книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

	0	0	0	0	0	-А	0	0	0	0	0
	ЬЗ	0	0	0	сЗ	0	-ЬЗ	0	0	0	сЗ
		Ь2 0 -с2 0				0	0	-Ь2 0 -с2 0
			g	0	0	0	0	0	-д	0	0
				2d2	0	0	0	с2	0	d2	0
					2d3	0	-сЗ	0	0	0	d2
						А	0	0	0	0	0
	симметрично						ьз	0	0	0	-сЗ
								Ь2	0	с2	0
									д	0	0
										2d2	0
											2d3
где	Ь2=121хг/г2,			Ь3=121хз/г2,			с2=б1хг/г,			сЗ=61хз/£,
d2=2Ixa# d3=2Ix3f g=GIxi/E.

3.2. ИЗГИБАЕМЫЙ ПЛОСКИЙ ТРЕУГОЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

Сплошная изгибаемая оболочка может моделироваться по­ верхностью из плоских КЭ. В работе [50] приводятся ре­ зультаты исследования оболочки с помощью такой модели, которые свидетельствуют о ее приемлемости. Конечные эле­ менты в оболочке испытывают напряжение как от изгиба, так

Рис. 3.2.1 Мембранные и поперечные обобщенные усилия в треугольном КЭ оболочки.

и от сил в срединной поверхности. Им соответствуют неза­ висимые друг от друга деформации. Предполагая, что дефор­ мации в КЭ калы, можно составить по отдельности матрицы жесткости для обоих напряженных состояний (рис.3.2.1).

Существенным является вопрос о достоверности модели при разбиении оболочки на треугольные КЭ. Исследование оболочек с отверстиями с непостоянной толщиной стенки и из ортотропного материала не вызывает затруднений. Ап­ проксимация перемещений, как правило, осуществляется в локальной системе координат. Можно описать функции формы также и в декартовых координатах [50]. Очень элегантно функции формы описываются для треугольных конечных эле­ ментов в плоскостных координатах (так называемых Ь-коор- динатах). Они имеют то преимущество, что с их помощью

просто и в	замкнутом виде могут быть вычислены	интегралы
по площади	КЭ .
Любая точка внутри треугольника соединяется с его вер­
шинами и площадь треугольника разбивается на три		части A L

(L=i,j,k), причем индекс вершины треугольника должен соответствовать индексу части площади, лежащей напротив этой вершины.

Три безразмерных параметра:
а1-=АL/А	(3.2.1)

однозначно определяют точку Р(х 1,х2 ) и называются плос­ костными координатами (рис. 3.2.2). Они взаимосвязаны

Рис.3.2.2. Плоскостные координаты для описания функций формы в треугольном КЭ.

друг с другом: ai+aj+a]c = 1 ,в то время как в декартовых

координатах положение точки определяется двумя координа­ тами. Из рис. 3.2.2 следует, что

			b.(c+dh)-Ь.с
				-L	JL
	dai = — ЕГЛГ------
где dh =	h^da^.			х	1
Учитывая,'	что dA =	h.da.b.da. = 2Ada.da.,							вычислим сле-
		1	х	л.	j	x		з
дующий интеграл (рис. 3.2 .2):
		1р	1-А а.
				х
lmn"	a‘!'aIlaPdA=2A	а Н		т, 1-a^-aj )ndaj jda^.						(3.2.2)
	1 3 к	П		aj(
А		(		0
Внутренний интеграл вычисляется по частям и равен:
	а	.n,			mini			. ,1
	m.					а	m+n+1
	1= х (а-х) dx = ---- ;—

(ш+n+l)I

О

где использованы замены переменных: а=1-а^, х==aj .

Вычисляя интеграл (3.2.2) по частям получим:

		* min!		1 .л	.m+n+1 ,
			а.(1-а.)			da.=
	^ ш Г 2* (m+n+1)1			i v	х'	х
	mini	11(ш+n+l)!			mlnil!		(3.2.3)
	=2А------------------- =2А--------
	(m+n+1)1	(m+n+1+2 )!			(m+n+1+2 )!
Из (3.2.3) видно,		что	значение		интеграла зависит только
от площади треугольника и не зависит от его формы.
Между декартовыми и плоскостными координатами суще-
ствуют	следующие зависимости:
	1 1	1	1				(3.2.4)
	X “xiai+xjaj+xjc(1-a^-aj ),
	х2=х2а^+х2а^+х^(1-a^-aj),						(3.2.5)
3(	)/aai=(xf-x^)a(		)/ а х Ч ^ - х ^ а *			)/ax2,	(3.2.6)
Ц	)/aaj=(x^-xJ)a(		j/ax^x^-x^af			)/Эх2	(3.2.7)

Формулы (3.2.6),(3,2 .7) можно записать в матричной форме:

Da = JDx ' Dx = J 1ра

(3.2.8)

Здесь J - матрица Якоби:

где bi=-(Xj-x^)/(2A), с1=(х^-х^)/(2А)г (индексы i,j,k

переставляются циклически).

Вторые производные в декартовых координатах выражаются через производные в плоскостных координатах следующим

	образок:
	Dx (Dx )T = J"lDa (Da )T(J”1)T '				(3.2.9)
	или
	"а2( )/э(хх)2'	С1	2с 1°2	с2	Э2( ) / д г З
	э2( ) / в х 1з х 2				а2( )/аа.аа.
		Ь1С1 Ь1С2+Ь2°1 Ь2С2
	а2( )/а(х2)2				_Э2( )/ва?
		- Ь1	2Ь1Ь2	Ь2-

При деформации оболочки как мембраны перемещения в плос­ кости КЭ аппроксимируются линейными зависимостями:

{ u \ u 2} = Gsvs ,

(3.2.10)

G =	ai	0	aj	0	»k	О
S	О	а^ 0		а^	0	ак
Деформация оболочки	равна:
Е = D G v = D G v						(3.2.11)
— S	S S	Б	-- S 6
где		О
		(	),2	•
		(	),1 -

(3.2.12)

} =НАV V p '

Гз з 3 2 2 2 2 2 2\

\У ak,aiaj'аjakfakai'aiaj'ajak,akai|r

N± 0			0	N. 0		0	N. 0	0
	0 » 1,2		0	Э			k
GP				0 Hj,2 0			° \ , 2	0	•
	0 0 -IT 1 0 0 -N_. x 0 0 -Nk 1 -
Здесь функции	формы			имеют		вид:
N±-a .- (a±a2-aJaj)+ (aka?-a£a.),									(3.2.13)
Nj =aj- (		ak-ajak )+ (a^j-a?a^),							(3.2.14)
..	/	2	2 ...			2	2 .		(3.2.15)
N, =a, - (a, a .-a, a .)+ (a .a. -a .a. ).
k k ' k i			k i' ' j k j k'
деформация		равна:
	e		= D	6 v	p	,			(3.2.16)
	-p			P p
где				- 2 ( ) 11
		DР
				“2( ) 22
				-2Z(		>f U J

Для описания зависимости между приращениями нагрузки и упругих деформаций воспользуемся законом Гука. Считаем, что свойства материала ортотропны и неизменны по всему

КЭ. Угол между главной осью ортотропии и осью х1 локаль­

ной	координатной системы обозначим	« (рис. 3.2.3). Пусть
	- вектор главных напряжений, а	сг - вектор напряже­
аг

ний в локальной координатной системе КЭ. Преобразование одного вектора в другой описывается формулой:

					<r =T<r		/	(3.2.17),
					где
					(£	* т	Г *	*
						) =
					Ы	Iн
					(£)Т =		{е 11'е22		J V 2 ) ,
Рис. 3.2.3. Главные			оси
ортотропии	в КЭ.
	c o s 2ос		s i n		ас	( / 2 ) c o s a		since
Т =	. 2		c o s	2	ос	-(v^ Jcosoe		sinot
	sin	ос
-(V ^Jcosoc		sinoc (v'J) cosot			since		c o s Оo t-sin 2a

Множители в скобках выбираются из условия ортогональ­ ности матрицы Т. Вследствие ортогональности матрицы Т

справедлива формула:

		(Г =	ТТ£*		(3.2.18)
В силу инвариантности работы справедливы равенства:
е	■р	=	Че		j
	а;		(е )а = (е) Тег
Аналогичног справедливы			следующие		формулы:
с	-	Т е,	е =	Тте *	(3.2.19)

В координатной системе, оси которой совпадают с главными осями ортотропии, зависимость между напряжениями и дефор­ мациями имеет вид:

** *

<г “ С е ,

(3.2.20)

где

	L	~V12^2	о
(С* )	1/E-		о
	-1	I E
	'V2l/El	/ 2

1/(2G)

По	формуле Максвелла v\2^2~v21^1					и'	следователъно,
V21E2=V12E1* МатРиЦа			с	равна:
	1	'	E i	V12E2		0
						0	(3.2.21)
		V21E1		E2	2c
	V12V21		0	0		(3,3)
где	с*(3,3)	= / 5 а	< 1 - А л		1>/2 *

Из формулы (3.2.20) с учетом формул (3.2.17) и (3.2.19)

получим	следующие зависимости:
	*	, а =	т *
	Тег = С Те		Т С Те = Се
Из этих	формул имеем:	ТТС *т
	С		(3.2.22)

Компоненты вектора е являются компонентами вектора дефор

маций по направлениям главных осей ортотропии.

Из формул (3.2.11) и (3.2.16) следуют матрицы жестко­ сти отдельно для мембранных усилий и моментов в пластине для плоского КЗ. При этом матрица упругости С учитывает ортотропные свойства материала с любой ориентацией.

Результирующая матрица жесткости в локальной коорди­ натной системе КЗ образуется непосредственным сложением

матриц	жесткостей мембраны	и	изгибаемой	пластины
(рис.	3.2.4).	(МЖ)	для каждого	КЗ выби­
При	расчете матриц жесткости

рается своя локальная система, координат.

Перед суммированием матрицы жесткостей отдельных КЗ для формирования матрицы жесткости структуры следует преобразовать в глобальную систему координат. Преобра­

зование матрицы жесткости КЗ							имеет вид:
где			ТтКхТ				,			(3.2.23)
	cos(x*,z*)		/ 1		,z	2 V		/ 1	,z	3,
			cos(x				)	cos(x		)
Т -	cos(x2	,z1)	cos(x2,z2 )					cos(x2	,z3 )
	, 3	1,	cos(x	3		2	)	/ 3	3,
	cos(x	,z )			,z			cos(x	,z	)

Кs+Кр=К

(ll)s	<12>s	(13>s|	(11,p	(12)p j (13)p
(21)s	(22)s	(23)s | +	<2 1 >P	(22)p j	<23)p
<3 1 >s	(32)s	(33 )s i	(3i)p	(32)p |	(33)p

i

^11 ^s	0	0	(1 2 >S	0	0	<1 3 >s	0	0
0	(11>p	0	0	( 1 2 ) р	0	0	( 1 3 ) p	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0
(21)s	0	0	(22)s	0	0	(23)s	0	0
0	<2 1 >p	0	0	(22 )p	0	0	<2 3 >p	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0
(3 1 )s	0	0	(32)s	6	0	^33U	0	0
0	(31)p	0	0	(32)p	0	0	( 3 3 ) p	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0

Рис. 3.2.4. Схема формирования глобальной матрицы жесткости для треугольного КЭ.

3.3. ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ОБЪЕМНЫЙ КЭ

Для изопараметрического конечного элемента - гексаэдра геометрия КЭ и перемещения в нем описываются одинаковыми

полиномами.		Локальная система	координат	КЭ	является
трех-	, двухили однопараметрической в			зависимости от
типа КЭ.		алгоритм формирования	МЖ является		одинаковым
Так	как

для трех-, двухили однопараметрического КЭ, целесооб­ разно записать сначала уравнения для трехпараметрического КЭ. Эти уравнения будут содержать неявные связи для двух- и однопараметрических КЭ, которые могут быть раскрыты, если выбрать соответствующие координатные оси и аппрокси­ мирующие функции.

Рис. 3.3.1. Глобальная и локальная координатные системы объемного КЭ.

Приведен вывод для С° - элемента, вектор деформаций которого содержит три компоненты перемещения. Аппроксинации поля перемещений и координат в общем случае трехпараметрического КЭ записываются следующим образом (рис.3.3.1):

u	=	G f X ^ V ,	(3.3.1)
z	=	G(X^)Zif	(3.3.2)
G(xj) = flM1(xj),INj(**),...,IN^ (*j )l			(3.3.3)

Компоненты вектора перемещений и и компоненты вектора координат точки z описываются в глобальной декартовой системе координат. Здесь компоненты векторов v и z.

являются перемещениями узлов КЗ и их координатами;	Iх
	G(xJ)
- матрица функций формы для перемещений • и геометрии	КЗ,

описываемых в локальных координатах х-* ; I - единичная матрица 3x3; п -число узлов в КЗ.

Соответствие между индексом i в N^(x-5) и комбинацией

индексов р, q, г следует из рис. 3.3.2. Компоненты векто­ ра перемещений и вектора координат равны:

,,k'	lmn	к'
	v		(3.3.4)
u	=L v (vpqr)N (pqr)
	p q r
	lmn	к ' „	. j .
:' г1
	^	Z (pqr)N (pqr)	(3.3.5)
	pqr

где к'=1,2,3 - обозначают направления координатных осей в

глобальной	декартовой	системе		координат;		1+ 1,		т+1, п+1
-число точек интерполяции вдоль				осей	локальной			системы
координат;	к'		перемещение			в	направлении
	v (pqr )-обозначает
оси zk в точке интерполяции			р+1, q+1,		r+1;		N (pqr)^x"^
-значение функции формы в точке интерполяции							р+1, q+1/
г+1 :
	lmn	1	m	n
	I	- l	l	l

pqr p=0 q=0