книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек
..pdfГ л а в а 6
УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК СО СПЛОШНЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
6.1.Математическая модель
иразрешающие соотношения
Цилиндрическая ортотропная многослойная оболочка рассматрива ется с позиций классической модели тонкостенных оболочек с неиз менной нормалью. Считается, что оболочка сплошь заполнена упругим телом. В [44] показано, что возможное центральное осевое отверстие в заполнителе начинает влиять на критические усилия лишь при до статочно большом диаметре отверстия. Заполнитель в общем случае считается ортотропным и имеет малую жёсткость, так что все сжима ющие нагрузки воспринимает оболочка. Сдвиговые напряжения между оболочкой и упругим заполнителем практически не влияют на кри тические усилия [26, 28], поэтому взаимодействие между оболочкой и упругим основанием осуществляется только через нормальные напря жения (контактное давление). При таких предположениях заполнитель можно рассматривать как упругое основание Власова-Пастернака. Как показано в [44], применение соотношений винклеровского упругого основания в рассматриваемой задаче не отражает её физической сущ ности.
С учётом перечисленных гипотез для исследования устойчивости классических многослойных оболочек на упругом основании можно по лучить [44, 86] следующее дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению (4.2):
V | {qw - ar) = D \V \V \w +
Здесь сохраняются обозначения соотношений (4.2), а <тг — неиз вестное подкрепляющее давление на оболочку со стороны заполнителя.
При потере устойчивости оболочек на упругом основании обра зуется большое число сравнительно коротких волн, поэтому условия закрепления краёв оболочки слабо влияют на критические усилия [26]. Учитывая это, представим решение уравнения (6.1) в виде
(6.2)
172 Гл. 6. Устойчивость оболочек со сплошным заполнителем
Здесь то — число полуволн в осевом направлении, п — число волн в кольцевом направлении; функция W(r) определяет распределение деформаций по толщине заполнителя и выражается через модифици рованные функции Бесселя [44].
Подставляя решение (6.2) в уравнение (6.1), определяя из совмест ности деформаций оболочки и заполнителя контактное давление аг и используя асимптотическое представление функций Бесселя при боль ших значениях Л и п , получим следующее разрешающее соотношение для определения критических усилий в цилиндрической оболочке со
сплошным заполнителем [73]: |
|
|
|
|
Т\ + 2фБ + ф2Т2 = В^ 2 ~2 ^ 2) + § A2FX(ф) + j |
,] E Z (G13 + ф20 23) |
; |
||
Fi (ф) = 1 + оцф2 + /З^4(*=1, 2) ; |
= |
(6.3) |
|
|
Здесь дополнительно введены обозначения: |
|
|
|
|
(1 ~\~isя) Е% |
|
|
|
|
Ez = -------- юг^г — приведённый модуль упругости заполнителя |
|
|||
2(1 - |
ИI f |
|
|
|
в радиальном |
направлении; |
|
|
|
Е3, пз — соответственно модуль упругости заполнителя в радиаль ном направлении и коэффициент Пуассона;
б?1 , G22 — модули сдвига заполнителя в осевом и кольцевом направлениях соответственно.
Соотношение (6.3) показывает, что первые два слагаемых в правой части характеризуют устойчивость не подкреплённой заполнителем («пустой») цилиндрической оболочки, а третье слагаемое определяет влияние упругого основания на критические усилия в оболочке.
