книги / Основы автоматизации проектирования в строительстве

ЛЕКЦИЯ 12

В О З М О Ж Н О С Т И И П Р О Б Л Е М Ы К О М П Ь Ю Т Е Р Н О Г О

М О Д Е Л И Р О В А Н И Я С Т Р О И Т Е Л Ь Н Ы Х О Б Ъ Е К Т О В

Появление огромного количества разнообразных прикладных программ связано с широким внедрением методов математического моделирования и численных методов на основе ЭВМ в практику инженерных расчетов. В связи с этим в профессиональной деятель­ ности инженера-строителя, и в частности проектировщика - поль­ зователя САПР, следует выделить умение грамотно работать с программными комплексами, реализующими прочностные расче­ ты строительных объектов. Не только разработчики, но и инжене­ ры-пользователи САПР должны представлять возможности и осо­ бенности реализации методов, заложенных в программные ком­ плексы, уметь оценить вычислительные затраты, необходимые для решения конкретных задач, диагностировать причины погрешно­ стей и ошибок, возможных отказов и уметь их корректировать.

В основе большинства расчетных программных комплексов лежит метод конечных элементов [18, 55,61, 71], который явля­ ется в настоящее время основным методом расчета строительных конструкций в САПР. Он открывает практически неограниченные возможности компьютерного моделирования, но при этом требует грамотного и осознанного применения в каждом конкретном случае.

§1. М е т о д к о н е ч н ы х э л е м е н т о в

И П Р А К ТИ Ч Е С К А Я РЕАЛИЗА ЦИЯ МКЭ

1. Основные понятия МКЭ

Кратко напомним сущность МКЭ и основные этапы его прак­ тической реализации.

Основная идея МКЭ состоит в том, что исходная область оп­ ределения искомой функции разбивается с помощью сетки, в общем

случае неравномерной, на отдельные подобласти (конечные элемен­ ты). Искомая непрерывная функция аппроксимируется кусочно­ непрерывной функцией, чаще всего в ацде полинома (линейного, квадратичного или кубического), определенной на множестве конеч­ ных элементов. Полиномы подбираются так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах па границах элементов.

Значения непрерывной величины в каждой узловой точке пер­ воначально считаются известными, одцако в действительности их еще предстоит определить. Это определение осуществляется путем минимизации некоторого функционала, связанного с физической сущностью задачи. В прочностных задачах чаще всего минимизиру­ ется потенциальная энергия деформированного тела, а в основе используемых алгоритмов прочностных расчетов большинства про­ граммных комплексов лежит МКЭ в форме метода перемещений, поэтому узловыми неизвестными являются перемещения узлов. Про­ цесс минимизации сводится к решению систем линейных алгебраи­ ческих уравнений относительно узловых значений неизвестных:

[K]x{U}={F}«

Матрица жесткости разрешающей системы алгебраических уравнений [К] связывает векторы узловых перемещений {U} и нагру­ зок {F} и является симметричной ленточной матрицей, что сущест­ венно облегчает ее обработку. Ширина ленты матрицы жесткости зависит от нумерации узлов [29].

С точки зрения МКЭ конструкцию можно рассматривать как не­ которую совокупность конструкционных конечных элементов, соеди­ ненных в конечном числе узловых точек. Если известны соотношения между силами и перемещениями для каждого отдельного элемента, то, используя известные приемы строительной механики, можно описать свойства и исследовать поведение конструкции в целом.

2. Свойства конечных элементов

Как следует из основной концепции МКЭ, вся модель конст­ рукции (или отдельной ее части) делится на множество конечных элементов (КЭ) достаточно простой формы, соединенных между

собой в вершинах (узлах). Каждый элемент характеризуется сле­ дующими основными свойствами:

♦геометрической формой (отрезок прямой, треугольник, пря­ моугольник, четырехугольник, тетраэдр и т.п.);

♦размерностью используемого пространства (одномерное, дву­ мерное, трехмерное);

♦набором узлов, располагаемых как в вершинах геометриче­ ских фигур, так и на их сторонах, ребрах, поверхностях;

♦набором используемых степеней свободы в узле;

♦системой аппроксимирующих15 (базисных или координат­ ных) функций, с помощью которых перемещения произвольной точки конечного элемента однозначно определяются через переме­ щения его узлов;

♦физическим законом, связывающим напряжения и дефор­

мации;

♦набором допустимых нагрузок и воздействий;

♦классом задач, для которого предназначены элементы дан­ ного типа;

♦другими, более специфическими условиями.

