книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

В рассматриваемой совокупности, наряду с оператором А, имеется также обратный (противоположный) оператор

(-А ).

В силу свойств (1.1) и последнего замечания совокуп­ ность всех линейных операторов в я-мерном пространстве Я образует некоммутативное кольцо. В этом кольце имеется единичный оператор Е , который каждому вектору х £ Я относит тот же самый вектор:

Е х — х .

• Пусть	( х ,у £ Я).
У = А х
Через х и у обозначим	столбцовые матрицы, элемента­

ми которых служат координаты векторов х и у в базисе

0 1»^2* • ••» 0/j* Тогда

у = Ах,

где А — квадратная матрица порядка п, отвечающая в дан­ ном базисе оператору А.

Линейный оператор Л, матрица базисных векторов g

и матрица А связаны друг с	другом равенством (см. (2.6.9))
Л £ = & 4 .		(1 .2 )

Выбором базиса устанавливается изоморфное соответ­ ствие между кольцом линейных операторов и кольцом квад­ ратных матриц я-го порядка. В самом деле, сумме и произ­ ведению двух операторов А и В соответствуют, как это сле­ дует из (1 .2 ), сумма и произведение квадратных матриц А и В, а произведению числа ос из di на линейный оператор А отвечает произведение того же числа на матрицу А . Наконец, единичному оператору Е отвечает единичная матрица Е =

=(«,/)•

§2 . Матрицы линейного оператора в разных базисах

Рассмотрим в R два базиса g = (ех 02 ...

еп) и

=

= {е\ е'г ... 0л), связанные друг с другом соотношением

& = %Т,

(2 .1)

где Т — неособенная квадратная матрица порядка я, и ли­ нейный оператор А , который произвольному вектору х £ Я

относит некоторый вектор у £ R. Пусть А и Ах — матрицы линейного оператора А в базисах g и g 2 соответственно. Тогда согласно (1.2)

А ё ^ ё Л .

(2 .2 )

Умножая второе равенство (2.2) справа на Т-1, получим с учетом (2 . 1)

Аё = gTAjT-1.

,Сравнивая последнее соотношение с первым равенством (2 .2 ), находим

	А = TAjT~l.	(2.3)
Разрешая (2.3)	относительно Аи получим
	Ах = Т“1АТ.	(2.4)
Две матрицы Л	и В, связанные другс другом	соотно­
шением вида (2.3)	(или (2.4)), называются подобными.

Таким образом, одному и тому же линейному оператору в различных базисах отвечают матрицы, подобные между со­ бой. Матрица Т, связывающая эти матрицы, является мат­

рицей преобразования координат при переходе от перЕОго базиса ко второму.

З а м е ч а н и е . Подобные матрицы имеют один и тот же ранг, поскольку каждая из подобных матриц полу­ чается из другой путем умножения слева и справа на неосо­ бенные матрицы.

Определители подобных матриц равны друг другу. Это следует из свойства определителя произведения матриц.

§ 3. Обратный оператор

Принимая во внимание, что определитель матрицы ли­ нейного оператора не зависит от выбора базиса в R, можно ввести понятие определителя линейного оператора, подра­ зумевая под этим определитель матрицы линейного опе­ ратора в каком-нибудь базисе. Определитель линейного опе­ ратора, как и определитель матрицы, обозначается симво­

лами	| А | и		det А .		особенным (неособенным)> если
Оператор			А называется
\А | =	0	(соответственно |Л			|= ^ 0).
Если		оператор		неособенный, то
1)	из А х = 0			следует х	= 0 ;

2)AR = /?, т. е. векторы А х (Y x £ R) заполняют все

пространство R.

В самом деле, если А х = 0, то в некотором базисе % Ах = О,

откуда, так как \А\ Ф 0 , х = 0 .

Далее, пусть у — произвольный вектор пространства /?,

у — столбцовая	матрица, составленная из координат век­
тора^ в базисе	а А —матрица линейного оператора А

в этом базисе. Так как А — невырожденная матрица, то для любой столбцовой матрицы у существует столбцовая матрица xt определяемая равенством

х= А ~ 1у.

(3.1)

Отсюда

У = Ах.

