книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

что Н Т = h \ *2

1 1

, Р Х = °î

0

O 1-------- 9

CTrfJ

,

R = r Em, 0 = R -I

D - ( P X ) -1 , и воспользовавшись соотношениями типа (2.2.30), (2.2.31)

и результатами примера 2.4.2, получим следующие выражения:

i		t	m	1	m	-1	m
1 <?0		>* /=1		r	I=1		/=1
,-2	1 Д .			1	m		m
L	2 2-i ^i			2 + 2			_ /=1 _
	r l	M			r	J
		1	1 ,п		1 m
	GQ		1 /•=1	1 /=1		m
		1	v ,		1
		— L ki		— +—
		/*“	; - i	CT Г/

Ясно, что эти лее соотношения будут соответствовать линейному оп­ тимальному алгоритму, а если предположить гауссовский характер слу­ чайных величин, то и байесовскому оптимальному алгоритму.

В а р и а н m 2. С учетом выражений (2.2.28), (2.2.29), матриц

ят= ( Л, , Л, и (ле)-' =_L Еш- 1 ■? м для оценки je, соот­

ÎHG~i + Г"

ветствующей ОМНК, и ее дисперсии можем записать:

■ = (£ '•/- - $ г		- • { Ь ,	ТУ' -V fo f* -					m c j + r t i )	’(2-6'47)
\,=.	т<?,,+г {£ {		)	J г		%	^
		m		°Г/9			m	-1
	= '•					т			(2.6.48)
		( Y,hf -		,	г		2 Л
		/=|	maj +			Vi=i
Заменяя		на	и	принимая во				внимание обозначения
	WIOj + г	m

v = —У V , » ' Щ III /=1 1

h	= —у	h • 113 (2 б-47)> (2.6.48) получаем:
m	t»	1
	"'7=i

ОТ /	V	ОТ _	,	V
Zhh t	- ÿ » )	£ (A, -к	)U - ÿ m)
j^ O M H K 1 = 1		— '=i		(2.6.49)
i=l		i=l
		2		(2.6.50)
£(*,-*,J		Î A ?-» A»2
/=1		/=1

которые, как и следовало ожидать, соответствуют измерениям (2.6.35),

т.е. задаче оценивания х по измерениям >7 s 0 ;/ “ J*™) =

= h- x - h mx + V/, i = l.m, с независимыми и равноточными ошибками

измерения с дисперсией

т

Условие (2.6.38) сведется здесь к условию ^ / | . = 0> при выполнении

					i=l
	которого полученные соотношения			примут вид:
		т
	jJO M IIK	Т . Ч у, - 3и			oMiiK г
		__ ÿ = l			т
			I * ;
					2 > /
			i=1		i=l
	Поскольку j;/,.ÿ	= у	JH	то для оценки будет справедливо и
			£ //.=о,
	/ =1	i = l
			т
				I	Л.*.
	следующее соотношение: ломик _ i			- 1	.
		л	"	т	п
			, LJ			1п
	Отсюда фактически вытекает, что при выполнении условия
						= о

i = l алгоритм, при получении которого не предусматривалось наличия систе­ матической составляющей ошибки, тем не менее будет вырабатывать оценку, соответствующую ее наличию. Следует заметить, когда А; = А,

/=Гш, т. е. все значения 1ц одинаковы, выражение для оценки становится

неопределенным, поскольку числитель в (2.6.49) обращается в ноль. В то же время выражения для оценки л' и соответствующей ей дисперсии в

условиях, когда не вводится предположения	аГ/	1 . могут быть
	ШСТ^ + Г1	П1

получены с использованием соотношений (2.6.47), (2.6.48). При этом по­ нятно, что эти выражения совпадут с выражениями (6), (7), соответст­ вующими ОМНК из задачи 2.2.6.

В а р и а н т 3. Уравнения типа (2.6.39) конкретизируются к виду

ÿi = {У( -ym)=hi x - h,nx + 7i’ i =

в которых ошибки Vy определяются согласно (2.6.42) и имеют матрицу

ковариаций (2.6.43).