После ряда алгебраических преобразований выражение (6.3) можно
представить в виде: |
|
|
|
Т\ + 2фв + ф2Т2 |
Л2 |
1 |
щ{ф) |
к(ф)Тю |
2 |
+ 2д2 + |
л ’ |
А = А |
А Ж |
а д М . |
||
B 2 ( \ - v xv2)t& ’ |
||||
|
||||
ei ei 1 + g V |
F2 (ф) . |
ei |
||
|
к(ф) |
|||
G13 |
|
|
||
Ех{ф)
к(ф)
е 2 (ф) ’
(6.4)
2 |
2f |
Для определения критических нагрузок необходимо_минимизировать соотношение (6.4) по параметрам волнообразования А и ф. Находя минимум правой части (6.4) по параметру Л, можно получить
6.2. Расчёт на устойчивость при осевом сжатии |
173 |
||
Т, + 2фБ + ф2Т2 |
= Р[е\ (Ф)] ■ |
(6.5) |
|
к(ф) Тю |
|||
|
|
||
Анализ функции Р (еi) показал, что с относительной погрешностью менее 2% она аппроксимируется зависимостями [74]:
Р ( е i) = |
1 + е\ - |
0,1 |
е 2 |
при |
е\ < 2; |
|
Р { е i) = |
| e f /3 + |
2_ |
2/3 |
ПРИ |
е1 > 2. |
(6.6) |
При ё; > 5 вторым слагаемым можно пренебречь и с помощью соотношений (6.4) найти
Т\ + 2ф Б + ф2Т2 = 1 , 8 9 D\EZ(G13 + ф2С 23) F, ( ф ) . |
(6.7) |
Соотношение (6.7) означает, что для достаточно жёстких заполни телей критические усилия оболочки не зависят от её радиуса и длины, т. е. оболочка работает как пластина бесконечной длины на упругом основании. Это соотношение может служить для определения нижней границы критических усилий.
6.2.Расчёт на устойчивость при осевом сжатии
Вэтом случае зависимость (6.5) для расчёта критических сжимаю щих осевых усилий примет вид
£ ~ |
= к(Ф) Р[ё1 (ф)]\ |
(6.8) |
-40 |
|
|
2 _____________ |
— критическое усилие осевого сжатия для |
|
Тю = — \JB2D\ (1 - v\v2) |
||
оболочки без заполнителя при осесимметричной форме волнообра зования.
Рассмотрим сначала изотропные конструкции. Тогда можно поло
жить: |
|
|
к(ф) = 1; |
F\ (ф) = Р2 (ф) = (\ + ф2) ; Счз = (?23 = G3; |
|
ei (Ф) |
= e j (1 +ф 2)3/2; е{ |
& ' 2у / Ж & |
|
||
2 {/В3Т (1 - v xv2f
Анализ этих соотношений и формулы (6.8) показывает, что крити ческая нагрузка достигается при фкр = 0, т. е. потеря устойчивости при осевом сжатии изотропных оболочек на упругом основании является осесимметричной. Тогда формулы для расчёта критических усилий
174 Гл. 6. Устойчивость оболочек со сплошным заполнителем
при осевом сжатии изотропных цилиндрических оболочек на упругом основании примут вид:
1 + е1—0,1 ef |
при |
е\ |
< 2; |
|
Т1кр |
|
|
|
(6.9) |
- е2/3 + |
при |
|
||
е\ |
> 2. |
|||
2 е> |
+ 2 е2/3 |
|
|
|
Если заполнитель достаточно жёсткий (ei ^ 5), то |
||||
7'ГР |
1,89^/Т ж /т; |
|
(6.10) |
|
В случае ортотропных оболочек волнообразование при потере устойчивости зависит не только от анизотропии оболочки, но и от
жёсткости заполнителя, оно |
может быть как осесимметричным, |
так и неосесимметричным. |
При этом для ортотропных оболочек |
с маложёстким заполнителем |
характерна неосесимметричная форма |
с параметрами волнообразования, близкими к параметрам «пустой»
оболочки:
1
Фк V>o(l—е); Фо
Разлагая правую часть соотношения (6.8) в ряд по малому парамет ру е с сохранением величин порядка е2 и проводя минимизацию, после довольно громоздких выкладок и пренебрежения малыми величинами можно получить [74]:
^ = /сорт + 2ei; fcopT = |
+ |
. |
(6.11) |
-40 |
у 2 + О^/ V /?2 |
|
|
