книги / Прогнозирование прочности и анизотропного состояния деформированных конструкционных материалов

правлений скольжения около направления л>» так что в е [ - р ( £ ) ,

1рис.7.

Впрямоугольном треугольнике (рис.6 ,Z) в плоскости Oij ка­

теты параллельны направлениям скольжения п, и Ь , положение ги­

потенузы определено выбором т, (углом <*>),				и тогда положитель­
ное	направление	го определяется обходом контура			треугольника
(по ходу или против хода часовой стрелки),				совпадавшим с вы­
бранным направлением /л.,
	В качестве	общего вида	следуя	[1333,	будем рассма­
тривать полярную функцию
		F{OJ)= (k/h,K<xfk -R<)>				(3 .4)
где	к , k, 81 -	опытные константы, причем		k t h, £	1 ,	Заметим,
что после подстановки в (3 .4 )			значения		и продольно­
го	перехода	получим	+Аипг1.£С<д»“А'-- <			>
	F(u>)«A

А- 0 L

А- 0

ДТ

а раскрыв неопределенность последнего предела посредством при­ менения правила Лоситаля

,			jL.	к llm,
кЦпг— :— =кUrn,			---------
.t-*e	h,	А-*0	oL	Л.**0
			сОг (h>)

- u T h In , o>

- АЪгсо,

*

приходим к логарифмическому виду полярной функции	упрочнения
(3 .4 )
f(o>)-A IrtCc/co).	(3.5)
Пусть максимальное касательное напряжение T (t)	в материа­

ле в процессе его нагружения является монотонно растущей функ­

цией параметра

^-времени. Под действием Т ( О

в

некоторый на­

чальный момент

t 0 начнется пластическая деформация

материала

путем скольжения в

направлении иод углом я /4 к

главным

осям

или под углом тс/4-Ф U 0)

к

оси 0J в системе обычных

осей

Oij

(см .рис.7 ) . Здесь

Ф( t 0)

-

значение в

начальный момент

сколь­

жения некоторой угловой функции Ф (*),

выражающей величину

угла

поворота в любой момент

t обычных осей

Oij

в положение главных.

Поскольку известное выражение для касательного напряжения

на

наклонной площадке о нормалью р в любой момент

£

имеет вид

хр- -■^•(^-<5t)sLn ЯФ t) +*ty cosZ<p(t),

(3.6)

то для случая,

когда площадка с нормалью р

главная и .

следо­

вательно, хр -

0,

угловая функция

Ф (^) дня начального момента

t 0 ,

любого другого момента t и за

интервал времени

д £ * £ -£ й:

Ф и « )“ Ф,,—J

ttrc t9 e -(te) - « 5 ( f , ) '

<3.7а)

Ф « ) - Ф <4 а г с 1 д ^ | ^ у ,

(3 .7 d )

Й-Су«.)

I

(3 .7 в )

или

Ф(д£)»Ф <-Ф 0 .

В начале скольжения максимальное касательное

напряжение

T (t* ) на начальном направлении скольжения равно

значению

ани­

зотропного предела текучести металла на сдвиг под углом и А -Ф , к оси Oj. Анизотропный предел текучести получим, используя урав­

нение годографа пределов текучести н& растяжение [104] для пло­ скости Olj , которое в общем случае выражается функцией

siri4,к sirvacc со$го£+ cos^ot^ , (3 .8)

причем			Ъу /(IJ )= \/т л-Ы /кг-(4/т .)(\/1*+^г ),			(3 .9)
где	I , J ,	К	- измеренные в направлениях осей		I , j , А	преде­
лы текучести			на растяжение материала до	деформации;		-	ко­
эффициент		отклонения формы годографа от		эллипса;	ш = 2	и	4 -
для	слабо	и сильно анизотропных материалов соответственно. Вос­

пользовавшись критерием Мнзеса, представим предел текучести на

дцвиг для	плоскости	Oij в виде [45,		104]
					(3.10)
Подставляя	в (3.10)	значение <3FTct	по	(3 .8 ) о /л. =2	для	угла
<х- 5г/4 -Ф0 и приравнивая к T ( i e)			полученное таким		образом	для
направления начального скольжения частное значение					'Бт(ж/4 - ф ,)
годографа	т То( будем иметь для момента t Q следующее условие
квазистатического равновесия:

