книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

Соответственно Для Девийтора тензора упругих деформаций имеем

		deb	_		,	su			(5.13)
		dt		2G (1 — со)	'	2G (1 — со)2
Из соотношений (5.11) и (5.12) с учетом (5.13) получим
Гб(*6„ +	2°TS,‘f iJ	к	,=	2C(1 - со)	\ ё„ - [\ +		4Gys	j 2G (1—to)2J
	asklekls							\ su*	I
L		J			[	у
				Щ nSjj					(5.14)
				askie'kt<
Для средних напряжений получим
	= ЗК (1 -			») (*» -		+	С] *}.
Следует отметить,			что рассмотрение процесса разрушения на
основе	кинетических		представлений			оставляет	открытым вопрос

о выборе адекватного локального критерия разрушения. Однако вносимая ясность в понимание определяющих структурных меха­ низмов должна быть использована при формулировке такого кри­ терия.

Выше уже отмечалось, что в ряде работ принимается, что момент локального разрушения материала соответствует со — 1. Однако многочисленные экспериментальные данные по отколу, в которых проводится фрактографический анализ поверхности скола, показы­ вают, что разрушение происходит не при со = 1, а при различных значениях со в зависимости от величины и длительности нагрузки. Так при испытании алюминиевых пластин в опытах по плоскому

соударению	пластин при различных скоростях соударения (до
175 м/с) и	размерах ударника и мишени значение со изменялось
в пределах	0,05—0,3.

Числовые расчеты применительно к имеющимся эксперименталь­ ным данным по плоскому соударению пластин указывают на целесо­ образность использования кинетических уравнений совместно с ин­

тегральным	критерием	разрушения
	f	" и	«	и < « < '.•	(5.15)
	о
Используя	соотношение	(5.15),	из (5.8) получим
		J okk-%-<U<lt .			(5.16)
		о
Критерий	(5.15) имеет	ясный		физический	смысл — разрушение

в заданной точке сплошной среды наступит в тот момент, когда удель­ ная работа напряжений на объемных деформациях (за счет деструк­ ции материала) достигнет критической величины.

171

В случае откола	координата откОльнон поверхности ху ir время
в момент откола tf	определяются из (5.16) следующим образом.

Пусть при некотором значении х левая часть неравенства (5.16) равна 1 в момент времени t = t (х). Тогда момент времени tf опреде­ лится из равенства

(5.17)

а соответствующие значения х, при которых выполняется (5.17), принимаются за координату точки откола.

5.4.РАЗРУШЕНИЕ МЕТАЛЛОВ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ

В литературе предложен ряд моделей разрушения металлов при ползучести, основанных на кинетических дислокационных пред­ ставлениях. Эти модели не относятся к числу физических, так как параметры, входящие в определяющие соотношения, определяются обычно путем сравнения теоретических данных и данных механиче­ ских испытаний. Однако структура определяющих уравнений запи­ сывается с учетом имеющейся информации о переменной структуре материала, что позволяет добиться адекватного описания экспери­ ментальных данных в широком диапазоне изменения скоростей деформации и температур.

Классификация дислокаций, участвующих в процессе деформи­ рования твердого тела, позволяет выделить дислокации, ответствен­ нее за период накопления повреждений и сформулировать опре­ деляющие соотношения между различными классами дислокаций.

Как частный случай при определенных ограничениях полученные соотношения приводят к известным критериям разрушения и при­

дают им определенный физический смысл.	примем
Определяющее соотношение для одноосной ползучести
в следующем виде
	(5.18)
где С и k — эмпирические постоянные; пт — плотность	подвиж­

ных дислокаций; т* — напряжение сопротивления движению дисло­ каций.

Предполагая, что все источники дислокаций заблокированы вследствие их высокой плотности, принимаем пт = const. Для напряжения сопротивления движению дислокаций используют сле­ дующее выражение

т* = В (n t - Л/),

(5.19)

где В — постоянная; nt — плотность всех имеющихся дислокаций, причем nt = const вследствие принятого выше предположения; tif — плотность разрушающих дислокаций, причем

п

(5.20)

172

где а — постоянный коэффициент. Подставляя					(5.19) н (5.20) в со­
отношение		(5.18), получим
		rfe*	Ао\			(5.21)
		~dt~ ~ ~(\-k4 )n
где	А = Cnm/(Bnt)k, к = anh /л/. Интегрируя				равенство	(5.21) при
=	const	для деформаций	ползучести,	получим
		е' = 1Г 11 ~	[Ака‘ (« +	1) 0111/4+1 •		(5.22)

