книги / Статистические методы в строительной механике

реальных тел, теории накопления повреждений в конструкциях при случайных перегрузках, теории сейсмостойкости сооруже­ ний и др. Вместе с тем имеются области, например норма­ тивные расчеты сооружений, где статистические методы могут играть лишь роль вспомогательного средства исследования. Здесь статистический и детерминистический подходы могут успешно сосуществовать, взаимно дополняя друг друга. Пере­ оценка роли статистических методов для этих областей может принести лишь вред.

Напротив, было бы трудно ожидать серьезной (конкуренции со стороны детерминистических методов в таких вопросах, как, окажем, теория хрупкого и усталостного разрушения. Здесь случайная природа явления — его характерная черта. Правиль­ ное понимание роли и возможностей вероятностных методов в различных вопросах строительной механики является основой для их успешного применения.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

1.	Понятие вероятности
В основе теории	вероятностей — математической науки,

изучающей закономерности случайных явлений, лежит понятие вероятности события. Будем называть событием 'качественный или 'количественный результат опыта, осуществляемого при вполне определенных условиях. В качестве примера возьмем обычное испытание стандартного образца на растяжение. Здесь роль события может играть тот факт, что та или иная механи­ ческая характеристика оказывается лежащей в определенном интервале (например, предел текучести стали — в интервале 24 кн/см2< R r-<26 кн/см2). Событие называется достоверным, если оно неизбежно происходит при данном комплексе условий, и невозможным, если оно .при этих условиях заведомо про­ изойти не может. Событие, которое при данном комплексе ус­ ловий может произойти, а может и не произойти, называется

случайным событием.

Констатация того, что данное событие является случайным, само по себе представляет ограниченный познавательный ин­ терес. Так, при испытании образца из стали марки Ст. 3 предел

текучести может		лежать как	в интервале	24 кн/см2 RT<Ç
26 кн/см2,	так	и в интервале	34 кн/см2	36 кн/см2.
Оба события	являются случайными, однако			возможность их

реализации, очевидно, неодинакова. Объективной математиче­ ской оценкой возможности реализации случайного события яв­ ляется его вероятность.

Существует несколько определений математической вероят­ ности. Наиболее раннее, классическое определение сводит по­ нятие вероятности к более простому понятию ранновозможности. Его .появление было тесно связано с теорией азартных игр. Если игральная кость представляет собой вполне правиль-

ный и однородный «уб, то вероятность выпадения определен­ ного количества очков, например шестерни, равна 1/в. Вероят­ ность вынуть туза из хорошо перемешанной колоды, содержа­ щей 52 .карты, равна, очевидно, V52. Хорошее перемешивание карт в этом случае обеспечивает равновозможяость всех вари­ антов. В сложных задачах классическое определение вероят­ ности оказывается недостаточным и заменяется статистическим определением.

Для того чтобы выявить на опыте закономерности случай­ ных явлений, необходимо многократное повторение опыта при одних и тех же условиях, т. е. нужно, чтобы явление было мас­ совым. Пусть па — количество опытов, в которых наблюдается событие А, п — общее количество опытов. Отношение па In на­ зывается частотой события А. Если мы будем увеличивать об­ щее число .опытов п, то обнаружим, что частота события при­ ближается к некоторому постоянному значению, вокруг кото-- рого происходят колебания с амплитудой тем меньшей, чем больше общее число опытов. Для тех опытов, где применимо классическое определение вероятности, значение, около кото­ рого колеблется эмпирическая частота, оказывается равным ве­ роятности данного события. Поэтому значение частоты события при достаточно большом числе опытов может быть принято за приближенную меру вероятности и для тех явлений, к которым классическое определение вероятности непригодно. То обстоя­ тельство, что с увеличением числа наблюдений эмпирические характеристики приближаются к некоторым объективным ха­ рактеристикам данного случайного явления, составляет содер­ жание весьма общего .принципа, носящего название закона больших чисел. Именно на закон больших чисел опирается использование теории вероятностей и математической стати­ стики для изучения реального мира.