Обычно предполагается, что вся расчетная схема состоит толь­ ко из элементов заранее определенного типа, причем при построе­ нии модели могут быть использованы не один, а несколько типов элементов.

Имеется несколько типичных форм конечных элементов (стержни, пластины, оболочки, массивные тела), которые могут использоваться в задачах разной размерности, например, стер­ жень или пластина могут рассматриваться как в плоскости, так

ив 3-мерном пространстве.

Вобычных пространственных конструкциях в узле могут при­ сутствовать все шесть смещений (степеней свободы):

1 - линейное перемещение вдоль оси Х\

2 - линейное перемещение вдоль оси Y;

3 - линейное перемещение вдоль оси Z;

15 В разных литературных источниках используется разная терминология:

аппроксимирующие, координатные, базисные, координатные функции.

Порядок элементов

4 - угол поворота относительно оси X {Ш0;

5 - угол поворота относительно оси Y (UY);

6 - угол поворота UY Z (J7Z).

Если в некотором узле какое-либо из перемещений не сказыва­ ется на напряженном состоянии всех элементов, примыкающих к этому узлу (например, повороты узла, к которому примыкают толь­ ко стержни с шарнирами на концах, как это бывает при расчете ферм), то соответствующее перемещение не входит в число основ­ ных неизвестных.

Может оказаться, что вся система обладает такими свойствами и в каждом ее узле присутствует один и тот же сокращенный набор неизвестных перемещений, или, точнее, - некоторые из перемеще­ ний не присутствуют среди степеней свободы ни одного из узлов системы. Тогда можно это свойство системы {признак системы) специально обозначить и в дальнейшем принципиально не опери­ ровать с некоторыми из перемещений.

В зависимости от количества узлов на стороне конечные эле­ менты могут быть линейными (элементы первого порядка), парабо­ лическими (элементы второго порядка) или кубическими (элементы третьего порядка) (рис. 12.1).

	I	II	III	Линейные		элементы	имеют
				прямые стороны и узлы только
	х А	(Ъ		в углах. Таким образом, мини­
				мальное число узлов			трехмер­
				ного элемента равно 4. Парабо­
				лические элементы могут иметь
				промежуточный узел вдоль ка­
				ждой из сторон. Именно благо­
	Рис. 12.1. Элементы разного			даря	этому	стороны	элемента
				могут	быть криволинейными

порядка

(параболическими). При равном

количестве элементов параболические элементы дают большую точность вычислений, т.к. они более точно воспроизводят криволи­ нейную геометрию модели и имеют более точные функции формы (аппроксимирующие функции). Однако расчет с применением КЭ высоких порядков требует больших компьютерных ресурсов и большего машинного времени.

В методе перемещений элементы системы считаются присое­ диненными только к узлам расчетной схемы. Такой подход является приближенным, поскольку, приводя эквивалентные усилия к узлам, условия равновесия конечных элементов некоторых типов (напри­ мер пластин, оболочек) можно выполнить только интегрально. Поэтому для расчета следует использовать, так называемые совме­ стные элементы, которые гарантируют совпадение перемещений и их необходимых производных для точек, расположенных на про­ тивоположных сторонах разреза конечных элементов.

В соответствии с физическим законом, связывающим напря­ жения и деформации, для каждого конечного элемента формирует­ ся матрица жесткости [К], размерность которой зависит от числа узлов (АО и числа степеней свободы в узле (п) и равна [Nxn]. Наибо­ лее распространенным физическим законом в строительном проек­ тировании является закон Гука о линейной связи между напряжениялш и деформациями, хотя современные промышленные про­ граммные комплексы включают в свой арсенал КЭ, в которых описаны такие нелинейности, как пластичность и ползучесть мате­ риала, большие прогибы, большие деформации, контактное взаи­ модействие и другие.

При решении практических задач обычно возникают вопросы, связанные с выбором типа элемента, так как для решения одной и той же задачи существует целый набор конечных элементов, имеющих различные свойства. Списки типов элементов {библиоте­ ки конечных элементов), которыми оперируют разные программные комплексы, существенно различаются, причем они могут видоиз­ меняться и пополняться от версии к версии. Выбранный тип эле­ мента для решения конкретной задачи обязательно должен соответ­ ствовать тому классу задач, для которого он предназначен.

Одной из важнейших характеристик конечно-элементной мо­ дели является максимальный размер конечного элемента А, с кото­ рым связывают оценки погрешности метода. Этот размер можно определить как минимальный диаметр шара, в который можно вло­ жить любой КЭ расчетной модели. Когда говорят о сходимости МКЭ, то имеют в виду, что при Л—>0 последовательность прибли­ женных решений задачи устремляется к точному решению.

