книги / Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 4 Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок

1.19. Колебания системы с вязким сопротивлением. Демпфирование колебаний

1.19. Колебания системы с вязким сопротивлением. Демпфирование колебаний

В предыдущих разделах при исследовании сво­ бодных и вынужденных колебаний предполага­ лось, что в колебательной системе не действуют никакие силы сопротивления. Вследствие этого предположения в случае свободных колебаний по­ лучается, что амплитуда колебаний остается посто­ янной, хотя опыт и специальные эксперименты показывают, что со временем амплитуда уменьша­ ется, колебания постепенно затухают. В случае вынужденных колебаний при резонансе получает­ ся, что амплитуда колебаний должна неограничен­ но увеличиваться, хотя на самом деле амплитуда всегда остается конечной. Чтобы более точно опи­ сать реальные колебательные процессы, необходи­ мо учесть силы неупругого сопротивления. Эти силы могут возникать вследствие нескольких раз­ личных причин: трение между контактирующими поверхностями, сопротивление воздуха или жид­ кости, внутреннее трение в материале и т.д.

Вновь рассмотрим вынужденные колебания си­ стемы с одной степенью свободы, показанной на рис. 1.36. Будем считать, что груз испытывает со­ противление, пропорциональное скорости его дви­ жения с коэффициентом К. Сила сопротивления Fe направлена в сторону, противоположную переме­ щению Fc = -K y(t). В уравнении колебаний (1.93) появится дополнительное слагаемое:

y(t) + K /m -y(t) +p 2y(t) = F(t)	С1-101)
Рассмотрим сначала свободные колебания
y(t) +K /m -y(t) +p 2y(t) = 0	(1.102)

Решение этого линейного дифференциально­ го уравнения с постоянными коэффициентами при К/т < 2р имеет характер затухающих колебаний (см. рис. 1.40):

y(t) = .У0ехр(-8 *t / Т) cos (ptt + ф)		(1.103)
где	- частота затухающих колеба­
	ний;
5 =	- логарифмический декре­
	мент колебаний

В практически важном случае слабого затуха­ ния собственная частота р х близка к собственной частоте р , полученной без учета сопротивления,

Амплитуда колебаний, как видно из рис. 1.40, снижается от цикла к циклу. Огибающая синусои-

ды, отражающая снижение амплитуды, подчиня­ ется экспоненциальному закону exp(-8t/7). Ампли­ туды колебаний в двух соседних циклах и через к циклов А ., А.+/ и Ai+k уменьшаются в отношении, равном логарифмическому декременту:

8 = f t | A = - / „ А

А+\ ь А+к

(1.104)

Из (1.104) видно, что чем больше значение 8, тем больше потери энергии, тем быстрее затухают свободные колебания. Потенциальная энергия W при колебаниях пропорциональна квадрату ампли­ туды. Ее изменение AWза один период колебаний (энергия, рассеянная за один период колебаний), отнесенное к W, можно представить отношением:

A W	_ Д2 -Дч1	_ 2 4 - Д „
w	А	Д>,
= 2 ЛА _ 1 Л» 2 In А
VД+1		Д+1

или

(1.105)

С энергетической точки зрения, таким образом, декремент колебаний представляет собой отноше­ ние рассеянной за цикл колебаний энергии к удво-

41

Глава 1. Основы анализа прочностной надежности двигателей

частоты и частоты вынуждающей силы при различ­ ных значениях логарифмического декремента ко­ лебаний. С увеличением декремента колебаний коэффициент динамичности быстро падает.

Из (1.105) при ОУр = 1 получается простая при­ ближенная зависимость максимального значения коэффициента динамичности от логарифмическо­ го декремента колебаний:

Рис. 1.41. Зависимость коэффициента динамичности от частоты вынуждающей силы при различных значениях декремента колебаний

енному значению потенциальной энергии, запасен­ ной в положении максимального отклонения от равновесия.

