книги / Линейная алгебра

Систему (10.11) называют парам етрическим и уравнениями

fe-мерной п лоскости, проходящ ей через точ к у			Afo(xJ,	... ,	)
в направлении п одп ростран ства	L* = <	ai, ... ,	a* >.
В частности, в случае прямой к =	1, L = <	а >, а = (ai,		... ,	an)T

ипараметрические уравнения прямой имеют вид

xi= ait + x

( 10.12)

Яп = ап< + я°.

При t > to на прямой (10.12) выделяется луч, а при *i < i < ti - отрезок.

От параметрических уравнений (10.12) прямой легко перейти к ее

каноническим уравнениям

а?1 - х\ _	х2 -	_	_ а?п ~ х°п
ai	ai		(10.13)
			On

Исключив из параметрических уравнений (10.11) Jfc-мерной плоскости все параметры, получим ее общие уравнения

	Ац Хх + ... + А\пхп + Di	=	0,
	+ ... + An-k,nXn + А»-*	=	(10.14)
{			0.

В частности, при к = п —1, т.е. в случае гиперплоскости, получа­ ется, что она задается одним уравнением

А\Х\ + ... + Апхп + D — 0.

(10.15)

Поэтому уравнения (10.14) fc-мерной плоскости можно рассматри­ вать как пересечения к гиперплоскостей. Это наглядно иллюстриру­ ется на примере прямых в трехмерном пространстве, так как любая такая прямая может рассматриваться как пересечение двух плоско­ стей.

Получив уравнения прямых и плоскостей в аффинном простран­ стве, можно решать все вопросы аналитической геометрии относи­ тельно прямых и плоскостей в этом пространстве, т.е. вопросы от­ носительно прямых и плоскостей, не связанные с измерением длин и углов. В частности, здесь можно развить теорию выпуклых мно­ жеств и выпуклых многогранников, нужную для линейного програм­ мирования.

10.4.Гиперповерхности второго порядка в аффинном пространстве

Множество точек М аффинного пространства Лп, координаты которых удовлетворяют в выбранной системе координат уравнению второй степени

п	п	п
^2 ^2 a'iXiX3 + 2 Ц а*х*+ 0 = 0		ПРИ °»J = °i»i	(Ю.16)
i= lj =1	1=1

называют гиперповерхностью второго порядка или квадри­

кой.

В двумерном аффинном пространстве квадрики называют лини­ ями второго порядка. Как в аналитической геометрии для ли­ ний и поверхностей второго порядка, здесь рассматривают (см. [2], [28]) взаимное расположение прямой и квадрики, асимптотические на­ правления, центр, диаметральные плоскости и диаметры квадрик, а также вопросы, связанные с упрощением уравнений квадрик и их аф­ финной классификацией. Мы остановимся лишь на упрощении урав­ нений квадрик и на их аффинной классификации.

Известно, что существует (см. п. 7.4) невырожденное линейное преобразование переменных

п

*» =

qikyk >

* =

(10.17)

* = 1

приводящее квадратичную форму

пп

У^ У ". a*j x ix j

i=1;=1

к каноническому виду

г

0 < г < п.

» = 1

Преобразование переменных (10.17) будем рассматривать как формулы преобразования координат. Подставив выражения для я, из (10.17) в левую часть уравнения (10.16), приведем это уравнение к виду

гп

Y I А.-у,? + 2 ^ 2 с<у* + а = 0. 0 < г < п.		( 10. 18)
i=i	»=i

Если А,- ф 0, то выделением полного квадрата по \/,* и переносом начала координат в уравнении (10.18) можно уничтожить член 2с*у*. Действительно, в этом случае сумму А,у? + 2с,у» можно представить в виде

AiVi + 2с,у#- = А,- ^у,- +

Полагая
*< = 2/« + дЧ	= 2/; при j ф г,

получим, что в уравнении (10.18) коэффициент при ж? останется рав­ ным А,-, член с первой степенью ж,- исчезнет и изменится свободный член. Проделав так со всеми переменными в уравнении (10.18), при­ ведем это уравнение к виду

Гп

^ А	,ж ? + 2 ^2 <*jXj + b = 0, 0 < г < п .	(10.19)
*=1	j=r+l

Рассмотрим возможные случаи относительно коэффициентов а'- и Ъв уравнении (10.19).

