книги / Методы электрических измерений

На рис. 7.1 изображен возбуждающий сигнал S (/), снимае­ мый с мощного генератора. Сигнал S (t) прикладывается к элект­ родам, разнесенным друг от друга на расстояние до одною кило­ метра. Сигнал S (t) создает искусственное электромагнитное тюле на исследуемом участке. Отраженный сигнал т] (/), снимаемый •с помощью индукционных датчиков на небольших участках, несет информацию о залежах полезных ископаемых, но измеряется на фоне сильных помех. Зная период 5 (/) и начало измерений, можно организовать многократные измерения, поскольку полезный сиг­

нал в точке тг от начала	каждого периода имеет одно значение:
а (тг) = const, изменяются	только помехи.

Для повышения помехоустойчивости средств измерений по­ стоянных или периодических полезных сигналов целесообразно

вводить	обработку		многократных измерений. Задача			сводится
к оценке полезного			сигнала	а = const	по многократным наблю­
дениям т|,-, в которые входят как полезный сигнал, так						и реали­
зация	помехи	в	момент	измерения	(£*):
	% =	а +	£х; ть =	а +	г\п = а + In-

Алгоритмы обработки наблюдений должны удовлетворять основным свойствам статистических оценок — состоятельности, несмещенности и эффективности, определенных в (6.84)...(6.86).

7.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПО МНОГОКРАТНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ

Увеличение числа измерений для повышения помехоустойчи­ вости средства измерений всегда ограничено, поэтому попытаемся синтезировать такие процедуры, которые минимизируют число измерений, необходимое для достижения заданной точности. Эта задача эквивалентна следующей: построить оценку, имеющую при заданном числе опытов минимальное рассеяние относительно истинного значения оцениваемого параметра. В качестве меры рассеяния будем использовать дисперсию погрешности оценки (6.97), т. е. будем искать такое оптимальное преобразование (ал­

горитм оценки) а (т]0,	т|п), что
М [а — а ("По,		т|п) la = min.

Синтезируемая оценка а (TJ0, ... , т|п) должна быть эффектив­ ной, состоятельной и несмещенной. Кроме того, для искомой оценки необходимо, чтобы алгоритм работал в заданном диапазоне измеряемой величины, т. е.

а	(Ь + |о,	Ь +	U	-	а (а +		| 0,	а + SJ = Ь -		а. (7.1)
	Обозначим ф (xlt		...,	х„) =		—а (0,		xlt.... хп),	тогда	посвой­
ству (7.1)		а (х0, *!,	...,		хп)	=	а (0,	хг— х0, .... хп — х0) +
+	х0 = х0 — ф \хх — х0,			..., хп — *„)»так что
	сс (Но»	Tit»	Tin) ~		Tlo	Ф(Tli		Т1о» *••> Tin	Но)-	(7-2)

Поскольку дисперсия случайной величины не меняется при сдвиге этой случайной величины на постоянную, то, как известно 139], искомая функция <р (х1? ..., хп) есть регрессия случайной

величины		относительно системы случайных величин		£х — | 0,
is	1о»	irt	io-	..., хп),
	Найдем теперь формулу для искомого алгоритма cp (хх,

учитывая, что плотность распределения случайной величины |

обозначена через р (х),			введем обозначение		/„ = | 0;		1г = —
— io. •••;	U =	in — io-	Пусть q (z0, zv	...,	zn) —		совместная
плотность распределения величин l0, llt				1п,		тогда по формуле
условного	среднего (6.93)
	м	/„	I ^оЧ (Zo.	lit • *• I		^п)
			g = J-.------------ ,

I Ч(^0. ^1» • • • »^Jl)

откуда искомая регрессия

I

^Ч(^»

Xj, • • •

• ^в) ^

Ф (*1.........*п) = 7 -----------------------

(7.3)

J

ч (*. * 1 »

• • • . *п) Л

Вычислим для

произвольной

/ (/о,

/х,

1п) ее среднее зна-

чение

|

| / (Zo. • • • »zn) ^ (Zg,

. • ., a,*) rfZ(j ... dZg x

ХЛ1/(/ф,

/j, . . . , /п) —J

J / (io.

ix

io. • • •

>in

ёо) X

X P(io)

P(in) ^io ^il

din =

= J [J

J/(20, ^ - Z o , . . .

,

Z n — Z 0)

X

X P(*i)

P(Zn) dzx

dzn)p (z0) dz0 =

=

J [ J

J /

(*0> -^1.

• • * .

X n) p (xx -J- X Q)

• • • P{Xn +

x0)dxx ... dx0] p (x0) dx0=

= J

j / (^0» •• •»X n) p (Xj

XQ) . . . P (Xn -j- XQ) dk0 . . . dkn.

Следовательно,

q (t,

x1?

...,

xn) = p{t) p (xx H- 0

p (xn +

0

и формула

(7.3)

приобретает вид

| *P (0P (*H-0

••• P(xn+ i)dt

Ф (^1» • • ♦> Хп) —

••• P ( x n +

t ) d t

(7.4)

\ p ( i ) P ( 4 - \ - t )

Поясним на двух примерах методику использования получен­ ного оптимального преобразования (7.4).

Пример 7.1. Пусть помеха £ (/) имеет нормальное распределение с нулевым ожиданием и дисперсией о3.