Вынужденные колебания системы с сопротив­ лением, пропорциональным скорости, под дей­ ствием гармонической вынуж даю щ ей силы F(t)=FocosQt описывается уравнением (1.103). Его решение при отсутствии свободных колеба­ ний имеет вид:

у ( t) — у 0 ■ == - х

\ ( 1 - П 2/ р 2) + ( 8 / п ) 2 Q }J p 2

xcos(Q t+ ср )

(1.106)

Отсюда видно, что вынужденные колебания происходят по гармоническому закону с частотой вынуждающей силы Q. Сравнивая это соотноше­ ние с выражением (1.106), полученным без учета сопротивления, можно увидеть, что в знаменателе появилось слагаемое, не позволяющее ему обра­ титься в ноль при совпадении частоты вынуждаю­ щей силы с собственной частотой. Т.е. при нали­ чии сопротивления, амплитуда колебаний на резонансном режиме хотя и возрастает, но остает­ ся конечной. Динамические свойства системы оце­ нивают с помощью коэффициента динамичности Р, представляющего собой отношение амплитуды вынужденных колебаний у0 к статическому пере­ мещению груза под действием амплитудной на­ грузки: р =у0 / Fa.

На рис. 1.41 показана зависимость коэффици­ ента динамичности от соотношения собственной

О-107)

Даже при большом декременте колебаний 8 = 0,2л: амплитуда колебаний при резонансе в пять раз выше статической деформации.

1.20. Вынужденные колебания системы

содной степенью свободы под действием произвольной периодической возмущающей силы

Рассмотрим общий случай периодической внеш­ ней силы F{t), действующей на груз. Его движение описывается уравнением (1.93) при отсутствии дем­ пфирования или уравнением (1.101) при его нали­ чии. Рассмотрим сначала первый случай.

Для решения неоднородного уравнения (1.93) воспользуемся тем, что периодическую функцию F(t) можно представить в виде ряда Фурье:

00
F ( t) = Y , Fi cos( Q it+xV i)	(1.108)
/=1

где F., Q. и \|/. —амплитуда, круговая частота и фаза гармонических составляю­ щих внешней силы.

На рис. 1.42, а приведен пример представления периодической внешней силы в виде суммы гар­ монических составляющих.

Решение линейного уравнения (1.93) в этом слу­ чае можно пользуясь принципом суперпозиции представить в виде суммы:

y ( t) = Y j y i cos( Q‘it+ V i ) ,	(1.109)
/=1

где у. и (р. - амплитуда и фаза гармонических составляющих. Собственные колеба­ ния здесь отброшены.

Подстановкой этого выражения в (1.93) можно получить:

	F a
Л =	( 1.110)

i - n , 7 р 2

42

Глава L Основы анализа прочностной надежности двигателей

Рис. 1.43. Пример колебаний системы с одной степенью свободы по действием периодической возмущающей силы:

а - р!£1х= 2; б - pl£lx= 5; в - р/С1х= 4;

I - изменение во времени силы; II - спектр силы; III - амплитудно-частотная характеристика системы; IV - спектр колебаний; V - колебания груза

гармоники (я), во втором - с частотой третьей гар­ моники (б), в третьем (в) - находится между вто­ рой и третьей (£22 < р <Q 3). Колебания системы

впервом и втором случаях имеют резонансный ха­ рактер. В первом случае в спектре колебаний (гра­ фик IV) выделяется вторая гармоника, амплитуда которой во много раз превосходит амплитуды ос­ тальных гармоник. Колебания - почти гармоничес­ кие с частотой Qr Во втором случае ситуация ана­ логична, но колебания происходят с частотой £23.

Втретьем случае (в) колебания не резонансные, их амплитуда невелика, а амплитуды составляющих

вспектре близки друг к другу.

Отметим характерную особенность резонанс­ ных колебаний. В отличие от нерезонансных коле­

бания близки к гармоническим, а одна из ампли­ туд в спектре существенно больше остальных.

1.21.Колебания системы

снесколькими степенями свободы

Сначала рассмотрим свободные колебания сис­ темы с двумя степенями свободы. Классический пример такой системы - изгибные колебания неве­ сомого стержня с двумя сосредоточенными масса­ ми тхи т2(см. рис. 1.44).

Применяя принцип Даламбера, приложим к каж­ дой массе силу инерции:

44

F\ = - щ dt

dt2

Прогибы стержня под действием усилий Ft и F2 равны:

Ух anF| + a 12F2, у2 &2\Р\ ^"CX22-F2 (1.113)

где а у- коэффициенты влияния, представляющие собой прогибы в точке / под действием единичной силы, приложенной в точке /. Они определяются методами сопротивле­ ния материалов, например, через интегра­ лы Мора. Из курса сопротивления матери­ алов известно, что ос.. = а...