Принимая во внимание вид матрицы Я т = (A, - hm,h2

-Ато)т

и выражение (2.6.43) для матрицы Rv, для алгоритма ОМНК можем за­ писать:

	Iт - I	о J ( т — 1		, -I	т - 1	(	1 т - 1
				)
	л— = ! ( / , - / , /)(Я - 1		I № -лт )I		I №-*«)		л —: I л
			1= 1		/ = 1		/ = ]
		т-1		(m -l		1	-1
	рОМНК
		Z	(/'/- V )2	/71	H	W
		i = 1		Vi = 1		/

Здесь нетрудно убедиться в том, что эти выражения совпадают с (2.6.49), (2.6.50), если учесть, что суммирование можно увеличить до /77-го слагаемого, а кроме того:

/77	•>'»	1 Ç		=о;
1 = 1		-	Гг,-
	I	'"/ = i		\2
т	9	1	т
т , - ь т)2 - -			m	~ hrn)
; = 1			U =1

£ Ai	2н|/|д,Ат +/л/»л|		/л	(ni(hm
i = l	/н л			— А
-		HI
	Z/'/" - »’/>„, =
	i= l	/=1

Задачи кразделу

Задача 2.6.1. Используя соотношения, соответствующие ОМНК в задаче нахождения неизвестного л-мерного вектора .v по измерениям

v = Нх + v = Ау	v, - v 2
	х +

Уг.

конкретизируйте выражения для оценки этого вектора, считая, что

Q = R~l Дополнительно полагая, что Vj, v2 являются некоррели­ рованными между собой случайными центрированными вектора­ ми с матрицами ковариаций, Rx > 0, R2 >0, a R представляет со-

бои матрицу ковариации вектора	, получите с использо-
L	v2 .

ванием (2.2.29) выражение для матрицы ковариаций ошибок. Со­ поставьте полученные выражения с (2.2.42), (2.2.43), соответст­

вующими задаче оценивания х					по измерениям (2.1.33). При каких
условиях эта оценка будет соответствовать оценке МФП?
	Р е ш е н и е .			В рассматриваемой		задаче	н =
л=	Л] +Л2	-Л2	Используя формулу обращения блочной матри-
	—
цы	П1.1.65,			нетрудно	убедиться	в	том,	что
	-1			п-1	Применяя соответствующие
R	- * Г			-л ,
	= -л,-1	(л2-л2(л,+Л2Г1Л2)"'

ОМНК соотношения (2.2.28), (2.2.29), с учетом вида матриц изме­

рений, матриц Н и R~l легко убедиться в том, что полученное решение совпадет с (2.2.42), (2.2.43). Если дополнительно предпо­ ложить, что ошибки измерения гауссовские, то полученные оцен­ ки будут совпадать с оценками МФП.

Задача 2.6.2. Используя соотношения, соответствующие ОМНК в задаче нахождения неизвестного п -мерного вектора х по измерениям типа (2.6.5), (2.6.6), записываемым в виде:

Уг = * + v,; y 2 =Hx + v2,

где у 2 - вектор размерности / ; Н - матрица / х п , конкретизи­ руйте выражения для оценки этого вектора, считая, что Q =R~l

Дополнительно полагая, что Vj и v2 - некоррелированные ме­ жду собой центрированные векторы с известными матрицами ко-

vi

получите с использованием (2.2.29) выражение для матрицы

v2

ковариаций ошибок. Убедитесь в том, что полученные оценки совпадают с оценками, соответствующими инвариантной схеме обработки. При каких условиях эта оценка будет соответствовать оценке МФП?

Р е ш е н ы е. Вводя расширенный вектор совместных измере­ ний

У = У1 = HLv + V =	Е	‘'1
	С'ПХП х +
У2	Н	v2

и используя (2.2.28), (2.2.29), получаем следующие выражения для оценок и матрицы ковариаций:

л-ом,,к = (H R ’H J 'H R ' V = (R ;' + WR;'H)'i(R;'y] - H XR -'V2), (i)

p owtK =(R { 1+н гя 21н )~1

Эта оценка совпадает с (2.6.7), поскольку

+ я тЛ2 |я ) ‘ 1я т/г;|я |у |

+ я тЛ7,я ) '1[(/гг1+ я тл7,я ) - я гл2-'я }г| =

= (т?г1+H TR2'H )~1R;1У!.

Отсюда следует, что инвариантный алгоритм обеспечивает на­ хождение оценки, соответствующей ОМНК. Если ошибки измере­ ния гауссовские, то эта же оценка будет соответствовать оценке МФП.