+w	‘	'*•)'+7*“ **( т ' ф')]			(3-ш
В этот же момент Ьй сопротивление			сдвигу	(предел текучести		на
сдвиг) в направлении т, будет равно
т(*/4			7 / И	т +в» - 4
*«»*(f + V ♦.)+j.			+®.~		(3.12)
Сдвиг по действующим системам скольжения приводит					к	ани­
зотропному упрочнению,		т . е . происходит деформационное упрочне­
ние материала,	меняющее состояние		его анизотропии. Подставляя
выражения (3 .2 )	и (3 .3 )	в (3 .1 ),	получим уравнение для		обус­

ловленного деформационным упрочнением приращения сопротивления сдвигу в произвольном направлении т к моменту £

^ - ^ F ( w ) y ( 0 , * ) d e .

(3.13)

43

j , К ( к - в направлении по нормали к рассматриваемой плоско­

сти U ) и подотавляя (ЗЛ7) и (3.18)		в (3.16), получим обобщен­
ное условие пластичности
А!		(<V<5/)\ 3 L 1.
г
Так как	-T(d) , то ив последнего выражения получим

. j _ L L -	{ 'А К*<Ъ-Ъ'>‘ У *			(3.19а)
к * \ р	2 кя}\	г	J •

или

(3.196)

Если I- J KK~GT г выражение в квадратных скобках в(3.19) принимает вид

Но так как 6V-V3TW согласно (3.10), то для случая сфериче­ ской изотропии материала вместо (3.19а) будем иметь

Возводя в квадрат (ф -ф >У [4Т^]+т§/[т*(<)]=Н		н умножая
все члены	на 4Тг(О г получим 4Т2(*)«(«*-с^)*+4т?;	> в резуль­
тате чего	окончательно приходим к известному уравнению
	Т « > - £ т - в ,) * + 4 1 ф .	(3.20)
Равенство Sm.(&0г^)= ^trv^Ot ^ , представляющее собой ус­

ловие квазистатического равновесия в момент			t , запишем в раз­
вернутом виде,		используя уравнения (3,14) и (3.15):
	"p fl/J* з1аг( т + ®»'ф')+ J j sta'( - f + в. ' *<) е о з ^ * О,-Ф,)+
i	аfit	\т1Л < flV^
+rjCOS U +e«'<t,vJ +Щ			. (3.21)
			45

После математически преобразований

_т С0 9 4 т +(в°"ф,)]=

* ~ - ^С05^-С052(ео-Ф 0“ sitbj- Sin О Д-Ф *)]"^[\+ sin,Я(в0-Ф,)],

со»А( £ +в0-Ф1) -0L5[l-eiitfc( V * i 4 ,

sia£^ +80-Ф^ cos* +80-	= Q,5[4+sln.2 (80-Ф<)1*
х 0 ,б [< - airv 2 (б р —ф ,) ] -	0 ,г 5 [ \ - sin,* 2 (fl0 - ф4) ]

выражение в квадратных скобках в уравнении (3.21) принимает вид

1 , 5^ ( | + ео-Ф ,)+ ^ з ^ ( | +в0- Ф^ ^ +ео-ф )+1

^

+е0-Ф 1) .

-Щ- + ^ f r t Щ+[Щ

sin, г (e„-*() - ^ ] s ia 2 ( e 0-* ,).

Пренебрегая в полученном выражении членом [0,2.5/i^/tTj)]з1ггг t^(0o—Ф4*Й высшего порядка малости (форма годографа предела текучести ма­ ло отличается от эклиптической), найдем, что

м , 4 2 а

Далее можно преобразовать о учетом функции				(3 .4 )	условие ква-
зистатического	равновесия	(3 .21)	в направлении пь в плоскости
деформации Lj	для момента	t к	следующему	виду:

Jj-U (-a £ -£ )*t*fc-*>р+

« 1 %

+	к	сЬ<*>		I-/L		(3 .2 2 )
	Ш	)	( |в - в . Г - в ,) ? ( М М в - Т « ) с о 62 (в 0-Ф (),
где угол		ш	в	функции F(.u>)	типа (3 .4 ) определяется	описанным
ранее	опоообом (см.пояснение				к р и с .6 ,а ):

« - 1

o . 4 - f +P*<4)’ f - f t w

l

(3 .2 3 )

If-If*

Po6 [^|—f t W

. f +/M 4)J,

Для исключения из уравнения (3.22)

проведен следующие ма­

тематические преобразования. Запишем выведенные в работе

[104]

выражения для параметров

анизотропии

Му =L,M,N:

ZML

2

. 2

1

JHL

(3 .24)

1г J& /С* IJ

Подставим вместо

2Му его

значение

из (3.18) 2 / ^ и А£<к/>»

ГДО

- Т

, а Т

в свою очередь выразим функцией (3 .1 9 ).