Подставляя выражения для 7^ и F2 в (1.113) по­ лучаем систему дифференциальных уравнений, описывающих движение грузов:

a i\mi	£ у * _ + а 12/я2 d 2y 2		+ У\ = 0
	dt2 1	dt2
			(1.114)
	Л2У\	+ а 22от2	+Уг= 0
а \2т \1 dt2 1

Будем рассматривать гармонические колебания системы, происходящие по закону:

3'1(0=У 0| cos (Р‘ + Ф)

(1.116)

^(O = y 02cos (Р' + Ф)

гд е ^ , ^ - амплитудные отклонения точек закреп­ ления масс.

Подставляя (1.115) в (1.114) получаем систему однородных уравнений относительно амплитуду,

*У<а:

(P2a „ wi -1) +р2а 12т2у02= °

(1.116)

Р^хЩ Уп + (Р2а22т2 - 1) = 0

L 2 L Колебания системы с.несколькими степенями свободы

Однородная система линейных уравнений мо­ жет иметь отличное от нуля решение в том случае, если ее определитель равен нулю:

Р2a,./»! —1	Р \ г т2
р 2а 2хтх	= 0
	р о.22т2—1

Из этого условия получается характеристичес­ кое уравнение для определения собственных час­ тот колебаний:

p Amlm2(a lla 22- a , 2a 2I/) -

(1.117)

- р 2(а ит1+ а22т2)+ \ = 0

Отсюда могут быть определены два действи­ тельных корня - значения собственной частоты р 1 и р2(для определенности будем далее индексом 1 обозначать низшую частоту, а индексом 2 - выс­ шую). Как видно из (1.117), они зависят только от параметров колебательной системы: масс и подат­ ливостей.

Получить амплитуды колебаний из однородных уравнений (1.116) невозможно. Однако, если оп­ ределитель системы уравнений равен нулю, то из любого уравнения системы (1.116) можно получить соотношение между прогибами у01 и у02 при дан­ ной частоте. Например, из первого уравнения (1.116) находим для первой и второй собственных частот:

. _ Ут _	2	PfaaPh
vo>~		Г '	(1118
у 02		a ../п,-1
„ _Уо\' __		№ \гЩ
2 “ V*? ~	*1----------;—
У02	р2 а ххтх- \

Эти отношения амплитуд также зависят только параметров системы и характеризуют две формы колебаний, которые называют собственными. Ко­ лебания с низшей, например, собственной часто­ той происходят по закону (1.115):

У\(О = Уо1 cosp,t; у 2( t) = r ^ 01 c o sp j

Они представляют собой гармоническое движе­ ние обеих масс по одному и тому же закону во вре­ мени с частотой р ]. В каждом цикле обе массы од­ новременно проходят положение равновесия и одновременно достигают крайних положений, при этом соотношение перемещений в любой мо­ мент времени остается постоянным и равным г,. Аналогичные рассуждения могут быть проведены применительно ко второй собственной частоте. Каждой из собственных частот соответствует своя форма колебаний. Можно показать [25], что низ-

45

Глава /. Основы анализа прочностной надежности двигателей

Рис. 1.45. Собственные формы колебаний двухмассовой системы

шей собственной частоте р хсоответствует форма, когда обе массы двигаются в одну сторону; часто­ те р2отвечает движение масс в разные стороны (см. рис. 1.45).

Вынужденные колебания системы с двумя степе­ нями свободы рассмотрим на примере нагружения рассмотренной выше системы (см. рис. 1.44) гармо­ нической силой F cosQ /, приложенной к одной из масс (для определенности - к первой). Эта сила добавляется к системе уравнений (1.114) в F, и си­ стема становится неоднородной:

Рис. 1.46. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний первой (1) и второй (2) масс от частоты вынуж­ денных колебаний

d2yx		d 2y1
оL/w,— hr + а ]0т?— — +
11 1 dt	12 2 dt
+ 7, + a ,,F 0c o jQ f = 0
d2y\		d 2y2
a nmi ~dF~+ct22m2		+ У2 = 0

(1.119) Решение ищем в виде, соответствующем отсут­ ствию свободных колебаний:

y l(t)=ymcosQt; y2(t) =y02cosQt.

После подстановки этих соотношений в (1.119) по­ лучаем систему алгебраических уравнений отно­ сительно у0|иу02:

U \ - a nm £ l2 )у т + a S2m2y 02+ a „ F 0 = 0 ( - а |2ш ,а 2у т + ( 1 - а 22т2П 2) у 02 = 0

Получающиеся выражения дляу01 иу02громозд­ ки и здесь не приводятся. Практический интерес представляет анализ амплитуд колебаний в зави­ симости от частоты вынуждающей силы Q, пред­ ставленный на рис. 1.46. Видно, что система име­ ет два резонансных режима, соответствующих

Рис. 1.47. Колебания упругой системы с п степенями свободы

совпадению частоты вынуждающей силы с каждой из собственных частот. Таким образом, главное от­ личие вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы от систем с одной степенью свободы состоит в наличии двух, (а не одного) ре­ зонансных режимов.