Современная теория вероятностей— аксиоматичеокая нау­ ка. Она основана на системе аксиом, из которых чисто дедук­ тивным путем выводятся дальнейшие результаты. Определение вероятности как таковое может и не входить в теорию вероят­ ностей, хотя оно указывает пути экспериментального .нахожде­ ния вероятностей и устанавливает связь теории с практиче­ скими приложениями. При изложении основных положений теории вероятностей мы будем исходить из статистического определения, требуя, чтобы теоретические вероятности преоб­ разовывались .по тем же правилам и обладали теми же основ­ ными свойствами, что и соответствующие эмпирические ча­ стоты. В дальнейшем, большей частью без доказательства, из­ лагаются некоторые начальные сведения из теории вероятно­ стей, необходимые для -понимания специальных глав книги. Более подробные сведения можно получить из руководств по теории вероятностей и математической статистике [37, 43, 54, 66, 85].

2. Некоторые основные положения теории вероятностей

Вероятность 'События А будем обозначать через Р(Л ). За­ мечая, что число опытов па, в которых наблюдается событие Л, лежит в пределах 0< Д 4< Х придем « выводу:

0 < Р ( Л ) < 1 .

При этом нижняя граница достигается для невозможного со­ бытия, а верхняя — для достоверного события.

Рассмотрим два несовместимых события А и В, т. е. такие события, которые заведомо не могут одновременно появиться в результате опыта. Найдем вероятность того, что произойдет

или событие А, или событие В. Если	при повторении опыта
п раз события А и В появились па и пв	раз, то частота события

А+В, состоящего в появлении или события А, или события В, очевидно, будет

па + пв	_	па	. пв
п	~~	п	п *

Потребовав, чтобы вероятности подчинялись тагам же со­ отношениям, что и соответствующие частоты, придем к теоре­ ме сложения вероятностей:

Р(Л + В) = Р(Л) + />(В).

(1.1)

Эта теорема легко обобщается на случай любого числа не­ совместимых событий.

Рассмотрим теперь два события Л и В, из которых событие

А реализуется только в том случае, если		произошло	событие В.
Пусть	п а в — число совместных появлений	событий Л и В, тог­
да при	сделанной оговорке п а в = п а .	Составляя	очевидное

тождество для эмпирических частот

пАВ ПА «в

япв п

приходим к выводу, что ему соответствует соотношение для ве­ роятностей

	Р(АВ) = Р(А\В)Р(В).		(1.2)
Здесь	Я (ЛВ ) — вероятность одновременного	появления	собы­
тий Л	и В, Р (Л |в )— вероятность появления	события	Л при

условии, что произойдет событие В (условная вероятность).

Если события Л и В являются независимыми, т. е. если по­ явление одного из них не зависит от появления другого, го

Р(А\В) = Р(Л ), и формула (1.2) принимает вид
Р(АВ) = Р(А)Р(В).	(1.3)

Эта формула выражает теорему умножения вероятностей для независимых событий: вероятность совместного появления

двух лезависимых событий равна произведению вероятностей

этих событий.			любого числа	неза­
Формула (1.3) обобщается на случай
висимых событий Ль Л2,		Ал
Я (А Л	. Лл) =	Я (А )Р (А ).	• Я(Л„).	(1.4)

Заметим, что при аксиоматическом построении теории ве­ роятностей формула (1.4) принимается за определение незави­

симости событий Ль А2,			Ап, в приложениях, однако, неза­
висимость	событий	обычно	устанавливается		из	существа за­
дачи.	имеется	п несовместимых событий В], Вг,					. , . В п
Пусть
с вероятностями Р(В\), Я(Вг),				Д(ВЯ)	и пусть		Р(А\В\),
Я(Л;В2)»	Р(А\В,,) — условные			вероятности		осуществле­

ния события Л. Используя формулы (1.1) и (1 -2), легко полу­ чим формулу полной вероятности

P(A) = ^ i P(A\B,)p (Bt).

(1.5)

3. Примеры

Приведем несколько элементарных примеров на примене­ ние только что .полученных формул.