Численный анализ показал, что с увеличением жёсткости запол нителя волнообразование в ортотропных оболочках приобретает тен денцию к осесимметричной форме, т. е. параметр ф становится малым. Воспользовавшись этим, можно представить выражение (6.8) в виде ряда по малому параметру ф2, сохранив члены с фА. Полученное выра жение минимизируется в аналитическом виде. В результате отбрасыва ния несущественных малых членов получается следующая формула:
т кр |
|
Q2 —ОД |
Л _ }_е |
0,83 + е\. |
( 6. 12) |
||
|
Р(еф |
||||||
-10 |
2 (За2 + ац) |
\ |
2 1 |
||||
|
|
|
|||||
С дальнейшим ростом жёсткости заполнителя форма волнообразо вания становится осесимметричной. Осесимметричная форма потери устойчивости осуществляется [74] при выполнении условия
2 (а2 |
- аф |
(6.13) |
е1 > «2 + oi + |
2G23/G13 |
6.2. Расчёт на устойчивость при осевом сжатии |
175 |
В практических расчётах при е\ > 1,3 волнообразование можно считатв осесимметричным и получить из (6.8), полагая ф = 0, следующие зависимости для расчёта критических усилий:
|
1 + е\ |
- |
0,1 е? |
при |
1,3 < ei < 2; |
|
Т10 |
- |
е2/3 + |
1 |
при |
(6.14) |
|
2 е?/3 |
е\ > 2. |
|||||
|
2 |
е> |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Сравнивая между собой соотношения (6.11), (6.12), (6.14), можно предложить следующие расчётные формулы для критических усилий при осевом сжатии цилиндрических многослойных ортотропных обо лочек с заполнителем:
М Еч |
II |
------------V |
2 г |&ч |
||
|
|
[ |
&орт |
26 1 |
при |
е\ |
< |
0,83 —корт > |
|||
0,83 + |
е\ |
|
при |
0,83 |
/с0рт |
^ |
||
1 + е \ |
—0,1 е\ |
при |
1,3 < |
e j < |
2; |
|||
3 |
с2/3 |
I |
1 |
при |
е\ |
> |
2. |
|
2 |
С‘ |
|
2 е ? / 3 |
|
|
|
|
|
(6.15)
Соотношения (6.15) применимы к оболочкам, для которых выполня ется зависимость оц < а 2 (^оРт < 1)- Если анизотропия оболочки тако ва, что а\ ^ «2 (&оРт ^ 1), то форма волнообразования осесимметрична, и для расчёта критических сжимающих усилий следует использовать зависимости, аналогичные (6.9):
Т^_ |
1 + е\ —0,1 е\ |
при |
е\ |
ф 2; |
|||
|
|
1 |
|
|
|
||
Тф |
2/3 |
+ |
при |
е\ |
> 2. |
||
|
|
2 е |
2/3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Если жёсткость заполнителя велика (е\ ф 5), то влияние кривизны исчезает, и оболочка работает как пластина на упругом основании. В этом случае
Т,кр = 1,89fyDiEzG . |
(6.16) |
Из приведённых расчётных формул следует, что критическая на грузка при осевом сжатии ортотропной оболочки с заполнителем вы ражается через три параметра:
Do = 2 |
(1 —u\i'2) — критическое усилие при осесиммет |
ричной потере устойчивости «пустой» оболочки (обобщённая жёст кость оболочки);
6.3. Расчёт на устойчивость при действии внешнего давления |
177 |
Сравнительный экспериментально-теоретический анализ [74] пока зал, что при осевом сжатии цилиндрических оболочек с заполните лем теоретические и экспериментальные результаты удовлетворительно согласуются. При этом даже сравнительно маложёсткий заполнитель (ei = 0,13) практически полностью гасит влияние начальных непра вильностей формы оболочки, и теоретические и экспериментальные значения критических нагрузок совпадают. Максимальное различие между теоретическими и экспериментальными значениями критиче ских усилий в стеклопластиковых оболочках не превосходит 20%.