Полученному матричному	соотношению соответствует
векторное равенство
у = А х	(x ,y € R ),

т. е. рассматриваемый (произвольный) вектор у £ R есть вектор вида А х (х £ /?)• Значит, действительно, векторы А х (Y x £ R ) заполняют все пространство R.

Матрицу Л- 1 линейного преобразования (3.1) можно рассматривать как матрицу, соответствующую обратному

оператору А~1в данном базисе пространства R. Оператор А~х также является линейным в R и

А А ~ 1= А ~ 1А = Еу

что немедленно следует из двух равенств:

у = А х и х = А~1у.

§ 4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и квадратной матрицы

Вектор х £ R называется собственным вектором ли­ нейного оператора А , а число А, £ Vi — его собственнымзна­

чением, если	(4.1)
А х = кх.
Выберем в R некоторый базис g =	{ехеч, ... еп). Пусть
А — матрица, отвечающая оператору Л	в базисе jg, aj х —

столбцовая матрица, элементами которой служат коор­ динаты вектора х в этом базисе. Имеем, учитывая (1.2),

А х = А%х = £Ах,

%х = Я§* = %кх.

Отсюда в силу (4.1)

f£Ax = $Ях,

и, значит,	Ах =	Я*.	(4.2)
Матричное равенство (4.2) в свою очередь эквивалентно
системе алгебраических уравнений
( < 7 ц--- Я ) x l ~Ь		йыХп —	О ,
а21х 1 +	(°22 — Я) Ч +	+ а2пхп=	О,
			(4.3)
<7*1*1. +	ап2Хг Ат	+ (йпп ~ Х ) х п =	0 .

Для того чтобы система линейных однородных уравнений (4.3) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

	ои —Я	а12	<7lп
\А — ЯЕ | =	а 21	<^22 Я	<72*	= 0. (4.4)
	<7*1	<7*2	<7пп — Я

Уравнение (4.4) представляет собой алгебраическое урав­ нение п-й степени относительно Я и называется характери­ стическим уравнением. Многочлен | А — Я £| называется

характеристическим многочленом.

Каждое собственное значение Я линейного оператора А является корнем характеристического уравнения (4.4). И на­ оборот, каждому корню Я уравнения (4.4) соответствует ненулевое решение xlt х2, ..., хп системы (4.3), и, значит,

числу	Я отвечает собственный вектор х = ^Х{в{ =		%х опе-
ратора А . Столбцовая матрица х,		i	из чисел
		составленная
xlt *2,	..., хп — решения системы	(4.3),— называется соб­

ственным вектором матрицы.

Уравнение (4.4) имеет не более чем п корней, поэтому линейный оператор А в JR имеет не более чем п собственных значений.

Пусть Ах — матрица, отвечающая тому же оператору Л , но при другом базисе в R. Матрицы Ах и А подобны:

Л, = Т ~ ' А Т .

Отсюда

Л, — ХЕ = Г-'АТ — ХТ~'Т - T~l (А - ХЕ) Т,

и, следовательно,

\Аг — кЕ\ = \А — кЕ\.

Таким образом, подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен.

Собственный вектор оператора (матрицы) определяется с точностью до произвольного множителя, не равного нулю. Действительно, пусть х — собственный вектор оператора А ,

отвечающий собственному значению к, а с Ф		0. Тогда
А (сх) = с А х =	с к х = к(сх) .
Отсюда видно, что с х ф 0	тоже является	собственным
вектором, отвечающим собственному значению к.
Данному собственному значению к могут соответствовать

и несколько линейно независимых собственных векторов. Если собственному значению к отвечают собственные век­ торы х , у> и оператора Л , то любая линейная комби­ нация этих векторов либо сама является собственным век­ тором, либо равна нулю. Действительно,

Л (алс 4- Ру 4*	4- 6*0 = &Ах 4- РAy -j-			4- АЛ я =
= М а* +	Рз>4-	+ б«)	(а,Р,	. . . . 6 6 Я ).