Если все коэффициенты а'- = 0 и Ьф 0, то уравнение (1,0.19) можно

записать в виде
Г		д.
Y l	= 1 , 0 < г < n, Si =		.
»=1
Преобразуя далее координаты по формулам
Х{ =	®*	при е,-> 0,
Xj =		при £j < 0,
Хк = 2*		для всех остальных ж*,
последнее уравнение приведем к виду
Г
5 >Х<2 = 1,		Л. = ±1, 0 < г < п.	(10.20)
*= 1

При г = п оно определяет эллипсоиды или гипердолоиды, а при г < п - эллиптические или гиперболические цилиндры.

Если в уравнении (10.19) все а'- = 0 и 6			= 0 , то полагая
Л* =	ж,-	при А,-> 0,
Xj =		ж;- при А,- < 0,
Хк =		для всех остальных ж*,

уравнение (10.19) приведем к виду

г

J 2 t4 x ? = 0, *ц = ±1, 0 < г < п.	(10.21)
* = 1

Это уравнение определяет конусы с (п — г)-вершиной.

Если среди коэффициентов а'- в уравнении (10.19) есть отличные от нуля, то полагая

			( 10.22)
Х{ = Xi при	i ф г + 1,
уравнение (10.19) приведем к виду
^ 2 AiX f - 2Хг+1 = 0,	0 < г <	п.	(10.23)
*= 1

Примечание. В формулах (10.22) преобразования координат можно брать

*г+1 = ± или Хг+1 — i

Уравнения (10.20), (10.21), (10.23) определяют следующие аффин­ ные классы квадрик в Лп•

1. Если в уравнении (10.20) г = п и все /i,- = 1, то оно определяет в Лп эллипсоид

Х? + ... + Х% = 1.

2.Если в уравнении (10.20) г = п и все /i,- = —1, то оно определяет в Лп мнимый эллипсоид

Х? + ... + Х% = -1.

3.Если в уравнении (10.20) г = п и /1,- разных знаков, например,

/*1 =	= /1* =	1, /i*+i =	= fin = —1, то оно определяет в
Л п гиперболоид
	Х\ + ... + Х\ -		х * +1 - ... -	= 1.

4. Уравнение (10.21) определяет в А п конусы

HiXi + ... + ЦпХп = 0, Ш = ±1,

с точечной вершиной при г = п и с (п — г)-вершиной при г < п (мнимый конус при /ii,...,;z n одинаковых знаков и действи­ тельный конус при /л\,.. .,/in разных знаков).

5. При г = п — 1 уравнение (10.23) определяет в А п параболоиды.

6.При г < п уравнение (10.20) определяет в А п эллиптические и гиперболические цилиндры в зависимости от того, одинаковые или разные знаки у коэффициентов ^i, /i2, ..., /ir .

7.При z < п —1 уравнение (10.23) определяет в А п параболические цилиндры.

Примечание. Аффинные классы поверхностей 1) - 5) являются в А п основными; классы 6 и 7) повторяют основные в подпространствах меньшей размерности. Более подробная классификация квадрик в п- мерном пространстве приведена в [23]. Из полученных результатов непосредственно вытекает аффинная классификация линий второго порядка на плоскости Л2 и поверхностей второго порядка в аффин­ ном пространстве Лз-

П ример 1. В аффинном пространстве Лз квадрика задана уравне­ нием

х2 + 2х2 + 5хд — 2XIX2 + 4x2x3 + 2xi - 4x2 + 4хз — 17 = 0.

Упростить уравнение этой квадрики, установить ее аффинный класс, указать формулы перехода к новой системе координат, координаты нового начала и новых координатных векторов.

Реш ение. Начнем с приведения квадратичной формы

f(x 1 , х2у х3) = х* + 2х\ + 5x1 - 2X IX 2 + 4х2х3

методом Лагранжа к каноническому виду. Для этого сначала в ней выделим полные квадраты по xi, х2, хз. Тогда получим

/ = (a?f — 2X IX 2) + 2х\ -I- 5х\ + 4х2хз = (xi - х2)2 +

+(х2 + 4х2хз) + 5хз = (xi —х2)2 + (х2 + 2хз)2 + Х3.

Введем новые переменные, полагая yi = x i—х2, j/2 = х2+2хз,	Уз =
или, что то же самое, полагая xi = У1+У2—2уз, х2 у2—2уз,	= Уз-

В новых переменных рассматриваемая квадратичная форма при­ нимает канонический вид у\ + у\ + у3. Этим же преобразованием переменных уравнение квадрики преобразуется в уравнение

У1 +У 2 +У3 + 2(1/1 + У2 - 2уз) -	4(1/2 - 2у3) + 4уз + 17 = 0,
т.е. в уравнение У? + У2 + Уз + 2У1 -	2у2 + 8у3 + 17 = 0.