Формула (5.22) использовалась для обработки экспериментальных данных по ползучести тонкостенных трубок из Д16Т при напряже­ ниях (Jj = 60, 80 и 100 МПа. При изменении приложенных напряже­ ний поведение дислокаций будет изменяться, а, следовательно, и

коэффициенты А и к будут принимать различные значения.
Для	материала	Д16Т	при напряжении 0! = 60 МПа, п = 10,
А = 3,4	-10"6, k =	6,8;	при	а, = 80 МПа — А = 0,45-10"“,	к =
= 9,5; при стх =		100 МПа		коэффициенты примут значения	А =

—0,12-10"fl, k = 12. Сравнительные графики приведены на рис. 5.2.

О.В. Соснин, обосновывая энергетический метод прогнозирова­ ния долговечности, провел ряд экспериментов, описывающих изме­ нение работы деформации во времени. В частности, такие зависи­ мости получены для образцов, изготовленных из сплавов Д16Т и

СТ—4, при различных значениях av (Проблемы прочности, 1973, № 5, с. 45—49). В этой работе получена зависимость для работы

деформации от времени
W = w ‘ " У ( r ’)*+l - (« + I) Bof'U,	(5.23)

где W*, В — постоянные величины.

Уравнение (5.22) дает возможность построить кривые ползучести при различных фиксированных значениях с^. Коэффициенты в (5.23) получаем из независимых физических экспериментов и решения обратной механической задачи.

Исследуем ползучесть металлоз на всех трех стадиях на основе кинетических уравнений (5.5) и определяющих уравнений (2.42)

при	Sij	const для случая одноосно-напряженного состояния
		^ = i3fiS it +
		asklekl
	« • - Ь п г ^ г + Ф -		15 я >
Рис.	5.2.	З а в и с и м о с т и д е ф о р м а ц и и	ползучести
от в р е м е н и

173

Так как г еп = ё% 4 - - j - 6„, то из (5.24) и (5.25) получим

•с _

2yps,;-«

,

Г

*U

■

2yssujj

,

рЛ у

,

C fyn .

e,' - a

Strf,

+

[ 20(1- 0,)=

+

« ^ 2,(1 - o

f

ЗК(1- - -(о)*

'

3 J w-

(5.26)

Далее будем

полагать,

что ос « G и а

<

/С. Из (5.26)

получим

.С

2y$Sjjn

,

Г

2у»и

- + 4 - e ,i/J

®-

(5.27)

[----Ь

L

а*ыек1 (■ -«Г

Для случая

одноосной

ползучести

.с _ К з > .

г

За,

(5.28)

+ Ь4а (1 — со)2

3 ] “ •

Так как на первой стадии

ползучести

ёп =

п,

то

из (5.28)

имеем

_ £ 3 _ L

= —

4m *

a

Окончательно

из

(5.25)

получим

* '= _ Г _^ Г Й+ ['2(1-© )>‘

+ - г ]

(529)

Из (5.29) следует, что при со

1

скорость

ползучести

определяется

следующим

образом

_

4зп(Ь

ёп

(5.30)

За (1 — о ) 2

’

Интегрируя (5.30) с учетом аг = const и кинетического уравнения для со для третьей стадии ползучести получим

с* _ 4сги (г	__i_	ч
	1 - ( k + t ) A o } t y ‘+' -	l) .	(5.31)

Обработка кривых ползучести по формуле (5.31) приводит к удовле­ творительному результату.

Большой практический интерес представляет исследование роста трещин в условиях ползучести при напряжениях, меньше критиче­ ского напряжения Гриффитса, определенного из решения соответ­ ствующей упругой задачи. Рост трещины достигается за счет про­ текания процессов ползучести вследствие структурных изменений в зоне, примыкающей к вершине трещины при заданных внешних нагрузках; трещина достигает критической длины, когда последу­ ющий рост трещины не определяется механизмами ползучести.

Следуя работе [1], используем далее параметр © для описания накопления поврежденности материала, для которого кинетическое уравнение записывается в форме (5.7). Для однородного поля напря­ жений (при условии а) = 1) нетрудно получить связь между растя­ гивающим напряжением а0 и временем до разрушения;

hi = [А (т 1) о|)П] *.