Допустим, что имеются три одинаковые урны, из которых первая содержит один черный и три белых шара, вторая — два черных и два белых, а третья — три черных и один белый шар. Урны перемешиваются, после чего из одной из них наудачу вы­

бирается один шар. Канава вероятность	того,	что вынутый
шар — черный?	одна	из урн, равна
Вероятность того, что будет выбрана

7з, а условные вероятности того, что из данной урны будет вы­ нут черный шар, равны соответственно XU, */2 и 3Л* Отсюда по

формулам (1.1) и (1.2)	иокомая вероятность .будет
_1_ J ,	_l_ J _ , _3_ _1_ = _1_
4 ‘ 3 + 2 * 3 + 4 * 3		2

(впрочем, при данных условиях задачи ответ можно было дать сразу).

Изменим условия задачи. Допустим, что из трех урн выби­ раются две, из которых вынимается по шару. Найдем вероят­ ность того, что оба вынутых шара — черные.

Выбор двух черных шаров из двух урн — два независимых события, которые возможны в трех несовместимых комбина­ циях с вероятностями

- 1	'	Л	_ L _ J _
4		2	* 3	24 ’

Этот результат можно получить иначе, учитывая, что дч пред­ ставляет собой вероятность непоявления события А ни в одном. из п независимых испытаний.

Иллюстрацией « только что рассмотренной задаче может служить, например, вычисление вероятности раз;рушения соору­ жения, находящегося в сейсмическом районе и возведенного без надлежащих антисейсмических мер. Не будем учитывать изменения прочности сооружения со временем вследствие из­ носа, накопления остаточных деформаций и других аналогич­ ных факторов (лишь при этом условии схема независимых ис­ пытаний оказывается здесь применимой). Допустим, что «акимлибо путем найдена вероятность разрушения сооружения в те­

чение первого	года его эксплуатации	и она оказалась рав­
ной 0,1. Тогда	вероятность того, что	сооружение разрушится

в течение первых двух лет, равна 0,1+0,1 - 0,9=0,19, в течение первых трех лет — 0,1 +0,1 • 0,9+0,1 *0,92=0,271 и т. д. Вероят­ ность разрушения в течение первых десяти лет оказывается равной 1—0,9'°=0,647, т. е. еще достаточно далека от единицы.

4. Случайные величины и характеристики их распределения

Допустим, что случайное событие состоит в измерении ве­ личины X, которая принимает различные значения х, лежащие в интервале— х^со . Такая величина называется случай•> ной величиной1. Вероятностные свойства случайной величины ~Х‘ могут быть охарактеризованы при помощи функции распреде- левия F(x), равной вероятности обнаружить значение Х < х :

P (X < x) = F(x).

По самому определению функция F(x) является неубывающей функцией, причем F{— ос) =0, F(со) = 1.

Если	случайная	величина	X может принимать лишь ди­
скретные	значения	х\, Хг,	, то распределение называется

дискретным. Функция распределения в этом случае является ступенчатой (рис. 1); она возрастает окачками тцри тех значе­ ниях х, которые являются возможными значениями случайной величины X. Примером диокрегного распределения может слу­ жить распределение числа пг наступления события в последова­ тельности п независимых испытаний. Число пг может принимать ©се целые значения от нуля до п, причем вероятность обнару­ жить пг появлений определяется по формуле (1.6). Отсюда

1 Там, где необходимо различать случайнее, дулн^шры и их ‘возможные значения, случайные величины^ будем Оббзна'чать, как ’правило^ большими буквами латинского алфааита^.а.йСштгеТствующие.^лйаможняе значения — малыми буквами.

	при л :< 0,
F(x) = 2 c r	л —т при 0 < л г < я ,	(1.7)
п<х	при X > п.
1

Этот закон распределения называется биномиальным.

Если случайная величина X имеет непрерывное распределе­ ние (.рис. 2), то первая производная от функции распределения вероятностей существует и называется плотностью вероят­ ности р 1х) :

Связь плотности вероятности с вероятностью дается формулой

. .	..	Р ( х < X < х -\- Дх)
р(х) =	lim	— —	-------— - ,
	д* - о		Д*

которая, в частности, указывает на происхождение самого тер­ мина «плотность вероятности».