Задача 2.6.3. В моменты времени /, = At(i -1 ), I -1 .т с рав­ ным интервалом At проведены измерения высоты летательного аппарата с использованием спутниковой системы и данных от ба­ ровысотомера. Ошибки измерения представляют независимые ме­ жду собой для разных моментов времени случайные величины с

дисперсиями >сяс и гбв • Высота объекта описывается в виде по­

линома первой степени Л,- = х0 + Vti .

Сформулируйте задачу комплексной обработки этих измерений

в целях получения оптимальных оценок вектора

х = (л'|,.v2)т = (х0,К)т , полагая, что его компоненты являются неза­ висимыми между собой и от ошибок измерений гауссовскими с.в.

с математическим ожиданием (х0,0)т и дисперсиями a g, Оу За­

пишите выражение для матрицы ковариаций ошибок оптимальных

оценок.

Р е ш е н и е .

Учитывая сделанные предположения, задачу

сформулируем так.

Оценить

вектор

х = О

по

измерениям

V C H C = H X + V CH C

у БВ = Нх + vEB, в которых

Я т =

"1

1

1

Л

h

hin

}СНС

у БВ - центрированные независимые между собой гауссов­

ские

векторы

с

матрицами

ковариаций

RCHC =г^нсЕ ,

R

гп

у

независимый от v

СНС

БВ

= гввЕ; х -

, v

гауссовский вектор с

математическим

ожиданием

(х0,0)т и

матрицей

ковариаций

Рх =

О

'v J

Для матрицы ковариаций ошибок справедливо следующее вы­ ражение:

Р = ((Рх)"' + H r(RCHC)~l H + Я 1 (RБВ)~1я ) “'

(г				т	\- i
А	о '	f l	2 ^		Et Z i
Р =	1	ГСНС + ГБВ			j =1
О			ГСНСГБВ )	AtZi	.П
					Дt Z i
vv	П' J			;=1	7=1

Задача 2.6.4. Рассмотрим обсуждавшуюся в подразделе 2.1.8 задачу коррекции показаний навигационной системы о двухмер­ ных координатах объекта по измерению (2.1.40) дальности до од­ ного точечного ориентира, полагая, что она может быть решена в линеаризованной постановке и, таким образом, с учетом (2.1.41) измерения могут быть записаны:

л= ri- + vi ;

у2 - х 2 + v2 ;

у3 = Нх + v3 = - х {sin П - х пcos 17 + v3,

где х = {хх,х2У - двухмерный вектор, задающий координаты объ­ екта на плоскости, а угол П задает ориентацию единичного век­ тора - (sin /7, cos Л)7 относительно оси Ох2 .

Пусть (v[ , v2 ) - центрированный вектор ошибок измерений с матрицей ковариаций R , которой соответствуют параметры эл­ липса ошибок а,Ь, т, а ошибка v3 - некоррелированная с этим

вектором центрированная случайная величина с дисперсией, сов­

падающей с Ь2 Конкретизируйте инвариантный алгоритм получения оценки

координат и убедитесь в том, что этот алгоритм соответствует

ОМНКпри Q = R~l

Найдите такое значение угла П , при котором величина ради­ альной среднеквадратической ошибки будет наименьшей.

Р е ш е н и е . Инвариантный алгоритм, совпадающий с ОМНК, легко получить, используя соотношение (2.6.7), в которое следует подставить матрицы, соответствующие рассматриваемой задаче.

Из геометрических соображений понятно, что для уменьшения

DRMS = -Ja2 +Ь2 в этом случае необходимо уменьшить неопре­ деленность в знании координат объекта вдоль направления, соот­ ветствующего большой полуоси эллипса ошибок. Ясно, что это достигается в случае, когда ориентация единичного вектора совпа­ дает с ориентацией большой полуоси. В результате после совмест­

ной обработки данных	двух	таких измерений получим
DRMS = I а ^_+Ь2>а ПРИ a	» b	эта величина совпадает с выра-
Vа1 +Ьг

жением (2) в задаче 2.2.7,т.е. DRMS = -Jib.

Задача 2.6.5. Убедитесь в том, что в случае, когда в измерени­ ях (2.6.46) h( = h , / -1 .т , выражения (2.6.47), (2.6.48) совпадают с выражениями (6) и (7) из задачи (2.2.6).