3. Этапы практической реализации МКЭ

Практическая реализация задачи с применением МКЭ состоит из следующих основных этапов:

1.Переход от реальной конструкции к расчетной схеме

(или механико-математической модели). При решении каждой конкретной задачи следует заранее определить, надо ли в расчете учитывать силы инерции и выполнять динамический расчет или же можно ограничиться статическим анализом. На данном этапе при­ нимается решение о том, будет ли расчет выполняться в линейной постановке или требуется учитывать нелинейное поведение конст­ рукции. Нелинейные задачи могут быть вызваны отсутствием про­ порциональности между напряжениями и деформациями (физиче­ ская нелинейность) или связаны с эффектами, возникающими при изменении геометрии системы под нагрузкой (геометрическая не­ линейность). Здесь же определяется размерность задачи (одномер­ ная, плоская или пространственная); моделируются геометрическая форма, схема загружения, условия закрепления, модель деформиро­ вания и критерии разрушения материала.

2.Переход от расчетной схемы к дискретной или компью­ терной модели, приспособленной к возможностям конкретного программного обеспечения (выбор типов конечных элементов, дис­ кретизация, введение необходимых связей, схематизация нагрузок). Составление компьютерных моделей в настоящее время становится искусством с применением специальных приемов и является непро­ стой задачей для реальных конструкций и сооружений.

3.Проведение самого расчета, получение численных результа­

тов расчета. Этот этап обычно выполняется автоматически и, как правило, особых трудностей не вызывает за исключением получения систем с плохо обусловленной матрицей жесткости. Опричинах плохой обусловленности проектировщику необходимо знать.

4. Анализ результатов расчета, подразумевающий выявление слабых мест в конструкции, что существенно облегчается имеющи­ мися в современных расчетных программных комплексах мощными инструментальными средствами визуализации результатов, а также исследование вопросов сходимости метода и точности результатов.

Каждый из рассмотренных этапов содержит элементы моде­ лирования, а, значит, вносит свою долю в накопление погрешно­ стей при переходе от реальной конструкции к итоговой информа­ ции. На каждом из этих этапов степень участия расчетчика и роль используемого программного обеспечения различны, как и раз­ лична их ответственность. Использование вычислительной техни­ ки при реализации МКЭ в роли «черного ящика», без понимания основных процессов и этапов вычислений, может привести к непри­ емлемым результатам.

Ниже мы рассмотрим некоторые проблемы численной реализа­ ции МКЭ и остановимся на некоторых полезных приемах компью­ терного моделирования строительных объектов и проверки результа­ тов расчета, позволяющих избежать возможных ошибок.

§2. Н е к о т о р ы е п р о б л е м ы к о м п ь ю т е р н о г о

МО ДЕ Л И Р О В А Н И Я С ТР О И ТЕЛ Ь Н Ы Х ОБЪ ЕКТОВ

ИВ О ЗМ О Ж Н Ы Е ВА РИАНТЫ И Х РЕШ ЕНИЯ

Приступая к конечно-элементному анализу, исследователь должен понять:

♦к какой области анализа относится данная задача;

♦какая часть всей конструкции должна исследоваться подробнее;

♦какие упрощения можно допустить в данной задаче. Ошибки и погрешности могут возникать на различных этапах

конечно-элементного анализа: при постановке задачи, при дискре­ тизации (построении конечно-элементной модели), при численном решении и анализе результатов. В данном разделе рассмотрим, на что следует обращать особое внимание на каждом из этих этапов.

1. Этап постановки задачи

На этапе постановки задачи ошибки и погрешности могут вызвать:

♦идеализация геометрии и нагрузок;

♦некорректное задание граничных условий;

♦ несоответствие типа конечных элементов или их размера физическому поведению материала в конструкции.

При идеализации геометрии некоторые пространственные элементы конструкции заменяют стержневыми, пластинчатыми или оболочечными элементами. Использование этих элементов является привлекательным в силу их изученности и снижения размерности по сравнению с пространственными элементами. При этом приня­ тые оси стержней и пластин могут не совпадать с их нейтральными плоскостями.

Назначенные основные размеры могут несколько отличаться от натурных с целью придания возможной регулярности и для со­ кращения ввода исходной информации, и анализа результатов. Все это вносит определенные погрешности в расчет.