6.3. Расчёт на устойчивость при действии внешнего давления
При потере устойчивости цилиндрической оболочки с заполнителем от внешнего давления, как показал численный анализ, образуется одна полуволна в осевом направлении и значительное число кольцевых волн (n2 » 1, ф2 1). Используя это, можно привести соотношение (6.3) при Т\ = S = 0 к виду:
В\ (1 - VXV2) \ \ |
^2 2 , В /р ^ . |
|
7ГR |
Т9 = |
W п + п ^ EzG23 ’ |
А, = |
(6.17) |
После несложных преобразований из этого выражения следует [73]:
h . |
1 |
69 |
m |
1,75тг |
|
(1 v\v2) ; |
||
4п |
п |
Т20 |
m v |
|
В 1Щ |
|||
Т20 |
2 |
|||||||
|
|
|
||||||
|
П |
8 _ |
o>4S l (1 - |
ЩЩ) R2, |
||||
|
П |
П0 — ^Л\ |
|
тт |
. |
|
||
|
Щ |
|
|
|
и 2 |
|
|
|
|
е-ч |
|
7 )|)1/8 (1 — щ v2)3^8 |
(6.18) |
||||
|
2А р |
|
||||||
Здесь Т20 — критическое усилие, щ — параметр волнообразования «пустой» оболочки.
Минимизируя соотношение (6.18) по параметру п, можно получить зависимость критического кольцевого усилия Т*р от жёсткости в2 заполнителя. Эта зависимость с погрешностью меньше 1 % аппрокси мируется выражениями:
т ?
т/т — 1 + б2 —0,04 е| при е2 < 5;
Т2о
г р к р |
, 71 2/3 |
|
|
J 2 |
при е2 > 5. |
(6.19) |
|
777—=1,71 еу |
|||
7 20 |
|
|
|
Из соотношений (6.19) видно, что критическое усилие в случае действия внешнего давления полностью определяется обобщёнными
178 Гл. 6. Устойчивость оболочек со сплошным заполнителем
жесткостными параметрами оболочки (Т2о) и заполнителя (е2), которые находятся из (6.18).
Если во вторую формулу (6.19) подставить значения Т20 и е2 из за висимостей (6.18), то получается критическое усилие для бесконечной
пластины на упругом основании |
|
Т2кр= 1,89 %/D2EZG<X . |
(6.20) |
Систематические экспериментальные исследования по устойчиво сти цилиндрических оболочек с заполнителем при внешнем давлении отсутствуют. Имеющиеся экспериментальные результаты [86] показы вают, что при действии внешнего давления расчётные и эксперимен тальные значения критических усилий хорошо согласуются.
Если оболочки однородны по толщине, то формулы (6.16) для слу чая осевого сжатия и (6.20) для наружного давления преобразуются к виду, содержащему критические напряжения <т*р и сг£р:
(6.21)
Если положить в заполнителе v3 = 0,5 (коэффициент Пуассона для заполнителя равен половине), то из зависимостей (6.21) следуют соответствующие соотношения [52].
Как следует из (6.21), критические напряжения в однородных обо лочках на достаточно жёстком упругом основании (е\ > 5 ; е2 > 5) не зависят от толщины оболочки, а содержат только характеристики упругости оболочки и заполнителя.
Сравнивая зависимости (6.4) и (6.18) для обобщённых жестко стей е\ и е2 заполнителя, можно получить следующее соотношение между ними:
(6.22)
В случае однородных по толщине оболочек эта зависимость прини
мает вид: |
|
е2 = 0,46 |
(6.23) |
Отсюда следует, что е2 з> е\.
6.4. Особенности расчётов на устойчивость при кручении |
179 |
6.4. Особенности расчётов на устойчивость при кручении
Для исследования устойчивости цилиндрических оболочек с запол нителем при кручении восполвзуемся соотношением (6.5), которое при
Т\ = Т2 = О запишем в виде |
|
1)1 • |
<б-24) |
Анализ показывает, что присутствие упругого заполнителя суще ственно сказывается на форме волнообразования при потере устой чивости [73]. Так, если для «пустой» оболочки обычно выполняются условия
то к Р = 1; Акр = А , = n l p > Д 2р ; V’K P » 1.
