РГР_1_2011

				- 21 -
поэтому эпюра идет от нуля. Наклон эпюры положительный и постоян-
ный, что соответствует эпюре перерезывающих сил, которая на первом
участке положительна и постоянна. В точке B приложен сосредоточенный
момент. На его величину в этой точке происходит скачок в сторону сжи-
маемых этим моментом продольных волокон. За точкой B наклон эпюры
моментов начинает меняться, сначала он уменьшается до нуля, а затем
становится отрицательным, образуя абсолютный максимум эпюры момен-
тов в данной задаче, после чего наклон эпюры моментов растет по абсо-
лютной величине, что полностью соответствует эпюре перерезывающих
сил на втором участке. Соответственно постоянной распределенной на-
грузке эпюра моментов оказывается квадратной параболой, выпуклой
вверх по правилу зонтика. Как мы видели, скачок эпюры моментов на
конце балки равен опорному моменту. В результате эпюры полностью
проверены. Пропустить ошибку почти невозможно.
y		M		Рассмотрим по сути ту же задачу, но с
	q		P	закреплением на левом торце (рис. 2.6). Опор-
				ные реакции и в этом случае в начале решения
C	x X2	B	X1 A	задачи на построение эпюр для консольной
				балки лучше не определять, но тогда следует
		x1	x1*	рассматривать равновесие правой части бал-
	x*			ки. На балке получаются снова два участка,
		2		границы которых отмечены буквами A, B, C.
	a		a
				Первым рассматриваем участок AB. Применя-
		Рис. 2.6
				ем метод сечений для точки X1. Отбросив ле-
вую часть балки с неизвестными опорными реакциями, изобразим правую ее
часть на рис. 2.7.

	y				Для произвольной точки X1 следует за-
		M(x) Q(x)		P	дать координату. Для этого может быть ис-
					пользована координата x1, измеренная от точ-
	C	x	X1	A	ки C. Ее, однако, не слишком удобно изобра-
					жать на рисунке, да и соотношения для ВСФ,
		x1	x1*
					записанные с помощью этой координаты, ока-
		2a			зываются несколько более громоздкими, чем
		Рис. 2.7			при использовании другой координаты, обо-
					значенной x1* на рис.2.6 и 2.7. Но чтобы вос-
	пользоваться координатой x* , следует сначала направить неизвестные сило-
					1
	вые факторы в положительную сторону по правилу знаков сопротивления
	материалов. Эти		направления следует задавать для той системы координат,

- 22 -

для которой будут построены эпюры, т.е. для координаты без звездочки, совпадающей по направлению с основной координатой x. Такие направления и показаны на рис. 2.6. (Заметим, что направления сил не зависят от того, ис- пользуется координата x1 или x1* , но зависит направление момента.) Но ко- гда направления всех сил и моментов указаны, результаты определения не- известных получатся одинаковыми для любых систем координат, что и по- зволяет использовать координату x1* . Записав уравнения равновесия части балки на рис. 2.7, получаем уравнения

			åPyi = 0 = P + Q(x) ,				(2.9)
			i	1 j = 0 = Px1* − M (x) ,
			åM X				(2.10)
			j
откуда для участка AB:
			Q(x) = P ,				(2.11)
			M (x) = Px* .				(2.12)
				1
Если воспользоваться для этого участка координатой x1, то в данной
задаче соотношение для перерезывающей силы не изменится: оно не зависит
от координаты точки X1. Формула для момента записывается по-другому
			åM X	1 j = 0 = P(2a − x1) − M (x) ,			(2.13)
			j
поэтому			M (x) = P(2a − x1) .				(2.14)
Q(x)				По форме соотношение отличается от
	q	M		(2.12),	но числовые	значения	момента не
M(x)			P	изменятся, поскольку из рис. 2.6 и 2.7 оче-
				видно, что x* = 2a − x .
	X2	B	A		1	1
				Для участка BC также можно исполь-
		*	a	зовать координату x2* , направленную спра-
		x2		ва налево. С ее помощью записываем урав-
	Рис. 2.8			нения	равновесия	правой	части	бал-
				ки (рис. 2.8) подобно тому, как это было
сделано для части балки на рис. 2.3

åPyi = 0 = P − q(x2* − a) + Q(x),	(2.15)
i

	åM X 2 j = 0 = Px2* + M − q	(x* − a)2	− M (x) ,
		2		(2.16)
		2
	j

y	q	M		P
C	x	B		A
	a			a
Эпюра Q(x), кН
7
C			B	A
				1
				x*
				2Э
Эпюра M(x), кН·м
	4,125		4
			2
C		B		A
2
		Рис. 2.9

- 23 -

из которых находим выражения для внут-

ренних силовых факторов на втором участке

Q(x) = -P + q(x2* - a) ,			(2.17)
M (x) = Px2* + M - q	(x* - a)2	,	(2.18)
	2
	2

Дальнейшее построение эпюр и их проверка принципиально не отличаются от случая консольной балки с защемлением на правом торце. Получающиеся эпюры представлены на рис. 2.9.

