книги / Промежуточные приводы ленточных конвейеров

Динамические усилия в ленте будут также убывать по экспоненциальному закону с координатой х. Для прямой волны имеем с точностью до слагаемых, порядка ц получим

- E F ^ X	М*	(120)
	2с , х > 0.
Аналогично, для обратной волны
	У*	(121)
5обР.«.	е2с , JC < 0.
Знак	в (120) показывает, что распространяется	усилие

сжатия. Чтобы определить динамические усилия при действии нескольких приводов, применим метод суммирования волн. При действии п приводов, расположенных на равных расстояниях А, усилие вблизи первого привода будет

				Ц (п -1) h
S	1 + е	~2с +	+ е	2 с	( 122)
или, суммируя		здесь геометрическую прогрессию, найдем
		linLi
S		Mix			(123)
		2 с
	Рассмотрим для примера расчет динамических усилий для
ленты шириной В - 800 мм, толщиной 6 - 1 4					мм, полный модуль

упругости которой для пяти прокладок Е - 0,9*10® кН/м1, уси­ лие одного привода Snp ш 14 кН, линейная нагрузка от веса

ленты дя -	220	Н/м, от груза		д -	1300 Н/м, коэффициент					со­
противления	w - 0,03,		установившаяся				скорость^ ^ ухенты			v -
- 3 м/с. Для		нагруженной		ленты		имеем р		- — гг -	1,38х
xlO4 кг/м3. Скорость волны с -				/•р-		255	м/с,	S *
				у -	-			коэффициент ц
по формуле	(119) будет		равен	ц -	^	-	9,8* 10'2. При		1л «■

- 300 м и числе приводов п - 3 по формуле (123) имеем для

с|

динамического усилия S *■ НН1 2,83| _ .. - 19,8 кН.
*	I «пр*14

При отсутствии трения (ц - 0) получили бы

S - (Snp/2) л - 21 кН.

Расчеты показывают, что в первоначальный момент пуска скорость несущей ленты для груженой ленты составляет 0,17 м/с. Это говорит о неизбежности пробуксовки лент про­ межуточного привода. Для выравнивания скорости грузонесущей и тяговой лент, для достижения несущей лентой скорости 3 м/с потребуется некоторое время, в течение которого и будет на­ блюдаться пробуксовка. Снижения этого времени можно добиться заданием специального закона изменения тягового усилия при­ вода 5пр во времени (изменение формулы (117) последнее вы­ ражение] с помощью средств, показанных в разд. п. 6.1. Это усложняет математическое описание задачи, но позволяет более корректно рассчитать условия пуска конвейера и выбрать такие параметры привода, которые позволяют снизить время пробук­ совки до минимума.

6.3. Расчет динамических усилий в МПЛК в зависимости от изменения усилия тягового привода во времени

В предыдущем разделе рассматривался расчет усилий с уче­ том силы сопротивления движению ленты, при этом предпо­ лагалось, что усилие тягового привода мгновенно возрастает до постоянного значения Sap при пуске конвейера. Однако характер изменения во времени тягового усилия может су­ щественно повлиять на значения динамических усилий в ленте конвейера. При расчете будем предполагать, что прижатие ленты конвейера к приводу достаточно велико и при пуске не происходит значительных колебаний усилия привода, обуслов­ ленных его пробуксовкой по отношению к конвейеру. Технически это возможно осуществить с помощью приводов, указанных в разд. 6.1. Для тягового усилия привода тоща можно принять

вейера
		г
S T ш	S n p	1 - е т	(124)
		к.
ЩС	Snp	усилие,
режиме;		т - величина, имеющая смысл постоянной времени раз­
гона привода и ленты конвейера (обычно т			определяется
экспериментально).

Рассмотрим задачу для одного	привода, причем действием
сил сопротивления пренебрегаем.	Для ленты конвейера по-

прежнему выполняется волновое уравнение

	д 2и ш	д 2и	(125)
	d t 2 “	д х 2 '

ще и и с смещение ленты и скорость продольной волны в ней. Начальные и граничные условия при включении привода будут описываться как указано выше [см.выражение (116)].

Применим к выражениям (125) и (116) преобразования Лап­ ласа, т.е. найдем сначала изображение по Лапласу Н и) ис­ комой функции и:

и = И и) - X и(х,	О е ~ptdi.		(126)
о
Из выражений	(115),	(116) для и получаем обыкновенное (не
в частных производных)		дифференциальное уравнение

с2 ^ - р2* - О

dx2

и граничное условие

	du		du		•LL
	dx		dx		ЕГ
		х		x -	-О
	ще	ST - преобразование Лапласа от функции (124);
	ST	00	STeГР* dt
		S		>np	V - ±
		о			p ( p + V )

( I V )

(128)

(129)

Решением уравнения (127), учитывая симметрию задачи для положительных и отрицательных значений ху будет

А	. в	X
	е	. х >0;
и « -	В	(130)
А	ее	х < 0.