(5.32)

174

Рассмотрим тонкую пластинку, содержащую прямолинейную трещину длиной 2/0. Пластинка растягивается напряжением olf приложенным на бесконечности ортогонально трещине. Пластинка находится в состоянии ползучести и деформируется в соответствии с законом

8,7 = (-§-) BoT'sii,

где В и п — эмпирические постоянные; sis и ё,-; — компоненты тензо­ ров девиатора напряжений и скоростей деформации; <т{ = ^ s^s,-^ —

интенсивность напряжений.

Интегрируя уравнение (5.7) для случая неоднородного поля на­ пряжений, т. е. (о (t, х) и a, (t, х), где t — время; х — координата (ось х направлена вдоль трещины), критерий разрушения можно записать в следующем виде: о) (/, I (/) -|- d) = 1, где I (t) — зависи­ мость длины трещины от времени; d — малая зона в вершине тре­ щины. С учетом этого критерия из (5.7) следует интегральное урав­ нение для зависимости безразмерных длины трещины X от времени т

				х
			1	= J ow fa, %(т)		р) dxlt				(5.33)
				о
где т = t!tn\ X = ///0;				р = <£70;	a =	«W^ i.		°т — максимальное
растягивающее			напряжение (<тШах =			J/7/2		(х — I).	Из	(5.33)
сразу	же	следует время, необходимое				для	страгивания		трещины:
U =	<*Г"\	где	os — безразмерное		значение		предела текучести ма­
териала пластины при простом растяжении.
При 0 с х < т* трещина неподвижна, и напряжения меняются
лишь	за	счет	процессов ползучести.			Запишем уравнение				(5.33)
в виде		— J	от(Xj, X(т) -j- р) dxx — J
	1					ат(Xj, X(х) -\- р) dxv				(5.34)
		О			хл

Решить уравнение (5.34) возможно лишь с помощью ЭВМ. Выде­ лим предельные состояния с целью нахождения приближенных решений. Для случая степенного закона ползучести известно выра­

жение для максимального растягивающего напряжения
СГ„,ах = knOjl (х - /)'/(«+!),		(5.35)
где кп — известная функция показателя ползучести, причем		ку =
= - / 2/2. С учетом (5.35) уравнение	(5.34) можно переписать в сле­
дующем виде
1 - т ,С (!/(Ч т ) +	р - 1 ) Г /',*| =
т
= К' I (Я (Ti№ (Т) -I- р - К(Т,)))"'"'*1Ах.		(5.36)

175

Произведя	замену	переменных: X (т) = z, X fa)	= £,	т, = ср (£),
а = т/(п +	1). В	новых переменных уравнение	(5.34)	запишется
в виде

1 -т * С (Н -р -1 )" а =

2
= с 1 №	+ Р - ?))“ <р' (?) <*!•	(5.37)
1
Уравнение (5.37) является	уравнением Вольтерра	первого рода

с разностным ядром относительно функции £®ср' (£). С помощью

преобразования Лапласа решение	уравнения	(5.37) запишется
в виде
- (? ) “-' е» Г ( 1 - « . ? ) =
= А™р‘“Ф (s)	epsF (1 - a, q),	(5.38)
где q = ps, Г(1 — а, q) = J	— неполная	гамма-функция,

Ф (V) — преобразование	о	£а<р	(Е).
	Лапласа от функции
Из уравнения (5.38)	находим
Ф (s) = с р " (< T V 7r(l - a, q) -		1).	(5.39)
Так как построенное решение справедливо только			для т близких

к т* (т. е. z —> 1, а следовательно, q ->■ с»), то можно заменить функ­

цию Г (1 — a, q) ее асимптотическим разложением	при больших q
Г (1 — a, q) = </-“е-»(1 — a/q + • • •).	(5.40)
Тогда равенство (5.39) можно переписать в следующем виде:
cV (s)^k;rpa' la/s.	(5.41)

Оригинал этого изображения имеет вид za$' (z) = k~mpa~la. Воз­

вратясь к старым переменным для скорости распространения тре­ щины, получим

№ А (Па+ 0 d'-*o'!T.

(5.42)

Следует отметить, что соотношение для скорости роста трещины может иметь весьма ограниченное прикладное значение из-за не­ определенности величины rf, но качественно оно соответствует экспе­ риментальным данным.

5.5.РАСЧЕТЫ ОТКОЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ МЕТАЛЛОВ

Вгл. 1 при описании экспериментальных данных по отколу указывалось на наличие зон разрыхления, примыкающих к поверх­ ности откола. Экспериментальные данные по исследованию образо­

вания микропор, свидетельствуют о ярко	выраженной	тенденции
к накоплению повреждаемости материала,	причем этот	процесс за-

176

висит как от уровня растягивающих напряжений, так и от длитель­ ности импульса. Таким образом, при теоретическом описании от­ кольных явлений необходимо пользоваться временной зависимостью прочности твердых тел.