Выделив в левой части этого уравнения полные квадраты по yi,

1/2) 2/3) запишем его в виде
(У1 + I)2 + (У2 - I)2 + ( У З + 4)2 -		1 = 0 .
Введем новые переменные, полагая z\ = yi + 1,		z2 = У2— 1, *з = Уз+4,
т.е. полагая у\ = zi — 1, у2 = 22 +1, у3 =	— 4. В новых переменных
уравнение квадрики имеет вид
z\ + z\ + zi =	1-

Результирующее преобразование переменных совершается по форму­ лам

{ xi	=	yi + Уг -	2у3 =	(zi -	1) + (z2 +	1) -	2(z3 - 4) =
	=	zi + z2 -	2z3 + 8,
x2	=	y2 - 2y3	= (z2 +	1) -	2(z3 - 4) =	z2 -	2z3 + 9,
x3	=	2/3 = *з + 9.

Рассматривая эти формулы как формулы преобразования координат в трехмерном аффинном пространстве, получаем, что новая система координат имеет начало в точке О '(8, 9, 9) и координатные векторы

е[ = (1, 0,	0)т , е*2 = (1, 1, 0)т , е!ъ = (—2,	—2, 1)т В этой системе
координат рассматриваемая квадрика имеет уравнение
	z\ + z\ + z\ = 1.
Поэтому она является эллипсоидом в Аз-
П ример 2.	В аффинном пространстве Аз квадрика задана уравне­
нием
2х\ + Ьх\ + 2x1 ““ 2®IX 2 - 4X IX 2 + 2х2х3 -		2xi + Юх2 + 2х3 + 3 = 0.

Упростить уравнение этой квадрики и установить ее аффинный класс.

Реш ение. Сначала методом Лагранжа приведем квадратичную форму, входящую в уравнение квадрики, к каноническому виду. Для этого выделим в ней полный квадрат по х\. Тогда получим

/ = 2^ Xl ~~хъ~ 2®з)2 + 5®2 + 2х§ + 2хгХз — -х% —

1	9
—2х§ — 2 x 2 ^ 3 = —(2a?i — хг — 2хз)2 +	- х \.

Введя новые переменные по формулам у\ = 2xi — Х2 — 2хз, уг = а?2, уз = хз или

XI = Х 1 - У 2 +	2уз	х 2 = У2, *3 = Уз,
2
квадратичную форму / приведем к виду
,	1 о	9 О

/= 2^1 + 2у2»

ауравнение квадрики к виду

\ v i + \ v i - У1 + $У2 + з = о.

В полученном уравнении выделим полные квадраты по у\ и угТогда получим

|(У1 - I)2 + |(У2 + I)2 - 2 = 0.

Введем новые переменные по формулам z\ =							yi — 1, 22 = Уг + 1,
*з = уз или yi =	z\ +	1, уг =	Z2 -	1,	Уз	=	*з. Тогда уравнение
квадрики запишется в виде
—Z? + —Zn —2 = 0			или	— +			тг = 1.
2 1	2	2		4		4/9

Совершим еще дополнительное преобразование переменных по фор­

мулам	2
0		2r3 = ti3.
Z\ = 2lli,	*2 = gti2,

Тогда уравнение квадрики примет канонический вид

и\ + и\ = !•

Это означает, что в аффинном пространстве Аз рассматриваемая квадрика является эллиптическим цилиндром.

Пример 3. В аффинном пространстве Лг квадрика задана уравне­ нием

х\ + 4х2+ 9*з 4х1Ж2 — 6x 1X3 + 12x2X3 + 2xi — 2хг + 4х3 + 3 = 0.

Упростить уравнение этой квадрики и установить ее аффинный класс.

Реш ение. Выделяя полный квадрат по xi	в квадратичной форме
/ = х\ + 4x2 + 9х§ - 4X I X2 - 6x 1X3 + 12х2Х3,	получим

f = (х 1 — 2х2 — Зхз)2.

Вводя новые переменные по формулам 3/1 = xi — 2хг — Зхз, уг = хг, Уз = х3 или XI = У1 + 2у2 + Зуз, х2 = У2, Х3 = Уз, квадратичную форму приведем к виду / = у2, а уравнение квадрики - к виду

У? + 2yi + 2у2 + 10у3 + 3 = 0.

В этом уравнении выделим полный квадрат по yi. Тогда получим

	(yi +	I)2 + 2у2 + 10у3 + 2 = 0.
Введя новые переменные по формулам z\ = yi + 1,			= У2, 23 = уз
или yi = z\ — 1 ,	уг = 22) уз = *3, полученное уравнение квадрики
приведем к виду	z\ + 2Z2 + Ю2Г3 + 2 = 0.
Положим далее	и\ = z1,	= —z^ —5*з — 1, из = Z3	или z\ —tii,
Z2 = U2 — 5ti3 — 1, Z3 =		И3. Тогда уравнение квадрики примет кано­
нический вид		и\ = 2tx2.