Линейно независимые собственные векторы, отвечающие одному и тому же собственному значению, порождают не­ которое собственное подпространство. В частности, каждый собственный вектор порождает одномерное собственное под­

пространство,		или собственное направление.
Л е м м а		4.1.	Собственные векторы линейного опера­
тора А	(матрицы		Л),	отвечающие		попарно		различным
собственным значениям,				линейно независимы.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Имеем
АХ{ =	kfXi	(i =	1,2, . . . ,		h\ k i ^ ^ k f		при	t s5^s/). (4.5)
Допустим противное, а именно, что в							условиях леммы
собственные векторыXi, х 2,					x k линейно зависимы, т. е.
имеются числа alt			ос2, ...»		не	все	равные нулю и

kt и даже равно

такие, что	а л	-}- а 2х 2 -Ь			+		(4*®)
						~
Пусть,	например,			ak Ф 0.
Равенство (4.6) умножим слева на Л . Получим, учитывая
(4‘5)’			2 a(Xtx t =		0.		(4.7)
			(=1
Равенство (4.6) умножим на \					и вычтем затем из		(4.7).
Будем иметь		k
		2 < М ^ —					(4.8)
		i= 2
Теперь равенство			(4.8) умножим слева на Л. Придем к
равенству		k
			«i ( \ —У		= 0.		(4.9)
		2
		1=2
Из равенства		(4.9)		вычтем равенство (4.8), умноженное
на %2. Получим
	k	otj		— ^i) •— ^2)		~
	2
	i=	3
Повторяя этот прием, в конце концов придем к равенству
а *	^1) Q^ii			^ 2)		hk—i) Хь — 0 .

Однако последнее соотношение не может выполняться, так как в левой части, согласно условиям леммы и сделан­ ному предположению о существовании не равного нулю коэффициента a ft, все сомножители отличны от нуля. Полу­ ченное противоречие доказывает лемму.

§ 5. Линейные операторы и матрицы простой структуры

Линейный оператор Л в /z-мерном пространстве/? может иметь не более чем п линейно независимых собственных век­ торов. Если характеристическое уравнение имеет п различ­ ных корней, то оператор Л имеет точно п линейно незави­ симых собственных векторов. Если характеристическое уравнение имеет k различных корней (k < п), то число ли­ нейно независимых собственных векторов может быть и больше, чем п.

Линейный оператор А в л-мерном векторном пространст­ ве называется оператором простой структуры, если А имеет п линейно независимых собственных векторов.

Пусть А — оператор простой структуры и g lt g 2, ..., gn— линейно независимые собственные векторы оператора А:

Agk = Kgk (£ = 1 , 2 , , л). (5.1)

Примем эти векторы в качестве базисных векторов.

Если

х =&х,

где # = (gigz.'.gn), а х — столбцовая матрица, элементами которой служат координаты вектора х в базисе # , то

У = А х = А&х = (Ag1A g 2 A gn)х =

= (Kgi K g г К gn) X = &у,

где

/K xi \

—столбцовая матрица, элементами которой служат коор­ динаты вектора А х в базисе

Таким образом воздействие оператора простой структу­ ры А на вектор х сводится к «растяжению» составляющих этого вектора по собственным направлениям, порожденным

векторами g lt g 2, ..., g n, с коэффициентами Xl5 Х2, ..., Кп. Соотношения (5.1) эквивалентны одному матричному ра­

венству

А & = &А,

где

~к

к

Значит, оператору простой структуры А в «собственном» базисе g lt g 2, .... ^„соответствует диагональная матрица.

В произвольном базисе оператору простой структуры А соответствует матрица А, подобная диагональной матрице:

А = КЛК~'.

Матрица, подобная диагональной матрице, называется

матрицей простой структуры.

Итак, оператору простой структуры во всяком базисе отвечает матрица простой структуры, и наоборот.

§ 6 . Расщепление «-мерного пространства

Пусть R x и R 2 — подпространства «-мерного простран­ ства R . Если/?! и R 2не имеют общих векторов, кроме нуля, и любой вектор л: из R представляется в виде

X = х х+ х 2

(хг € /?1 , Х 2 £ /?а),

(6.1)

то говорят, что пространство R расщепляется на два под­ пространства R 1 и / ? 2 или что пространство R разлагается в прямую сумму подпространств R 1 и R t.

Это разложение записывают так:

/? = /?! + R 2.

(6.2)

Представление вектора х в форме (6.1) единственно. Действительно, допуская, что возможно еще другое пред­ ставление

х = X! + х 2,

(6.3)

после вычитания (6.3) из (6.1) придем к равенству двух век-

торов: х х — x x € R x и х 2— х 2 £ R 2, что невозможно, ибо у /?i и R 2 нет общего ненулевого вектора.