Постоянную интегрирования А здесь можно найти из условия (128):

	^	Sup с	1	(131)
	А "	2 E F
			р<р + У)

Таким образом, чтобы определить смещение ленты при х > 0, следует найти обратное преобразование Лапласа от функции

1х

р( р + V )

Используя таблицы обратных преобразований Лапласа [11], на­ ходим при х > 0

Sup	С		-V(t -	ct.
2 EF		Н "	X <
и " -				(132)
О,	х	> ct.

Динамическое усилие в ленте для прямой волны по величине будет

е	-v« - fс)	X < ct.
S - E F |Й |		(133)

k 0, х > ct.

Таким образом, усилие экспоненциально затухает по длине

Рис. 49.Схемы МПЛК с а	_ а	L. Li ^
прподвп только на
груженой ветвш		г-
а - схема всего кон-	1		Е
■ейера; б - расчетная	Т г	щ— w
- (
	г г —	— Ч—
	а	/	гГ
6	ч ,	in	1

*

Ь__ “ 1

й &

ленты при х < ct и нарастает во времени, причем скорость возрастания пропорциональна параметру v - 1 /т .

Если рассматривать п одинаковых приводов, расположенных на равных расстояниях Li, а также учитывать силы сопро­

тивления, то суммируя такие усилия для каждого из приводе», получим величину динамического усилия вблизи первого при­ вода:

	fiLt
S	2	с	..	+431

1	(134)

		-Vit		f l (n - l ) LX
	+ [■ е		е	2 с

Здесь предполагается, что волна от				последнего,		л-го при­
вода уж е дошла	до	первого, а	встречная		волна разгрузки от
первого привода	ещ е	не пришла	в точку	/	(рис. 49).

В формуле (134) fi - коэффициент затухания по длине, обусловленный силами трения. Для него ранее нашли: ц -

щ е w - коэффициент сопротивления, v - стационарная скорость

Рис. 50. График зависимости пре­ вышения максимальных усилий в ленте МПЛК относительно статичес­ кого тягового усилия привода от

постоянной			времени		разгона;			при­
1,	2	для	расстояния			между
водами L\			-	2000	м;	3,	4	для
L\	-	1400	м;	1, 3	для		груженого
конвейера;			2,	4	для	ненагружен-
ного

ленты. Опасным моментом времени по формуле (134) будет время to непосредственно перед тем, как волна от первого привода сделает полный "оборот”, т.е.

to - [(п - 1) и + 2 a] (J +	7 7 >,	(135)
С	С1

где с и Ci - скорость волны в нагруженной и порожней ветвях конвейера. Приведем пример численного расчета по Аормуле

(134).

Как

и

ранее возьмем

L\ -

300

м;

v

-

3 м/с:

дл

*

-

220

Н/м;

q -

1300 Н/м;

w - 0,03;

ц

=

9,8

10“ 2

1/с;

а

-

-

150

м; с -

255

м/с;

ci -

670 м/с. Стационарное усилие при­

вода

в

этом

случае должно быть Snp -

15,7 кН.

Результаты

расчетов

по

формуле

(134),

где

t « *Ь, приведены на рис. 50

в

зависимости от параметра

т,

характеризующего длительность

переходного

процесса

в приводе.

Из рис.

50

видно,

что

мак­

симальное динамическое усилие может значительно (в 2-3 ра­ за) уменьшиться с увеличением этого параметра, т.е. жела­ тельно, чтобы т не было меньше времени ’’оборота” волны по конвейеру. Наиболее заметно снижение максимальных динамиче­ ских усилий с ростом т для ненагруженного конвейера.

Рассмотрим также пример расчета аналогичного конвейера, но с тремя приводами в верхней ветви и с одним в нижней (рис. 51). Здесь при тех же параметрах стационарное усилие приводов будет 5лр - 11,7 кН. Для упрощения расчета дина­ мических усилий не учитываем затухание волн от действия трения (оно, как показали предыдущие расчеты, невелико). Процесс достижения максимального усилия вблизи первого при­ вода можно разбить на четыре этапа.