Рассмотрим в линейном приближении распространение одно­ мерной плоской волны в материале, причем в качестве временного критерия разрушения используем следующее интегральное равенство

		t
		f Лег/<1‘ =		/*.
		б
В плоской ударной волне, отраженной от свободной поверхности,
напряжения	определяются по		формуле
где с{ — продольная		скорость	звука,	х — продольная координата
и ат — максимальное		значение напряжений. Суммарное поле на­
пряжений в	области	суперпозиции волн
В работе	1231 рассматривается			функция /(т) = ех р (---- д -).

На рис. 5.3 приведены изолинии параметра /г' = t%AI0. На рис. 5.3 видно, что изолиния, на которой выполняется критерий разрушения, имеет экстремум, где выполняется условие t = tMa. В этой точке начнется процесс разрушения — образование поверхности откола. Отметим, что в окрестности экстремума существует область, в которой разрушение распространяется быстрее скорости звука. В этой об­ ласти возможно явление множественного откола, которое наблюдается

вэксперименте.

Вслучае взаимодействия свободной поверхности с сильными

ударными волнами откол материала в меньшей степени определяется механизмами возврата механических свойств образца (мишени) и в большей степени значительным уровнем растягивающих напряже­ ний в областях, близких к свободной поверхности мишени. Предпо­ ложим, что откол свободной поверхности происходит в некотором

заданном		сечении,				когда		растягивающие	.
напряжения превышают некоторое кригиче-									ь' *
ское	значение оир				(силовой			критерий раз­	°А
рушения). В месте откола образуется сво-
бодная поверхность						и	вводятся соответ­
ствующие граничные условия. Расчет про­									ОА
водился		по квазигидродинамической модели
Рис.	5.3.	Изолинии		поврежденности образца в пло­					.
ской	полно	(ио	осп	абсцисс			отложена безразмерная
координата		х --	. v / r / ,		а	но	оси	ординат — безраз-	*

мерное время ///*)

177

vStn/c

,н/с

Рнс. 5.4. Зависимость скорости сво­ бодной поверхности образца от време­ ни для разных значений <тКр (штри­ ховая линия — эксперимент)

Рнс. 5.5. Зависимость скорости свобод­ ной поверхности образца для разных глубин откола (штриховая линия — эксперимент)

методом частиц с использованием	псевдовязкости	(см.	гл. 8).
На рис. 5.4 приведены расчетные	профили скорости		внешней
свободной поверхности мишени толщиной 9,87 мм		при	отколе

на глубине 1 мм. Железная мишень нагружалась ударом пла­ стины из алюминия толщиной 2 мм. Скорость соударения 1,3 км/с. В расчетах варьировались значения критического напря­ жения <7кр. На рис. 5.5 приведены расчетные формулы скорости сво­ бодной поверхности мишени <ткр = 1,7 ГПа для разных глубин откола. Из рис. 5.4 и рис. 5.5 следует, что изменение акр в широких пределах не влияет на характер колебаний отколовшегося слоя, а глубина откола существенно меняет характер волновой картины. Этот вывод является дополнительным свидетельством того, что для оценки волновой картины при отколе использовать «силовой» кри­ терий нельзя. Это обстоятельство привело к необходимости услож­ нения критерия откольного разрушения. Несмотря на то, что иссле­ дование откольного разрушения проводилось сравнительно длитель­ ное время, до сих пор не получено адекватное теоретическое описание откольных явлений. В первую очередь, это связано с недостатком экспериментальных данных, в частности, данных о механизмах этих процессов. Трудности, связанные с непосредственной регистра­ цией зависимости напряжение — время в плоскости откола, приво­ дят к необходимости разработки косвенных методов оценки откольной прочности. Часто используется зависимость скорости свободной поверхности мишени от времени. При этом критическая величина растягивающих напряжений определяется по перепаду скорости свободной поверхности Avfs между максимумом и первым минимумом па зависимости v/H от времени

<*нр = (W Ду/4/2,

178

где Су — объемная скорость звука. Г. В. Степанов в работе [23] уточняет величину акр учетом наличия упругого предвестника.