Отметим еще, что величины внутрен- них силовых факторов на отдельных участ-

ках Q(x), M(x) (2.9, 2.10, 2.15, 2.16) мы в дан-

ном примере записывали без индексов участ- ка при координате x. Это оправдано для бал- ки, поскольку правило знаков для ВСФ вы- брано таким, что получающиеся графики (эпюры) представляют собой именно графи- ки зависимости ВСФ от общей для всей бал- ки координаты x, а не локальных координат отдельных участков x1* и x2* .

3. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ДЛЯ БАЛОК

НА ДВУХ ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ

Вдвухопорных балках, прежде чем определять перерезывающие силы

иизгибающие моменты в произвольном сечении Qy (x) и M z (x) , необходи-

мо найти опорные реакции из уравнения равновесия балки как абсолютно твердого тела методами теоретической механики. Эти уравнения для балки, представленной на рис. 3.1, имеют вид

æ	L ö		- 2qL2		1		2	L + 2qL2
å M A = RB 2L + qLç L +		÷		-		qL			= 0 ,
					2		3
è	2 ø

å M B = -RA 2L -	1	qL2	- 2qL2 + 3qL2 +	1	æ	L ö
					qLç L +		÷	= 0 .
	2			2
					è	3 ø

- 24 -

y

x

				Рис. 3.1
	Откуда
	RB = −		7	qL , RA = 25 qL .
		12
					12
	Если в задаче дано:		q =1кН ,		L =1м ; тогда RB = −0,583 кН ,
				м
	RA = 2,083 кН . Дальнейшие результаты,				записанные в данной задаче в бук-

венных выражениях, также легко можно переписать в реальных величинах. Следует обратить внимание на то, что минимальная точность представления технического результата: три значащие (отличные от нуля) цифры. По двум значащим цифрам зачастую невозможно оценить правильность результата.

Для проверки правильности определения опорных реакций составим уравнение проекции всех сил, приложенных к балке, на ось y

-25 -

åPyi = 0 , RA + RB - 2qL - q L2 + qL = 0,

25 qL -

7

qL -

3 qL = 0,

0≡0.

12

12

2

Для построения эпюр

Qy (x) и

M z (x)

выделим на балке участки и на каждом из них

y

запишем уравнения равновесия.

x

Участок I.

0 £ x 1£ L (рис. 3.2).

åPyi = −Qy (x1) − P = 0 , Qy (x 1) = -P = -2qL ;

Рис. 3.2

åM X 1 = M z (x1) + Px1= 0,

y

M z (x 1) = -Px 1= -2qLx 1.

x

Эпюры Q и M ограничены пря-

мыми линиями: Q=const, а M - на-

клонной прямой линией.

Участок II.

Рис. 3.3

L £ x2 £ 2L (рис. 3.3).

åPyi = −Qy (x2 ) − P + RA −

-0,5q(x ) ×(x2 - L) = 0,

Qy (x2 ) = -P + RA - 0,5q(x ) ×(x2 - L) .

Из рассмотрения рис. 3.4 определим выра-

Рис. 3.4

жение для q(x)

q(x ) =

x2 − L

, или q(x ) = q

x2 − L

.

q

L

L

С учетом полученного выражения для q(x) уравнение проекций всех сил, приложенных к левой отсеченной части балки, примет вид:

Qy (x2) = -2qL +

25

qL - q

(x

2

- L)2

12

2L

.

Запишем уравнение моментов всех сил, приложенных к рассматри-

ваемой части балки, относительно точки с координатой x2

åM X

2

= M z (x

2

) + Px

2

- RA (x

2

- L) + q

(x2 - L)2

×

1

(x

2

- L) = 0,

2L

3

25

(x

- L)3

M z (x2) = -2qLx 2 + 12 qL (x2 - L) - q

26L .