Тогда

получим формулу (3 .9) для рассматриваемого случая слабой

ани­

зотропии,

когда

лг=

2.

При выводе уравнения

(3.22) была получена функция

(3.21а),

при подстановке в которую значения

П уАи)по

(3 .9 ) при

л* *

2

после приведения подобных приходим к уравнению

» г (\/Т г + 1/К *Г,/г.

(3 .25)

При

J - /C - б ^ - б т

выполняется

равенство

(3 .2 0 ),

и

в

ре­

зультате

подстановки

его

в

(3 .25)

получим

„

, , f

*

.

П

' й

или

4

|

4

С .-< 5)*+ 4х?у

e f

“ в *

’

откуда

(3.26)

Таким образен, для изотропного .материала формула

(3 .25)

превращается в извеотное энергетическое условие

пластичности

Губера-Мизеса.

Подставляя

(3.25)

в

уравнение

(3 .2 2 ), подучим

» т

.

Рь«>

.

+ - ^ - \

(1в-8,|

-8,)<f(e,Orfe-Tcos2(8j-+,).

(3.27)

YZh Ч р<«)

Бели теперь положить

s . - e . - s , s = b ^ L, v ($>*>“

то уравнение (3.27) преобразуется в линейное интегральное урав­

нение Фредгольма	к
€№		(3.28)
3	(1?-?0Г -Bj<f (£ ,t)db- /< $ 0, *),

Действительно,		| £ -	=	<?(£» О в <Р ( £ + Я» * )" ф(0»О*
Пределы интегрирования			в (3 .27) - ft (*)•♦. f t (*)		охватывают ве­
ер направлений,		ограниченный суммарным углом f t ( 0 + f t ( 0 a2 p (i)
и симметрично расположенный относительно направления						Т (£ 0) -
начального скольжения			(см .рис.7 ) . Пределы интегрирования				в
(3 .28)	охватывают такой же веер с суммарным углом					и так
же расположенный относительно				Т (/<>). Следовательно,		величина
интеграла в (3 .28) осталась той же, что и в (3 .2 7 ),						так	как
подынтегральные функции и интервалы интегрирования						соответст­
венно	эквивалентны.
Для того чтобы получить				значение функции	/ ( £ 0,£), исполь­
зуем подстановку			в	(3 .15) и тригонометрические			фор­
мулы преобразования синуса и косинуса суммы аргументов

- ^ г с о з г ( ^ + « - Ф , ) - г / | ^ [ ^ + ^ + 2 ^ - ^ ) $и г ( ^ +в-Ф([ =

= ~ ^ T (c O s 2 ( f - $ ,)M s 2 S „ - s i* 2 (J - * l)stR 2 S 0] - 2 | / ! ^ { J 5 + ^ +

+[со52(Л-Ф| ) sin, 2 £ 0+ sin Жв-Ф,)cos £<£0]j /

Раскладывая si.a& £0 и с о з 2 £ 0 в рад Маклорена, после про­ стых преобразований будем иметь с точностью до

/ f e , < ) = ^ T [ ( b 2 ? t + f r t ) c“ ‘« - ,«>.)-2(i;o- 4 i ; 0 ^ 2 ( « - ^ ) ] - 2 y f A »

Х(т» + Ь )	Д 3 .2 9 )
48	1

Чтобы преобразовать выражение в фигурных скобках функции (3.29) к интегрируемой форме, воспользуемся разложением в ряды:

I) из [31]

. x la flt	(xtn,o. ) 4	a
а * .* * 1**. [*+—И— +	oj	<*4<©о>,

	{<+b[afe0=-|-55)cos2M-4>,)+(l-&i;5 + 1				s t r v 2 W - $ , =
« i - - ^ in { i+ b [		]} + -f (in.{<+4[			Cint1+bt	l } ) 1;
	2) далее, из	[31]
			(*-<)*	(х-1)г (аг-О4 ^
	1|х л = (л - 1 ) -		Z	3	" 4'*, (0< x £ Z ).
Численный анализ показывает,				что условие	сходимости		разложе­
ния	2)
| *-11 - ) б [2 (? „ - f		5 г)с08Я « - ф ,) + ( ( - 2 ? |+ § < $ s in 2 («-«,)}]<)
для	анизотропных металлических материалов				(в том числе		компо­
зиционных) всегда выполняется, так как					Ь-~+1, а значения			£ 0
всегда малы, ибо направления скольжений должны быть						близки		к

направлению действия максимального касательного напряжения, при­ нятого за начало отсчета углов.