Идеализация нагрузки в виде сосредоточенной силы (практи­ чески нереализуемая ситуация) может иметь неприятные особенно­ сти в виде появления уходящих в бесконечность решений и высо­ ких градиентов полей напряжений. Точку приложения сосредото­ ченной силы обычно называют особой точкой. Вблизи таких особых точек имеется резкая концентрация напряжений, и приме­ нение МКЭ (равно как и других методов дискретизации) обычно затруднено, особенно в представлении поля напряжений. Прихо­ дится резко сгущать сетку конечных элементов, существенно уве­ личивая размер задачи. К сожалению, это может и не привести к результату, например, при действии сосредоточенной силы на пла­ стинку, когда в малой окрестности этой силы напряженное состоя­ ние является в действительности пространственным, а обычные гипотезы теории пластин не выполняются. Вообще, сосредоточен­ ная сила есть не существующая в природе абстракция, и если бы она была создана, то проткнула бы конструкцию любой прочно­ сти. Выходит, что эта идеализация создает искусственную труд­ ность и следует представлять, каким образом фактически реализо­ вана в конструкции та сила, которая идеализируется в форме со­ средоточенной, тогда могут отпасть и вопросы о сходимости конечно-элементного решения к точному. Возможен также пере­ ход к трехмерной модели.

объекта [26]

Рис. 12.2. Учет симметрии

Помимо сил, которые в расчете можно трактовать как сосре­ доточенные, на элементы конструкции действуют также поверхно­ стные и объемные силы, являющиеся примерами распределенной нагрузки. В соответствии с принципами МКЭ эта нагрузка не может быть приложена к элементу, а должна быть трансформирована к узлам, что во многих программных комплексах выполняется ав­ томатически. Но об этом пользователь программного средства должен знать.

Задание граничных условий - один из ответственных этапов конечно-элементного анализа, связанный с наложением на некото­ рые из узловых перемещений ограничений (связей). Это могут быть линейные перемещения вдоль осей: X, У, Z или угловые перемеще­ ния (повороты) относительно этих же осей UX, UY, UZ.

Граничные условия (перемещения или силы) прикладываются только в узлах. Граничных условий должно быть минимально необ­ ходимое число (не меньше и не больше). Не следует прикладывать силу в узле в том же направлении, в котором в данном узле наложе­ на связь.

Если конструкция имеет оси ши плоскости симметрии, то при назначении граничных условий это следует учитывать. На рис. 12.2, а показан куб, сжимаемый прессом, имеющий три плоскости симмет­ рии. Очевидно, в этом случае нет необходимости моделировать весь куб целиком. Можно смоделиро­ вать только часть куба (1/4 или 1/8), имея в виду, что в точках на плоскостях симметрии соответ­ ствующие перемещения равны нулю. Это обстоятельство учиты­ вается соответствующими гранич­ ными условиями в узлах элемен­ тов, лежащих на плоскостях сим­ метрии (рис. 12.2, б).

С помощью граничных условий можно моделировать вид нагру­ жения (растяжение, чистый изгиб, сдвиг), как показано на рис. 12.3.

Растяжение

Изгиб

Напряжения
отсутствуют	Сдвиг

Рис. 12.3. Моделирование вида нагружения [26]

2.Этап дискретизации модели

Всовременных профессиональных конечно-элементных про­ граммных комплексах разбивка на конечные элементы чаще всего производится автоматически, но учесть все особенности работы конструкции при создании расчетной модели конструкции должен исследователь.

Замена реальной конструкции ограниченным числом конечных элементов (с учетом их формы и размеров) вносит определенные погрешности в расчет и может привести к потере точности резуль­ тата. Общих рекомендаций по выбору оптимального уровня раз­ биения системы на конечные элементы не существует. Здесь прихо­ дится полагаться на накопленный опыт и на результаты некоторых контрольных расчетов, выполняемых для одной и той же конструк­ ции при различных схемах разбиения на конечные элементы.

Слишком грубое разбиение конструкции на КЭ может привес­ ти к потере точности результатов, в особенности для тех случаев, когда рассчитываются пластинчатые или оболочечные конструк­ ции или проводится нелинейный анализ.

Чрезмерно мелкое дробление конструкции на конечные эле­

менты приводит к увеличению времени расчета и требует больших ресурсов памяти ЭВМ.

Практика расчетов с применением МКЭ позволяет дать неко­ торые рекомендации, повышающие точность расчетов.

Исследователь должен уметь предвидеть области концентра­ ции напряжений. Более частая сетка требуется там, где ожидается большой градиент деформаций или напряжений (рис. 12.4).