На данном участке

зависимость

Qy (x) – квадратичная парабола, а

- 26 -

M z (x) – кубическая парабола. Кривизна кривых Qy (x) и M z (x) отрицатель-

ная		(выпуклость			вверх), поскольку знаки у нелинейных слагаемых
q	(x2	- L)2	и q	(x2	- L)3	– отрицательные. После построения эпюры Qy (x) на
		2L			6L

втором участке выясняется, что она на концах интервала (участка) имеет разные знаки, что свидетельствует о том, что эпюра пересекает ось, а эпюра моментов имеет экстремум. Для определения экстремального значения изги-

бающего момента найдем значение координаты x экс, при котором перерезы-

вающая сила равна нулю

2

(x2экс - L)2

Qy (x экс ) = -2qL +

25 qL - q

= 0

Þ x экс =1,41L .

2

12

2L

2

Изгибающий момент в этом сечении равен M z (x

экс ) =1,994qL2.

2

На третьем участке удобнее рас-

сматривать

равновесие

правой части

балки.

Участок III.

x3*

0 £ x*

£ L (рис. 3.5).

3

Рис. 3.5

åPyi = Qy (x3* ) + qx3* - RB = 0,

Q

(x* ) = R

- qx* = 0,583qL - qx* .

y

B

3

3

3

åM X 3 = -M z (x3* ) - M + 0,5qx3*2 - RB x3* = 0 ,

*

*2

*

2

*2

*

M z (x3 ) = -M + 0,5qx3

- RB x3 = -2qL +

0,5qx3

- 0,583qLx3 .

Из уравнений для перерезывающих сил Q и изгибающих моментов M следует, что эпюра Q ограничена наклонной прямой, а эпюра M – квад- ратичной параболой. При этом эпюра у эпюры перерезывающих сил, как и втором участке, разные знаки на концах интервала. Для определения экстре-

мального значения изгибающего момента на данном участке определим ко- ординату x3экс, при которой Q = 0.

Q y(x3экс ) = 0,583qL - qx 3экс = 0 Þ x3экс = 0,583L ,

M z (x3экс ) = 2,170qL2 .

Проверим правильность построения эпюр Qy (x) и M z (x) (рис. 3.1).

Рассматриваем балку (рис. 3.1) слева направо.

Участок I. Внешняя распределенная нагрузка q = 0. Поэтому пере-

- 27 -

резывающая сила Q = const . В силу того, что Q < 0, изгибающий момент M убывает.

Участок II. Внешняя распределенная нагрузка q < 0 и, следовательно, перерезывающая сила Q убывает. В точке A интенсивность нагрузки q = 0 и угол наклона касательной к эпюре Q также равен нулю. Там, где Q > 0, эпю- ра M возрастает, а где Q < 0 эпюра M убывает.

Участок III. Внешняя распределенная нагрузка q > 0, эпюра Q воз- растает; где перерезывающая Q < 0 эпюра M убывает, а там, где Q > 0, эпюра M возрастает. Скачки на эпюре Q будут в тех сечениях, в которых приложе- ны заданные сосредоточенные внешние силы и опорные реакции, а на эпюре изгибающих моментов скачки будут в тех сечениях, в которых приложены внешние сосредоточенные моменты. Причем скачки на эпюре М будут в сто- рону сжатых волокон.

4. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ

ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ

									Построение эпюр при растя-
									жении-сжатии	стержней	осуще-
								x	ствляется в целом так же, как и
									при изгибе. Поэтому рассмотрим
					x*				сразу пример,	консольный стер-
									жень (рис. 4.1), для которого тре-
			x2*
					1
x3*									буется построить эпюру		осевых
									сил N(x) и определить сечение, в
	Рис. 4.1								котором внутренняя сила является
									максимальной по модулю.
При растяжении-сжатии							в поперечном сечении			стержня возникает

один внутренний силовой фактор – продольная сила N(x) или Qx (x), направ- ленная вдоль оси x. Для ее определения применяется метод сечений. По тем же правилам, что и при изгибе, стержень разбивается на участки, для кото- рых записываются уравнения равновесия (сумма проекций на ось x всех сил,

приложенных к рассматриваемой отсеченной части стержня).

		Участок I. 0 ≤ x 1≤ L (рис. 4.2).
	x
		−N (x ) − P 1= 0,
x*		N (x ) = −P 1= −2qL .
1
Рис. 4.2

- 28 -

Продольная сила на первом участке оказывается постоянной, на втором

же участке она меняется по закону x прямой линии.

x2*

Рис. 4.3

x3*

Участок II. L ≤ x2 ≤ 2L (рис. 4.3).

−N(x) + q(x2* − L) − P1= 0 ,

N (x) = q(x *2 − L) − P 1=

=q(x *2 − L) − 2qL .