При помощи функции р{х) вероятность обнаружить вели­ чину X в бесконечном матом интервале х < X < х + dx можно

записать в виде

Р {х < X < х + dx) = р (я) dx,

а вероятность обнаружить ту же величину в конечном «интер­ вале Х\<Х<Х2 — в виде

Р (*1 < X <	хг) =	J р (*) dx.		(1-8)
Вероятность обнаружить	величину X		во всем	интер­
вале— со<;Х^со равна, очевидно,		единице (достоверное		собы­
тие) . Отсюда получаем условие нормировки
СО
§p(x)dx = 1.				(1.9)
—00
В дальнейшем, если это специально не			оговорено,	будем
считать распределение непрерывным.

5.Средние значения, моменты и дисперсия

Вряде задач знание функции распределения или плотно­ сти вероятности не является обязательным; в этих задачах до­

статочно найти 'некоторые числовые характеристики распреде­ ления. Для того чтобы обосноЕать введение этих характеристик, возвратимся к статистическому определению вероятности. До­ пустим, что в -результате п опытов обнаружено, что случайная величина X принимает п.\ раз значение Х\, Щ, раз значение х2 н т. д. Тогда среднее арифметичеокое значение случайной вели­ чины X будет1

m
2 Xktlk	m
A=1	= 2
п
	k=s\

Бели эмпирические частоты заменить вероятностями Pu

Pz, . . . , Рт, то среднему ариф.мет.ичеокому значению X можно привести в соответствие теоретическую характеристику слу­ чайной величины

Л1(Х) = 2**Р«.		(1-10)
	*=1
называемую математическим	ожиданием -случайной	вели­
чины X. Переходя в п-ределе к	непрерывному распределению,
получим формулу	00
М (Х)=	^xp(x)dx.	(1.11)
—00

(В качестве примера вычислим математическое ожидание числа m появления события в схеме независимых испытаний. Учитывая, что вероятность осуществления события ©первые в m-м испытании равна, очевидно, pqm~l , по формуле (1.10) най­ дем

Л1( т ) = V mpqm~x= ^ /л (1 — <7) qm~l . m=l m=l

Сумма этого ряда, как нетрудно показать, равна

М И = Г “	= Т *
1 — Я	Р

Возвращаясь к иллюстративному при-меру, которым закан­ чивается п. 3, видим, что при вероятности разрушения в первый

1 Здесь, как « в дальнейшем, чертой сверху обозначается осреднение яо множеству.

год службы, равной р — 0,1, математическое ожидание срока службы составляет 10 лет.

Согласно закону больших чисел с увеличением числа испы­

таний амлиричеокое среднее значение X приближается к мате­ матическому ожиданию М(Х). При трактовке прикладных во­ просов они зачастую отождествляются, что находит отражение как в терминологии, гак и в обозначениях. Там, где это не мо­ жет привести к недоразумениям, мы также не будем делать различия между характеристиками эмпирического распределе­ ния и их теоретико-вероятностными аналогами и, в частности, вместо обозначения М(Х) будем использовать более компакт­

ное обозначение X.

Рассмотрим теперь произвольную функцию g(X) случайной величины X. Исходя из формулы для среднего арифметиче­

ского значения функции g(X)

пг

получим соответствующую ей формулу

00	(1.12)
« № = f g(x)p(x)d*.

Среднее значение степени Xй называется моментом п-го по рядка случайной величины X:

00

(1.13)

—оо

Момент первого порядка случайной величины является, оче­ видно, просто ее математичеоким ожиданием, а момент второго порядка — ее средним квадратом:

00

Xz — \ х2 р (х) dx.	(1.14)
—00
Средний квадрат отклонения величины X от среднего зна­
чения называется дисперсией и обозначается через D{X):
00
D (X) = (X—X)2 = f (JC— X)2р {x) dx.
Учитывая формулы (1Л1) и (1.14), найдем, что
D (X )= X 2— (X)2.	(U 5 )