Применяя последовательно разложения I ) и 2 ),	носав	всех
преобразований получим для подстановки в (3.29)	с точностью
до s i

(Н 4 [2(?г |5 ^ о о зг(^ Ф > (|-2 ^ * + |^ * )з1 а 2 Й -Ф )]} 'Й. 2 ^ о . < 3 .31)

где коэффициенты ^ выражаются многочленами:

/f0= i —	Ъsin, Z($-Ф4) —g -^sin2£	(9-4^ ) -	ЬъslaJ ZW -Ф ,) +
+ - jb l *inz Z(B-% ) cos.2W		-^)+ -jfc bASin4 Я(Я-Ф4) -
- ^	i 49ia3- Я(Я- Ф4) COS Z(6 - Ф,)~ ^		Ь5sia5Z(S ~Ф<)+

+ jj-bss i f t * Z ( $ - 9 i ) c o s Z ;

~ T b5sin2£(tf-4»4)cos2(tf-®,)-b ^ ^81гъ3а(£-Ф,)&052(в-Ф,)-

44 sin* Z(8-% ) Мй12(1!-Фу) - 1 | 6s sin4г (tf-*4)cos2(tf-*\)~

	6 ssin? ЖЯ-Ф,) со&*г(£-Ф,)-...;
/4г-дз1п.г(5-Ф<) + ^ 6 г&1а4г(^-Ф4)+ -|-ь г со$гг(5 -Ф ,) +
+-|-	$'иъЖЯ-Ф4)с,05г2(£-Ф4>
“ §4* sin4 Й.(А~Ф|)+^£ 44 sin5Я(0-Ф,) cos 2(8 -Ф4) +

+ ^ б Ч 1 п г ЖЯ-Ф1)со$гЖ о-ф 4) + ||б 5^ 5ЖЯ-Ф4)+

Ь5з1пАЖ$-Ф4) совЖЛ-Ф,)- | | Ь6 sin5 г(5 -Ф 1)со5гЯ(^-Ф4)+

+ jg б58игг Ж $-Ф 4)соз5Ж А -Ф 4К . . ;

	><5— ■|-6со82.(б,-Ф4)+ ^ Ьг з1пЖ^-Ф4)созЯ(^-Ф,)+
	Ьъsin*&(8 -Ф4) cos 2 (tf~Ф4) - - | Ььcos*2 (8 - Ф4)-
- Ж	ь*йл>г(8-Ъ )сль2(8-% )+47бАзш*Жв~Ф4)со5гЖЯ-Ф>
+ ^ 6 4 з1п.2(Я-Ф4)со$5Ж$-Ф4)+		^аш ?ад-Ф 4)со&гв-Ф,>
+ - ^	Ь5 5\ль2(8~Ф^)сх>^2(8-ФА) - ^	65sm5 2(8-Ф ')соь12($-%)\..\

л4— ^б81пг^-Ф4) - :| б г з1пгя(5-Ф4) - я б гсозг г(й1-Ф4) -

-% ь 1&г?г($-Ф А) + ^ ь 1$1Г1г(8-ФА)1оьг2 ($ -Ф 1 )+

-» - ^ - 6 4 31П4 Я № -Ф 4) * - ^ Ь4 б 1п* 2 (5 '- Ф 4') COS Я ( б - Ф ^ ) -

-^ Ь 451пгЯ(^-Ф4)соз2Я№'Ф1) + ^ 6 4со54Я(5-Ф1) - Щ - ^ 51г152^ _ ф ^

-^ Л 1 а 4Я($-Ф4)с0 5 Я № -Ф ,)+ Ь * 5 1 п 4Ж£-Ф4)соз2йД0-Ф4) - Aysin*2(tf-$4) cos32« -*4) - £ | A5sin г® -*,) cos42 (M > )-..(3 .32)

50 .