Участок III.

x2L ≤ x3 ≤ 3L (рис. 4.4)

−N (x) − P2 + qL − P1 = 0,

N (x) = −P2 + qL − P1 =

= −3qL + qL − 2qL = −4qL .

Рис. 4.4

Рис. 4.5

С помощью получен-

ных соотношений строим эпюру осевых сил N(x) (рис. 4.5).

В сечении балки, в котором приложена внеш- няя сосредоточенная сила, на эпюре N(x) имеется ска- чок, равный по величине этой силе. Максимальное по модулю значение продо-

льной силы равно

N max = 4qL .

5. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ ПРИ КРУЧЕНИИ

При рассмотрении задачи о кручении стержня необходимо ввести пра- вило знаков для внутреннего крутящего момента. Будем считать, внутренний крутящий момент положительным, если он вращает рассматриваемую

часть бруса против часовой стрелки при наблюдении со стороны внешней нормали n к плоскости поперечного сечения (рис. 5.1). Под внешней нор-

малью в данном случае понимается нормаль, направленная от рассматри- ваемой части стержня.

- 29 -
			Алгоритм		построе-
		ния эпюр при кручении не
		отличается от уже рас-
		смотренных		случаев. В
		качестве примера рассмо-
		трим стержень, приведе-
x
		нный на рис. 5.2. На рис.
		5.2	с помощью		значков
	x	плюс и точка в кружках
		обозначены пары сил,				со-
Рис. 5.1		здающие крутящие моме-
		нты,	пропорциональные
		величине T. Точка означа-
		ет острие стрелы, направ-
		ленной из чертежа, плюс –
		оперение стрелы.
			Дано:	T=1 Нм.		По-
		строить эпюру M кр .
			При отсутствии в на-
		гружении стержня				рас-
		пределенных		крутящих
		моментов эпюра M кр				по-
Рис. 5.2		лучается кусочно-постоян-
		ной.

Участок AB (рис. 5.3). В соответствии с методом сечений рассечем мысленно брус в произвольной точке X его оси на участке AB поперечным сечением. Отбросим одну из частей стержня. В данном случае удобнее от- брасывать правую его часть, поскольку к ней приложено больше внешних нагрузок, и заменим ее действие неизвестным крутящим моментом M x (x1)

(рис. 5.3), который приложим в положительном направлении в соответствии с правилом знаков, введенном выше. Записывая уравнение равновесия мо- ментов относительно продольной оси бруса x

X для рассматриваемой правой части получим

1

следующее уравнение

åM x = 6T + M x (x1) = 0,

	из которого получаем значение внутреннего
	крутящего момента в произвольном попе-
Рис. 5.3	речном сечении стержня

- 30 -

M x (x1) = −6T .

Как и следовало ожидать, полученное значение крутящего момента оказалось постоянным для всего участка AB (рис. 5.2). Рассуждая аналогич- но, получаем выражения для крутящих моментов в сечениях на других уча- стках.

X2

Рис. 5.4

M	(x*)
x	3	X	3

Участок BC (рис. 5.4).

åM x = 6T − 3T + M x (x2 ) = 0 , M x (x2 ) = −3T .

Участок CD (рис. 5.5).

На участке CD удобнее рассматривать

равновесие правой части стержня

åM x = 2T − M x (x3* ) = 0 , M x (x3* ) = 2T .

		x*	Заметим, что в опорах стержня при его
		3	кручении могут возникнуть крутящие моме-
	Рис. 5.5		нты, связанные с трением, но они по усло-
			вию задачи не заданы. Поэтому в данной

задаче в опорах не возникают реакции и опоры никак не влияют на эпюру крутящих моментов (рис. 5.2). В данной задаче вместо проверки правильно-

сти определения опорных реакций следует проверить правильность задания исходных данных. Сумма всех внешних моментов относительно оси x долж-

на равняться нулю. В данном случае

åM x = 6T − 3T − 5T + 2T = 0 ,

Легко проверить и правильность полученной эпюры. Скачки на эпюре должны быть равны приложенным моментам, а моменты в торцевых сечени- ях должны подчиняться принятому правилу знаков для внутренних крутя- щих моментов.

6. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ДЛЯ РАМ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ БРУСЬЕВ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Рамой называется стержневая система, стержни которой жестко соеди- нены в узлах и предназначены для работы не только на растяжение (сжатие), но также на изгиб и кручение. Стержни рам могут быть кривыми (рис. 6.1).