Это означает, что рассматриваемая квадрика в аффинном простран­ стве Аз является параболическим цилиндром.

10.5.Т очечно-векторное евклидово п р остр ан ство

Аффинное пространство называют точечн о-вектор н ы м евкли­ довы м п ростран ством или просто евклидовы м п ространством , если связанное с ним линейное пространство является евклидовым векторным пространством. Мы будем рассматривать лишь конеч­ номерные евклидовы пространства, т.е. такие точечновекторные

пространства, с которыми связаны n-мерные евклидовы векторные пространства. Их будем обозначать через Еп, если их размерность равна п. Точечно-векторное евклидово пространство Ез совпадает с трехмерным пространством, изучаемым в аналитической геометрии.

Любое конечномерное аффинное пространство можно превратить в точечно-векторное евклидово пространство, так как линейное про­ странство, связанное с аффинным пространством, всегда можно пре­ вратить в евклидово векторное пространство, задав в нем скалярное умножение векторов.

Система координат, координаты точек и векторов в конечномер­ ном точечно-векторном евклидовом пространстве Еп вводятся так же, как в аффинном пространстве. При этом систему координат (О, e i,..., ... , еп) называют прямоугольной, если базис е\, ..., еп свя­ занного с Еп векторного пространства, ортонормированный.

Формулы (10.7) преобразования координат таюке сохраняются. Причем, если совершается переход от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат, то матрица этих формул будет ортогональной. Например, в Е^ формулы пре­ образования прямоугольных координат имеют вид

х= х1cos а — 2/ sin а + яо,

у= я 'в т а + з/соза + уо,

где а -угол поворота осей координат, 0'(хо)Уо)е - новое начало ко­ ординат, ех = (сова, sina)J, е2 = (—sinа, cosa)7 - - координатные векторы новой системы координат,

Поскольку точечно-векторное евклидово пространство Еп явля­ ется в то же время и аффинным пространством, то в нем сохраня­ ется без изменений геометрия прямых, плоскостей и квадрик. При этом появляется возможность рассматривать еще вопросы, связан­ ные с измерением длин и углов. В связи с этим геометрия в п-мерном точечно-векторном евклидовом пространстве в точности напоминает изученную ранее аналитическую геометрию, а в случае двух и трех измерений совпадает с нею. Так, например, умножив скалярно век­ торное уравнение гиперплоскости

г =

1 + Го,

(10.24)

заданное в некоторой прямоугольной системе координат, на вектор п(Ах, ... , Ап) из ортогонального дополнения = < п > к подпро­ странству £ п- ъ придадим этому уравнению вид

(п,т) = (л, г0),

(10.25)

что в координатной форме дает уравнение гиперплоскости

A\xi + А2Х2 + ... + Апхп + D = 0,

(10.26)

где D = -(п ,г 0).

Таким образом, как и в аналитической геометрии плоскостей, ко­ эффициентами при переменных в общем уравнении гиперплоскости в прямоугольной системе координат служат координаты ортогональ­ ного к этой гиперплоскости вектора.

Здесь так же, как в аналитической геометрии плоскостей, урав­ нение (10.26) гиперплоскости можно привести к нормальному виду

А\Х\ + ... + Апхп + D

(10.27)

±у/А1 + ... + А*

где знак у корня также выбирается противоположным знаку D. Это позволяет, как в аналитической геометрии плоскостей, нахо­

дить расстояние d от точки М о(я?,..., я°) до гиперплоскости (10.27)

по формуле
\AiXi + ... + Апх° + D |	f осЛ
“ - — Д	(1028)

Так можно воспроизвести в Еп все результаты, аналогичные ре­ зультатам аналитической геометрии на плоскости Е2 и в простран­ стве Е3.

10.6.Гиперплоскости в т о р о г о порядка в евклидовом п р остр ан стве

Пусть в прямоугольной системе координат евклидова простран­ ства Еп гиперповерхность второго порядка (квадрика) задана урав­ нением

п п	п
(HjXiXj +	2 ^2 а*х* + а = 0 при aij = П;»-	(10.29)
f= ij - 1	i=i

Квадрику в Е2обычно называют линией в т о р о г о порядка. Как в аналитической геометрии для линий и поверхностей второго по­ рядка, для квадрик в точечно-векторном евклидовом пространстве