Р е ш е н ы е. Выражения (2.6.47), (2.6.48) имеют вид:

- -	\ м	-------r t r l " ,	J	/ /	М	;=I	*
		mad + r

	->OMHK	!„,	«5
		2>2-
			2
		,/=i	ma d +r

y,		- 5 > ,
	ma2, + r1		' " l	J
	</
m	-1
	^2

Z * .

V«'=1 У

Принимая во внимание тот факт, что А,- = Л , i = 1 т , получаем:

2

« ^ Л

2

2.2_2

_2 2.2 -1

= г

, lmhzr~ + m1lïLad - a dmÂh

= r ‘ Imh* -

2

2

wiaj} + г2

тоd + г

2

2

2

2

Я < /

+ r 2

Г2 .

9

h

о

mh

2 5

*>

mh~

/

+ v

О

m

/лег

9П

j^oMHK _ ___d_

У ,-

2 > ,

T I - Z *

ma-

+ г

mh"г

1=1

mad + r

/

hadm

^ 1

ш

A —

2

/=1

2

2

i=i

mh r

7HCT^ + Г

Обращаем внимание на то, что если при проведении промежу­ точных выкладок использовать приближение mad +rz ~ mad , то отношение становится неопределенным.

Задача 2.6.6. Пусть требуется найти координаты объекта на плоскости х = {хх,х2)Т по измерениям дальностей до точечных ориентиров, содержащим систематическую составляющую оши­ бок и представляемым как

}’i = S i { X ) + V,- = Si (.Y) + Y3 + Vj = J ( x x - Y { \ + (Y2 - x 2 У+ d + Vj, i = 1 м ,

где Y3 =d, X = (Y],Y2,X3)T

Считается, что систематическая составляющая ошибок d - цен­

трированная некоррелированная с х случайная величина с дис-

о

Персией a j , а ошибки измерения v,-, некоррелированные между

собой с х и d - центрированные случайные величины с одинако­

выми дисперсиями г г , причем г2 « ст2 .

1.Докажите, что оценки координат, соответствующие крите­ риям (2.6.30) и (2.6.31) совпадают.

2.Докажите, что критерии (2.6.32), (2.6.44) между собой сов­

падают.

1 . Р е ш е н и е . Перепишем критерий (2.6.30) в виде

2

, т

J (X ) = 4 - + -i- £ (y ,.-5 ,.W -X 3)2 =

Vd Г ,=1

:*32	1
	2 + „2	м
	)

Вычислим производную ^

		дх3
dJ (X)	1	т
de* = *з	-Г + - 7
	\.ad	1

(1)

1=1

и приравняем ее к нулю:

1 т

—т 2 >-*,м)=о.

г 1*1

Отсюда следует, что значение лс3, при котором ^ L i£ l= o , мо­ ек^

жет быть выражено через значение вектора х следующим обра­

зом: *з = d = — r - j É	U - Ф ) ) -
m0d + '	<=1

Нетрудно убедиться в том, что критерий (1) может быть пред­

ставлен в виде

где

а

		J ( X) = {X>	+ f (X),
		а “
		1		о
		ma~d +/*“
1	т	2		( т	1
п	К л	- Д л ) ) 2 -----		М
	/-1	niGj+r-		II	SJ-

(2)

>2\

J

Таким образом, задача минимизация критерия (1) совпадает с задачей минимизации критерия J*(X), поскольку всегда можно выбрать такое значение х3, при котором второе слагаемое в (2) равно нулю.

2. Р е ше н и е .

Критерий (2.6.32) может быть представлен в виде

J OMHK(x)

( 1)

Покажем далее, что критерий (2.6.44)

у=JOM„K(x)

можно привести к виду (1). Для этой цели рассмотрим выражение, стоящее в круглых скобках (2.6.44). Вводя для сокращения записи обозначения Ду, = у,- -s,-(x), Аут = ут - s m(x), с учетом (2.6.40) и (2.6.41) можем записать:

	т-1	( ш—1	1\
г~	Z ('ty' - АУт)2-—X (A'V-“Av.)
	1=1	Ш Ч/=1

Раскрывая скобки, получаем

1	I т~^	/м-1
J*= “ Г|		4У,? “ 2A-v«<2 Ау‘ + (т ~	"
	[ы	м
f т - 1	\-	«1-1
т V1=1	У	2{т- ])Лу„, £ Д у , + (те - 1)2 Ay
		/=1