Рассмотрим теперь колебания упругой системы сп сосредоточенными массами (см. рис. 1.47). На каждую из этих масс действует сила инерции. Пе­ ремещение 1-й массы по аналогии с выражением для двухмассовой системы (1.113) может быть представлено в виде:

у,= anF , + аЛ + - + а/Л > ' = 1

Составляя выражения прогиба для всех п масс, придем к системе однородных уравнений, анало­ гичной (1.116), которую удобно записать в матрич­ ной форме:

(рг [суй ] - [£]) {у0} = о

(1.120)

где [Е] - единичная матрица порядка п\ {у0} - вектор амплитудных прогибов.

46

Глава L Основы анализа точностной надежности двигателей

Рассмотрим собственные частоты и формы ко­ лебаний на примере стержня постоянного попереч­ ного сечения. При колебаниях стержня с одной из собственных частот /?, его прогибы в некоторой произвольной точке изменяются во времени по гар­ моническому закону:

y(x,t) =^-Ar(jc)*cos (pt + cp)

(1.128)

где Х(х) - неизвестная функция координаты, задающая распределение амплитуд коле­ баний по длине стержня;

А- коэффициент, определяется начальными условиями,

Ф- фазовый угол, определяется начальнымиусловиями

Подставляя (1.128) в (1.127) получаем уравнение для неизвестной функции Х(х):

дАХ	р 2	v .
_ -	; Н	= о	(1Л29)

Решение этого уравнения позволяет определить неизвестную функцию Х(х), если заданы гранич­ ные условия.

Рассмотрим решение на примере стержня, сво­ бодно опертого по концам. В этом случае уравне­ ние (1.129) дополняется граничными условиями равенства нулю перемещений и изгибающих мо­ ментов на концах стержня при х = 0 и х = L. Ра­ венство нулю изгибающих моментов в соответ­ ствии с (1.125) сводится к равенству нулю вторых производных перемещения на концах стержня:

y(0)=y(L) = 0,

(1.130)

д2у ( 0)	д2у (Ь )
дх2	дх2

Этим условиям и уравнению (1.129) соответству­ ет семейство функций (вывод опускаем, можно проверить подстановкой):

Xk(x) = sm(kKx/L),k= 1,2,3...

(1.131)

Подставляя в (1.129) получаем, что каждому значе­ нию к соответствует своя собственная частота:

	_ к 2п 2	[ЕГ~
Рк	2 Г	м p F ” >*= 1’ 2>3-	О -132)

Т	_ 2 п	_ 21) ГрF
*	р к	пк2 у £ 7	(1ЛЗЗ>

Отсюда видно, что система с распределенной массой имеет бесконечное количество собственных частот и форм колебаний; каждой собственной час­ тоте соответствует своя форма. Спектр собственных частот представляет собой бесконечный дискретный ряд значений. Несколько низших собственных форм колебаний рассматриваемого стержня приведены на рис. 1.49 (цифрами обозначены номера соответству­ ющих собственных частот).

Анализ собственных частот и форм колебаний стержней с другими граничными условиями, а так­ же стержней переменного сечения можно найти, например, в [4].

Подстановка (1.131) в (1.128) дает бесконечное множество частных решений уравнения колебаний (1.127):

Ук(х, 0 = АкХк[х) cos (pkt + фА.), к = 1, 2, 3...

Путем сложения частных решений можно предста­ вить любые поперечные колебания стержня:

00

у(х,0 = YsAkX k'(x)cos(pkt +срА.)

*=!

(1.134)

Знание собственных форм колебаний позволя­ ет определить распределение напряжений в теле в момент максимального отклонения от положения равновесия и, благодаря этому, определить опас­ ные точки и сечения при резонансных колебаниях по той или иной форме.

Можно показать, что если на стержень с распре­ деленной массой действует нагрузка, изменяющая­ ся во времени по гармоническому закону с часто­ той Q, система может иметь бесконечное число резонансных режимов при совпадении этой часто­ ты с любой из собственных частот. Условие резо­ нанса имеет вид:

Соответствующий этой частоте период колебаний равен:

Рис. 1.49. Собственные формы колебаний свободно

опертого стержня

48