Т е о р е м а 6.1. Если п-мерное пространство R рас­ щепляется на два подпространства R x и /?2, от. е.

R — Ri + Ла,

то сумма размерностей R x и R 2 равна п.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Выберем некоторый базис f u / 2, ...,/* в подпространстве/?! и базис g lt g 2, ..., g t в подпро­ странстве /?2.

Векторы	•••♦/*, gi>	....S'/	линейно	независи­
мы. Действительно, пусть
ai fl + tt2/ В+	4“ akfk 4~	1 +
тогда		+ Ргб’г +		=
	"Ь akfh ~
0£х/х 4* а г/а 4"				+ Ш -
	= -	(Pi?, +	+

Левая	часть последнего равенства		есть вектор из R lt
а правая	часть — из Д 2. Поскольку	у	подпространств Д х
и Д 2 общим является только нулевой		вектор, то

	ai/l 4" “гЛ 4“			+ afc/ft= 0»
	PlITl 4" Рг!^ 4~			+Р/^ = 0-
Отсюда,	в	силу линейной		независимости векторов /г*
/а» •••»/&» а 1	=	а 2 =	— ка= 0, а из линейной		независи­
мости векторов g ltg it			St следует, что Рх =		р2 = ... =
= Р/ = 0 .				g l t ...»gi линейно не­
Следовательно, векторы f lt
зависимы. Так		как все	они—векторы ^-мерного		простран­
ства Д , то			k + / С	я.	(6.4)
Рассмотрим		теперь	я линейно независимых		векторов

e l t 0 2 ****>0п пространства Д . Каждый из этих векторов мо­ жет быть представлен как сумма двух векторов из Д х и Д а и, значит, как линейная комбинация векторов/ lt

8 i....... S t

01 = ailf 1 4“ а 1J 2 +		+	+
0 2 = <*2l/l +		+	Ривр1 +	РЫГа +
	а 2zf2+	4~ a Z k f k+		P2lfil 4“
			"ЬРга^г 4"
*	■		•	*
0Л = CS/il/l 4" a n 2 f 2 4"		4" a n k f k 4* P/llfil 4"
			4-	4*
Применяя	к системе векторов е 1У			02» ... , 0„ ^
лемму 2 .2 .2 ,	будем иметь
		ti ^	k -}- 1.

Сравнивая (6.4) и (6.5), получаем

k -)-1= я.

4~ Pug/»

4~ Р2 lg b

4- fim g i- f i > •••» g i

(6.5)

§ 7. Проекционные операторы и матрицы

Пусть дано произвольное расщепление линейного про­ странства Д на два подпространства S кТ:

д =

Т.

Тогда любой вектор х £ R разлагается, и притом един­ ственным образом (см. § 6), на сумму двух векторов из S

и Т:

х — Xs + Хт

(Xs € S* Хт € Т).

(7.1)

Вектор Xs называется проекцией вектора х на подпрост­ ранство $ параллельно подпространству Т. Аналогично, Хт называется проекцией вектора х на подпространство Т параллельно подпространству S.

Пусть Р — оператор, осуществляющий проектирование пространства R параллельно подпространству Т, Этот опе­ ратор определяется равенством

Р х = Xst

где х — произвольный вектор из R , a xs его проекция на S. Очевидно, что Р является линейным оператором.

Равенство (7.1) можно записать и так:

х = Р х -f- Хт.

(7.2)

Если х £ S, то разложение (7.1), в силу единственности разложения вектора из R на сумму (7.1), принимает вид*

х = x s	(хт = 0),
и из (7.2) в этом случае получаем
x s =	P x s ,

т. е. оператор Р , примененный к вектору из S , действует как единичный оператор.

Если х £ Т, то разложение (7.2) принимает вид

Хт — Рхт + Хт,

и, значит,

Р х т= о.

Пусть теперь х — произвольный вектор из R. Применим оператор Р к обеим частям равенства (7.2). Будем иметь

	Р х = Р2Х +	Рхт.
Отсюда,	учитывая (7.3), получим
	Р х = Р2Х.
Следовательно,
	Р2 = Р.	(7.4)
Оператор Р в R> удовлетворяющий равенству (7.4),
называется	проекционным оператором.