (6.47) дает хорошее приближение к функции Лап­ ласа при значениях (m + n ) ^ 20 и min(m, п ) ^ 3.

Для случая одностороннего ограничения гипотеза Но о равен­ стве функций распределения F\(x) = F2(y) опровергается, если чис­ ло инверсий превосходит некоторую границу

и > ип.

(6.48)

186

Критическое значение иа получают из условия

Р(и > иа) ^ а.

(6.49)

Таким образом, при одностороннем ограничении гипотеза Но о равенстве F\(x) = F2(y) опровергается, если выполнено нера­ венство

	1
Ы =	и ----- — пт	----- > za.	(6.50)
	■

тп .

V l2"(m + П~ 1}

Значения zaдля различных а при одностороннем ограничении:

a	0,001	0,01	0,05
za	3,090	2,326	1,645

При двустороннем ограничении гипотеза Но отвергается, если число инверсий слишком мало или слишком велико, т. е. если выполняется условие

1	пт
и ----- —
Ы =	> С	.(6-51)
+	п - 1)

Значения z'aдля различных а при двустороннем ограничении:

a	0,001	0,0027		0,010	0,0455	0,050
z^	3,291	3,000		2,576	2,000	1,960
При малых значениях	т и п	для	критерия		Уилкоксона со­

ставлены таблицы [4] критических значений za с заданным уров­

нем значимости а. При больших значениях т и п		критические
значения	za с заданным уровнем значимости а	определяются
из табл.	1 приложения для нормального распределения.

Критерий Уилкоксона эффективен при проведении двух серий испытаний для сравнения наработок между отказами. Между числом инверсий и ранговыми числами, полученными в резуль­

тате упорядочения	значений	чисел от 1 до m + n, справедливы
соотношения (6.52)	и (6.53)	[4]. Если обозначить через R\ сумму
ранговых чисел первой выборки			с измерениями х\,	х2,	, 4 ,
то R 1 есть дискретная случайная			величина, которая	может	при­
нимать значения целых чисел, определяемых по формуле
	I г	т(т + 1)			(6.52)
			2

г —i

187

при всех значениях х,<1/, и по формуле

	т + п	,	т(т + I)
	Z			(6.53)
		г = тп-\------- 2Т—
	Г = П-\- 1
при	всех *,■>«//. В этом случае при		больших значениях т и п
число инверсий можно определить по формуле
	u = Ri — m(m2+~ ,			(6.54)
где	R 1 — сумма всех порядковых	номеров величин		располо­

женных в неубывающей последовательности обеих совокупно­

стей.

Пример 6.11. Изделие подвергнуто стендовым испытаниям в два этапа. На первом этапе испытания проводились до дора­ ботки изделия, на втором этапе испытания проводились после доработки изделия. Сравнить результаты испытаний двух этапов

с уровнем значимости а = 0,05. Найти среднее							значение нара­
ботки	между отказами.		Исходные	данные		испытаний		сведены
в табл. 6.5.
В нашем примере хз и х4 образуют с у\ и у2 по две инверсии;
х6 С уи У У ъ —		три инверсии; * 8 ,		* ю ,	* м ,	* 1 2 ,	* 1 3 ,	с уь у2,
г/5 , У7	четыре	инверсии; *!3, х\4 с £/i,			у2,	ys,	£/7 , //1 2 — пять
инверсий; *i6 с £/1, у2, ys,			у?, У1 2 , У\ъ — шесть инверсий;					х\* с yi,

	У2 , Уъ, У?, £/1 2 , У15, У\7 — семь инверсий; лг23 с yi,			уг, ys, У7, у 12, yis,
	У1 7 , У1 9 , У2 0 , У2 1 , у22 — одиннадцать		инверсий.
		6.5. Результаты испытаний (к примеру'6.11)
	Первый этап испытаний		Второй этап испытаний
	Номер т,	Наработка	Номер п 1	Наработка у\
	испытания	между отказами,	испытания	между отказами,
		ч		ч
	1	150	1	165
	2	160	2	185
	3	140	3	195
	4	180	4	210
	5	120	5	220
	6	130	6	230
	7	100	7	80
	8	90	8	115
	9	190	9	240
	10	200	10	125
	11	250	11	75
	12	170	12	260
			13	300
			14	320
			15	350

188

Р е ш е н и е . Составим упорядоченный ряд наработок между отказами

Номер

испытания

Н а р а б о т к а м е ж д у о т ­ к а з а м и

У1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

75 80 90 100 115 120 125 130 140 150 160 165 170 180

У

У

X

X

У

X

У

X

X

X

X

У

X

X

Номер

испытания

Н а р а б о т к а м е ж д у о т ­ к а з а м и

15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27

185 190 195 200 210 220 230 240 250 260 300 320 350

m	У X У X У У У У	X	У	У У У
	Таким образом, общее число инверсий составляет
	« = 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7+11 =57.
	Число инверсий определим по формуле	(6.54):
	u = R l - - m(m ± V-= 1 3 5 - - ^ - =			57;

# ,= 3 + 4 + 6 + 8 + 9+ 10+ 11 + 13+ 14+ 16+ 18 + 23= 135. При одностороннем ограничении вычислим величину критерия

по формуле	(6.50):
г =	и ---2 пт			57 - у • 12-15
	•			1,67.
	mn
	V1Т (п +	m	— 1)	V 12 (12 + 1 5 - 1 )
Так как при а =0,05			и га=	1,645
	Ы	>	|z«|,T. е. 11,671> |1,645|,

то гипотеза Но опровергается. Подсчитаем среднее значение наработки между отказами на первом и втором этапах в отдель­

ности:		ш
		х =
= 150 4-1604-140-4- 180 -I- 120-4- 130+100+ 90+ 190+200+ 250+170			156,6 ч;
—	-	|2

189

n

165+ 185+ 195+ 210 + 220 + 230 + 80+ 115415

+125 + 75 + 260 + 300 + 320 + 350 = 204 6 4

Таким образом, в качестве оценки надежности принимаем среднее значение наработки между отказами после проведения

доработки,	так	как доработка оказалась	эффективной, т. е.
I^= 204,6 ч.	1)	доработка эффективна; 2)	среднее значение
От в е т :

наработки между отказами равно 204,6 ч.

Более подробно можно ознакомиться с критериями значимо­ сти в работе [4].