Первый этап - после одновременного включения приводов волна от второго привода еще не дошла до первого:

Рис. 51. Схема МПЛК с приводами на груженой и порожней ветвях

О < / <	-	1,18 с; S, - ^		<1	-	е ш>.	(136)
Второй	этап		пришла волна от второго привода, но не
успела прийти от четвертого:
1,18 < * < § 7 7			+ 7 7 - “ 1>26 с;		Si	“
_ s , + f Z	[	i .	e. H „ . m ] .				(137)
Третий	этап		пришла волна разгрузки четвертого привода,
но не дошла волна от третьего:
1,26 < t <	2	L \	- 2,36 с; Sj -
	-	j -

- * - ^

[l -

(138)

Четвертый этап - пришла еще волна от третьего привода, но не дошла волна разгрузки первого после ’’полного оборота”:

3 L i

3Z.1

2,36 < t < — + — 4,87 с; S4

СС 1

_	Snp Г,	-у ((-2.36)1
	* — |* • *		J

		Рис.	52.	График за­
		висимости		динамичес­
г		ких	усилий в		ленте
		МПЛК в функции вре­
		мени	для	различных
Ю	Г •0,4 с	значений		постоянной
		времени разгона			при-
	L	вода

Т*2,Ос

Т ш4,Ос

/

2

J

*

S t, с

Результаты расчетов по формулам (136)-(137) приведены на рис. 52 для трех значений постоянной времени т - \/v. Вопервых, следует отметить, что наличие четвертого привода в ненагруженной ветви значительно (примерно в 2 раза) снижает максимальное усилие. Во-вторых, наибольшее усилие дости­ гается перед моментом t - когда волна сделает полный оборот. Наконец, и в этом случае с ростом т значительно уменьшается наибольшее динамическое усилие SAMH при т > to может уменьшиться в несколько раз по сравнению со скоротеч­ ным включением привода, коща т - 0,3+0,5 с.

6.4.Определение усилий в ленте с учетом отражения

ипреломления волн

При прохождении упругих волн через границу раздела двух сред с различными физическими характеристиками, возникает отражение и преломление волны. Применительно к динамическим явлениям в ленточных конвейерах эти эффекты рассмотрены, например, в работе [14]. Если рассматривать грузовую и по­ рожняковую ветви конвейера

волновыми сопротивлениями

на границе этих ветвей, т.е. ведущего и ведомого шкивов, возникнут отраженные и преломленные волны динамических уси-

/2

Рис. 53. Схема МПЛК при установке произвольного числа приводов на его обеих вегаях

лий, величины которых связаны с величиной падающей волны 5п«д, так [14] i

S o ip j ■ Ксггр 5мД) ^Сотр			* п		* г	у	(140)
			■ “	7	7"
Sпрл	Кщ, S,	Чф	2 zп				(141)
			*и	+	*г
Так	как	zT > z„,	то	Кот?		< 0,	значит, отраженная волна

будет отрицательной и уменьшит величину усилия в ленте. Преломленная волна всегда положительна, поскольку Кщ, > 0.

Применительно к определению усилий в многоприводном кон­ вейере с учетом отраженных и преломленных волн далее вос­ пользуемся равенствами (140), (141) в сочетании с принципом суперпозиции волн. Для простоты не будем рассматривать про­ тяженный во времени характер изменения усилия привода, так как из изложенного выше видно, что учет изменения этого усилия приводит к уменьшению суммарных усилий в ленте. Таким образом, допущение о том, что усилия всех приводов при­ кладываются к ленте одновременно и скачкообразно во времени, приводит лишь к некоторому увеличению расчетного коэф­ фициента запаса прочности ленты. В качестве расчетной примем схему (рис. 53), когда в верхней груженой ветви конвейера действует п одинаковых приводов, расстояния между которыми Id, а расстояния от крайних приводов до барабанов равны а (а < 1л). В нижней порожняковой ветви m таких же приводов с расстояниями Li между ними и от крайних приводов до бараба­ нов расстояния Ь (Ь < Ьг).

Максимальных значений динамические усилия			будут достигать
вблизи	первого	верхнего привода, ще усилия	натяжения	от
всех верхних приводов суммируются, причем в момент U, когда
волна	усилия	от n-го верхнего привода достигнет точки		У,

т.е. U - Ll (n' ——. Величину падающей волны тогда определяем

С р

по формуле (123):

		UnLt
1	- е	2с р	(142)
Sпад		М Ll
1	е	2сг

При определении отраженных и преломленных волн также бу­ дем учитывать их экспоненциальное затухание вследствие сил трения. Значение отраженного от левого края усилия вслед­ ствие действия первого верхнего привода вблизи точки I будет

U а	_ U а
S o v . ^ - £ § * <? 2Ст *отр	2Сг

От действия второго верхнего привода в той же точке имеем

	Щ а +LO
Sп р	2сг	2сг
JOTP.B2 2 ^	^отр ^

и т.д. Отметим, что в момент и отраженная волна от л-го

привода еще не возникает, поэтому следует суммировать от­ раженные усилия от действия л-1 верхних приводов

ц д И H ( n - 2 ) L i

	Snp	с г	г		2сг		2сг
Scnpл "	2 ^отр е		11	+ £?	+	...*f	^
Суммируя геометрическую прогрессию,							получим
					Ц ( п - l ) L \
	S n р				2 сг
5атрЛ	Когр е	Сг	—	-	- Li------	,	л Ь 2.	(143)
			I	^	2С«*

Следует заметить, что будут возникать и волны, отраженные