Рассмотрим задачу о распространении плоской ударной волны (одноосное деформированное состояние) с учетом накопления повре­ ждений в материале. Для продольной компоненты тензора дефор­ мации имеем

_	С I Я	Я	®I "I" |	Я	/г- i№
e i =	,	б| =	— g------- г	е \ »	(5 .4 3 )

где е'1 — девиаторная часть тензора неупругих деформаций, причем

		dc\	/ r ,	d'f	df		(5.44)
		lit		61	Э»-!
при / = 0 и	4 г	^ 0- Вводя	объемное			содержание	микропор (о,
примем		0« =	ё;* -|- 2ё'* =			со.	(5.45)
В областях,	где	поврежденность		металла отлична			от нуля, для
поверхности	нагружения примем
		/ = У s%sy2 -		С (enih п) = 0,			(5.46)
		С = С0 -j- а У		e'lje'ij/2 — р«,

где s'lf = Sij/(1 — со)2/3.

Кинетическое уравнение для п будем использовать в форме (5.7). За критерий разрушения материала примем (5.15). На рис. 4.11 приведены экспериментальные и расчетные (штриховые линии) данные зависимости скорости свободной поверхности от времени. Удовлетворительное совпадение с экспериментом свидетельствует об адекватности используемых уравнений. Заметим, что кинетиче­ ские постоянные, участвующие в модели, определялись из квазнстатических экспериментов по кручению алюминиевых трубок.

Система (4.41) использовалась для решения задачи о соударении цилиндров с учетом откольных явлений. В этом случае система

дополнялась		уравнением		для накопления микропор в материале
			дсо	да	да
			~дГ	' VT дг	дг
	= [jV„V0e x p ( ^ f ! L ) w ( < r - a „ )					3(а—а„) 1		.Ур
						4i]	J	ci
где (Tj,	ои, ач,		1] — постоянные.
В результате			числовых расчетов
установлено,		что со (г)		при г = О
имеет	два	локальных		максимума

(рис. 5.6). Сточки зрения откольных

Рис. 5.6. Зависимость объемного содержа­ ния микропор от глубины мишени для раз­ личных скоростей соударения

179

явлений этот результат можно трактовать как возможность множественных отколов в материале. Установлено, что чем больше отношение диаметра ударника к диаметру мишени, тем больше макси­ мумы со и больше области, в которых со^О .

5.6.ДИНАМИЧЕСКИЙ РОСТ ТРЕЩИН

Инженерам-конструкторам часто приходится сталкиваться с та­ кой ситуацией, когда нельзя устранить возможность роста трещины в конструкции, однако рост и остановку трещины необходимо кон­ тролировать. Для анализа процессов роста и локализации трещины широкое развитие получила линейная механика разрушения. Рас­ пространение линейной механики разрушения на динамический про­ цесс роста трещин основано на учете следующих факторов: энергии упругой деформации, кинетической энергии, работы внешних сил и энергии, расходуемой на пластическое деформирование и разрушение вблизи вершины трещины. Первые три фактора зависят от длины трещины, геометрии образца и приложенных нагрузок. Общее из­ менение этих трех факторов, отнесенное к единице площади прираще­ ния трещины, называют динамической скоростью высвобождения энергии или движущей силой распространения трещины. Величину этой силы F можно определить из уравнения:

г. jlS _	,	JU _	,	J T _ _	PdA _ 0
r dt	‘r	dt	"T	dt	dt

где dS — малое приращение новой поверхности раздела; U — пол­ ная энергия деформации поля напряжений; Т — кинетическая энер­ гия; Р — нагрузка (предполагается только одна подвижная точка приложения силы); А — относительное смещение точки приложения силы в направлении ее действия.

Можно показать, что между силой F и коэффициентом интенсив­ ности напряжений hi существует однозначная связь

где / (v) — функция скорости трещины,	причем при	v	0 / (v) =
= 1 — v для плоско-деформированного	состояния и	f(v) = { | у

для плоско-напряженного состояния. Функция f (v) не зависит от геометрии тела и монотонно неограниченно возрастает при v —у

сп (с1{ — релеевская скорость звука).

В описанном выше подходе движение трещины рассматривается как движение поверхности, не имеющей толщины, разделяющей раз­ рушенную и неразрушенную области материала. С точки зрения реализаций такого подхода на ЭВМ здесь имеются значительные трудности, связанные с разрывом расчетной сетки и появлением особенности в вершине трещины. В случае волновых задач расчет вблизи вершины трещины особенно затруднителен (по сравнению со статическим случаем), так как вершина трещины является источ-