то в оболочках с заполнителем эти условия не соблюдаются. Как показали расчёты, даже для конструкций с очень слабым заполнителем (ei ^ 0,01) форма потери устойчивости при кручении характеризуется зависимостями:
«кР » |
1; А2р > |
11 |
г2-кр ^ Акр, 'Фкр ^ 1 • |
(6.25) |
|
Рассмотрим сначала изотропные оболочки с заполнителем. В этом |
|||||
случае: |
|
|
|
|
|
к(ф) = 1; |
ё 1 (ф) = е1 ( \ + ф 2)3/2; |
Gi3 = G23 = G3; |
|
||
Д3/2у / В Д |
m |
2 |
------— |
|
|
61 = |
4/ ~Т |
Tl0 = - ^ B ( \ - v 2)D . |
|
||
|
2 V DB |
|
|
|
|
Представляя функцию Р [ei (ф)] в виде (6.6) и учитывая соотноше ния (6.25), после минимизации соотношения (6.24) по параметру ф2 можно получить следующие зависимости для расчёта критических
усилий: |
|
|
|
|
|
SKp |
[ |
0,93 е}/3 + 0,66 ei |
при |
0,01 < е\ < 1,5; |
|
, |
3 2/3 |
1 |
|
|
|
Тю “ |
^ |
при |
е\ ф 1,5. |
||
|
|
|
+ 8 Л/з |
|
|
Сравнение с точным решением задачи показало, что погрешность формул (6.26) не превосходит 1 %.
Для достаточно жёстких заполнителей (е\ ф 5) с погрешностью,
не превосходящей 1%, можно |
пренебречь |
вторым слагаемым во второй |
|
формуле (6.26). В результате |
получается |
формула для |
расчёта крити |
ческих усилий пластины на упругом основании [73]: |
|
||
5 кр = 1,89 \JD E ZG3 . |
(6.27) |
||
180Гл. 6. Устойчивость оболочек со сплошным заполнителем
Вобщем случае ортотропных оболочек и ортотропного заполнителя не удаётся получить приемлемые формулы для расчёта критических усилий. Критические усилия при кручении можно получить минимиза цией по параметрам Ли ф выражения
S |
= к(ф) |
J _ |
ei (ф)\ |
(6.28) |
|
Tio |
2ф |
2 + от2 + |
л |
||
’ |
полученного из (6.4) при Т\ = Т2 = 0.
Для оценок можно воспользоваться зависимостями (6.24), (6.6),
положив в соответствии с (6.25) фкр = 1 [73]: |
|
|
|||||
й'кр |
о*(1) |
[1 + б, (1) —0,1 ef (1)] |
при |
е\ (1) < 2; |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
2 к{Х] |
|ё , 2/3 (1) |
«2/ з , |
при |
е\ (1) >2; |
||
|
|
|
2ё |
|
|
|
|
Тю |
\/B 2D\{\ - v\v2) ; |
к |
1 + |
ск1+ /?1 |
|||
1 + |
а2 + /32 ’ |
||||||
|
R |
|
|
|
|||
|
|
б?2з (1 + а 2 + fe)3^4 |
|||||
|
е 1 ( ! ) |
б?13 (1 |
+ ОЦ + |
/?l)*^ |
(6.29) |
||
|
|
|
|||||
В случае |
достаточно жёстких |
заполнителей ( e i( l) ^ 5 ) оболочка |
|||||
ведет себя как пластина на упругом основании, и для расчёта крити ческих усилий имеются соотношения [73]:
Дкр = 0,945 3 / ( l + a , + A ) A £ z (Gi3 + G23). |
(6.30) |
В настоящее время не имеется систематических данных по экспе риментальному исследованию устойчивости цилиндрических оболочек с заполнителем при кручении. Учитывая близость форм волнообра зования при кручении и осевом сжатии (неосесимметричная форма), в первом приближении можно пользоваться оценками, полученными для осевого сжатия.
6.5. Совместное действие осевого сжатия и наружного давления
Исследование предельных кривых при совместном действии осевого сжимающего усилия Т\ и кольцевого сжимающего усилия Т2 = pR (р — наружное давление) целесообразно проводить с помощью зависимости, полученной из соотношений (6.4) при S = 0: