ЛЕКЦИЯ 9_16,22.11.11_

функции F( j ) при изменении 0 было равно 2 m/2 раз, где m –

число правых корней характеристического уравнения d(p)( p 1)N 0 или уравнения d(p) 0. При 0 функция F( j ) F( j ) 1 W( j ) и усло-

вие устойчивости имеет такую же формулировку, как для системы без запаз-

дывания. Поэтому для исследования устойчивости замкнутой системы с пе-

редаточной функцией разомкнутой системы (3) необходимо построить ее АФЧХ и применить критерий Найквиста.

Выражение АФЧХ имеет вид:

W(j ) W ( j )e j	|W ( j )|e j( 0( ) ) .	(6)
0	0
Из формулы (6) следует, что при наличии запаздывания вектор W0( j )
поворачивается на угол , не меняя своей длины, что приводит к поворо-

ту АФЧХ по часовой стрелке. Если без учета запаздывания замкнутая систе-

ма устойчива и на частоте среза ср имеет запас устойчивости по фазе З , то система с запаздыванием выходит на границу колебательной устойчивости

при некотором критическом значении кр, если	ср кр З , т.е. при
кр З / ср .

Для АФЧХ W0( j ), представленной на рис. 12, найдем критические значения времени запаздывания по формуле крi i / срi , i 1,3. Тогда со-

11

гласно критерию Найквиста для m 0 замкнутая система будет устойчивой

при 0 кр1, кр2 кр3 и неустойчивой при кр1 кр2 .

5. Интервальный критерий Найквиста.

В качестве обобщения критерия Найквиста рассмотрим систему, у ко-

торой физически реализуемая передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

W(p) W1(p)W2(p),

(7)

где W1(p) – известная физически реализуемая передаточная функция, W2(p)

– передаточная функция, зависящая от некоторых параметров и не имеющая правых полюсов. Причем при некоторых параметрах W2(p) 1. Передаточ-

ную функцию W2(p) также можно считать обратной связью, для охватывае-

мой передаточной функции W1(p). Найдем условия устойчивости замкнутой системы.

При выполнении условия W1(j )W2( j ) 1 или W1(j ) 1/W2( j )

замкнутая система имеет корни характеристического уравнения p j , рас-

положенные на мнимой оси. Заштрихуем мнимую ось p j плоскости кор-

ней (рис. 13) и ее отображение АФЧХ W1( j ) на другой комплексной плос-

кости (рис. 14) так, чтобы при возрастании частоты от до эта штриховка была слева. Учитывая симметричность АФЧХ W1( j ) отно-

сительно вещественной оси, можно рассматривать годограф W1( j ),

12

построенный при изменении от 0 до . При этом точки p в левой (пра-

вой) полуплоскости преобразуются в точки, лежащие слева (справа) от АФЧХ W1( j ).

Пусть при некоторых значениях параметров выполняется условие

W2(p) 1. Тогда разомкнутая система согласно формуле (2) имеет с учетом знака N (m l)/2 охватов точки ( 1, j0), где m количество правых полю-

сов передаточной функции W1(p), l количество правых корней характери-

стического уравнения замкнутой системы: 1 W1(p) 0. Отсюда следует, что замкнутая система имеет l m 2N правых корней характеристического

уравнения.

При измененных параметрах передаточной функции W2(p) число пра-

вых полюсов разомкнутой системы m останется прежним. Построим АФЧХ

1/W2( j ). Если она не пересекается с АФЧХ W1( j ) при любых допусти-

мых параметрах передаточной функции W2(p), то замкнутая система по-

прежнему имеет l правых корней, поскольку изменение правых корней свя-

зано с переходом некоторых корней через мнимую ось, которым в свою оче-

редь соответствуют точки пересечения АФЧХ W1( j ) и АФЧХ 1/W2( j ).

Найдем указанные точки пересечения (на рис. 14 точки B и C). Если пересечение осуществляется с незаштрихованной (с заштрихованной) сторо-

ны, то число правых корней замкнутой системы с передаточной функцией (7)

уменьшается (увеличивается): на один в	точках пересечения W1(j0) и
W1( j ); на два в точке пересечения W1( j )	при 0 (рис. 13). При этом

участкам АФЧХ 1/W2( j ), для которых суммарное уменьшение правых корней равно l, соответствуют значения параметров передаточной функции

W2(p), обеспечивающих устойчивость замкнутой системы.

Рассмотрим также частный случай, когда		W2(p) k . Пусть	АФЧХ
W1( j )	имеет вид рис. 15 и значение m 0. При	k 1 число охватов точки
( 1, j0)	равно N 1, поэтому замкнутая система неустойчивая и		имеет

13

l 0 2( 1) 2 правых корня.

При уменьшении коэффициента k точка 1/k пересекает АФЧХ

W1( j ) в точке B с незаштрихованной стороны при 0. Следовательно,

два правых корня характеристического уравнения 1 W(p) 0 переходят в левую полуплоскость.

При дальнейшем уменьшении коэффициента k пересечение происхо-

дит в точке A с заштрихованной стороны при 0 и, следовательно, два левых корня переходят в правую полуплоскость. Затем вновь после пересе-

чения в точке C два правых корня переходят в левую полуплоскость.

При увеличении коэффициента k и изменении его скачком от до

точка 1/k пересекает АФЧХ W1( j ) в точке O с незаштрихованной стороны при . Следовательно, один корень переходит в левую полу-

плоскость. При дальнейшем увеличении коэффициента k пересечение про-

исходит в точке D с незаштрихованной стороны при 0, т.е. еще один ко-

рень переходит в левую полуплоскость.

Тем самым, область устойчивости замкнутой системы по коэффициен-

ту k определяется интервалами k4 k 0, 0 k k1, k2 k k3 , лежащими со стороны штриховки.

С учетом сказанного можно сформулировать интервальный критерий

устойчивости Найквиста.

14

Для устойчивости замкнутой системы с отрицательной обратной свя-

зью W2(p) необходимо и достаточно, чтобы параметры передаточной функ-

ции W2(p) соответствовали интервалам АФЧХ 1/W2( j )со стороны внешней штриховки АФЧХ W1( j ), при переходе на которые из точки

( 1, j0) суммарное уменьшение правых корней равнялось l, где l – число правых корней характеристического уравнения замкнутой системы при

W2(p) 1.

Отметим, что если замкнутая система неустойчивая при любом ко-

эффициенте усиления, то такая система называется структурно неустойчи-

вой. На рис. 6 приведен пример структурно неустойчивой системы.

Пример 1. Для передаточной функции разомкнутой системы

W(p)

k

(9)

p(T1p 1)(T2 p 1)

найти условие устойчивости замкнутой системы по параметру T2 0 для за-

данных значений k 3, T1

1с.

Передаточную функцию W(p) представим в виде произведения (7), где

W (p)

k

,

W (p)

1

.

1

p(T1p 1)

2

T2 p 1

Тогда в уравнении (7) будем иметь

W1

(j )

k

,

2

j

1/W2( j ) 1 jT2 .

Обозначая x T2 ,

построим график функции 1 jx правой части

при изменении x от 0 до . Изменяя от 0

до , построим график функ-

ции W1( j ) левой части. На рис. 16 приведены указанные графики, постро-

енные с помощью Script-файла:

k=3;T1=1;W1=tf([k],[T1 1 0]); nyquist(W1,{0.5,25});hold on

x=0:0.1:25; W2=-1-i*x; u=real(W2); v=imag(W2);plot(u,v)

15

По АФЧХ W1( j ) найдем частоту 1 1,41 рад/с, при которой проис-

ходит пересечение графиков.

Поскольку замкнутая система при W2(p) 1 устойчивая, то значение l 0. Поэтому область устойчивости определяется интервалом AB, распо-

ложенным со стороны штриховки.

Полагая W1(j 1) a jb, где a 1, b 0,708, потребуем выполне-

ния неравенства T2 1 b, при котором интервал AB располагается со сто-

роны штриховки. Отсюда найдем T2 b/ 1 0,5.

Сравним полученный результат с критерием Гурвица, согласно кото-

рому условие устойчивости замкнутой системы с передаточной функцией (9)

имеет вид: T2 T1 /(T1k 1) 0,5.

Таким образом, интервальный критерий Найквиста в отличие от

обычного критерия позволяет определять области устойчивости по пара-

метрам системы.

Следует отметить, что рассмотренный способ в отличие от критерия Гурвица можно использовать для систем высокой размерности и с учетом за-

паздывания.

16

Вопросы для самопроверки

1.В чем отличие критерия Найквиста от критерия Михайлова?

2.В каком диапазоне частот требуется строить АФЧХ разомкнутой системы для определения устойчивости замкнутой системы?

3.В каком случае замкнутая система находится на границе устойчивости?

4.Какой смысл имеет частота среза?

5.Как применяется критерий Найквиста для разомкнутой системы, имеющей корни на мнимой оси?

6.В чем заключается правило переходов Цыпкина?

7.Как определяются запасы устойчивости по АФЧХ разомкнутой системы?

8.Как влияет чистое запаздывание на устойчивость замкнутой системы?

9.Какая система называется структурно неустойчивой?

17