Имеем

тан что

P ( i ) p ( x i + t) ... р (хп + 0 =

/

1

\л+1

[

/а

1 "

откуда по формуле (7.4)

Следовательно,

а (Чо. • • • . Чп) = Чо — ф (% — Чо. • • •, Чп —Чо) =

Чо + п _j_ j [(4i —Чо) + (Ча — Чо) + *" • + (Чп — Чо)] =

__	я	£ %
		, ft=l
~ Чо — -"-г г Чо ~г „ г г
	П+ 1	я + 1

,	„
1	V	4ft.	(7.5)
— •- _ГТ	1л
П+ 1	fc=Q

Как и следовало ожидать, оптимальной оценкой при помехах, распределен­ ных по нормальному закону, оказывается выборочное, среднее с дисперсией по­ грешности оценки

D[a — а (по, . . . .	Чп)] =	D	1	(Чо Н----- +	Чп) =
			я + 1
1	(n +	l)D(6 +		f l ) - n -fl	*
(я+1)3

Пример 7.2. Рассмотрим равномерное распределение помех на промежут­ ке [—Д, 4-Д]:

д	д
£>6= j	х*р (х) dx = - j- j (x3dx) = 4 " .
~д	-д

Следовательно, при известном законе распределения, отличном от гауссов­ ского, и при использовании алгоритма выборочного среднего (7.5) в этом случае получим дисперсию выборочной средней (неоптимальную оценку)

D*k

_

Dj

_

Аа

(7.6)

rt —f—1

л + 1

3 (л -j- 1)

Используя формулу (7.4), можно найти оптимальную оценку, но для этого

найдем сначала

q (i,

xv

.... хп) =

р (t) р (t + дсх) ... р (t +*п).

Плотность q (t,

хг...... *п) ф 0 тогда

и только тогда, когда

одновременно

J t | г$Г 0,

| х* + ij

^

^ Д ,.... |*n + t\ ^

Д,

т. е.

когда

t <

min {Д, Д — Xi,..., Д — хп) =

/а

и одновременно

ах {— Д, — Д— *1, ... , — Д — хп} = /а.

Отношение

<?(') =

д(Л

Xi>•»»> Хп)

I

Я (t,

Хх,

, хп) i t

постоянно в интервале (/*, f2),

равно нулю вне этого интервала,

и

интеграл

от

q (t)

равен единице. Следовательно, q (0 — плотность равномерного

распределе­

ния в интервале (tlt /j), а Ф (*i> •••* хп) =

|/<7 (О it есть среднее значение для та­

кого

распределения,

т.

е.

ф (*i......... *п) =

ti + tj

2

=

-§ -[— Д +

max (0, — xlt

. . . ,

— хп) +

Д + min (0, — xv ... , — xn)] =

=

---- Y

[min (0,

xx.........xn) -f max (0, xlt . . . . *n)].

Учитывая формулу (7.2), получим окончательно выражение для оптимальной оценки:

« (По, • • •. Ип) = ~2 ~[min (По. • •. . Пп) + max (По, . . . . Пп)1 =

(7.7)

Оптимальная оценка равна полусумме крайних членов вариационного ряда. Можно показать, что дисперсия погрешности оценки по формуле (7.7)

п (	Ч« + Н* ^ ______ 2Да			3)	(7.8)
\	2	)	(п + 2)(« +
Неравенство
	2Д*		А»

(п+ 2) (я -j- 3)

3 (п-(- 1)

всегда выполняется. Это значит, что если нам известен закон распределения помех, то необходимо оптимизировать алгоритм обработки.

Рассмотрим теперь минимальный объем выборки, обеспечивающий							заданную
дисперсию погрешности у2. Для					среднего выборочного получаем N±= п + 1 >
1 /	Д	у	, в то	время как		для оптимальной оценки (7.7)	условие
> - д - 1	—	I
2ДаТ			^	,	к	неравенству
(N + l)(N +			2 )^ V	приводит

" • > - г ( V ' + * ( т У - 3) -

Обозначим min Nf = nj (у): min N2= ла.(у), тогда при у -> О
пй(у) - Г б М у ).	(7.9)

Так, например, чтобы обеспечить дисперсию ошибки, не большую, чем 0,1Л2, при использовании среднего выборочного следует взять не менее четырех наблюдений, в то время как для алгоритма (7.7) достаточно трех наблюдений. Раз­ ница незначительна, однако при высокой точности о2 = 0,0001 А в первом случае

понадобится 3334 наблюдения, в то время как во втором случае — только 140 наблюдений, т. е. в 24 раза меньше.

Таким образом, приведенные примеры показывают, насколько важно использовать априорные сведения о законах распределения помех при отыскании алгоритма оценки.

Перейдем далее к решению более сложной задачи. Используя формулу (7.4), попытаемся получить алгоритм оптимальной оценки полезного сигнала а = const по многократным измерениям для модели помех, обоснованной в п. 6.7.1.

Отметим здесь некоторые свойства закона распределения по­

мех при	многократных	измерениях:
	р(х’ e ) = w		exp( ~ ® 0 + e ,lW '	(7Л0)
Отметим, что
1) J хр (х, е) dx = 0$
2) р (х, 0) — нормальная			плотность р„ (х)	е дисперсией
сга ->- Os
3)	°) =	?.W	= f t W - ^ - e x p	( - ^ ) . (7.11)

Непосредственное использование выражения (7.4) для изме­ рения сигналов помех с плотностью (7.10) приводит к непреодоли­

мым аналитическим трудностям, поэтому, учитывая то, что					в вы­
бранной модели е мало, попытаемся выделить				линейную	по е
часть оптимальной	оценки a (ii0,	цп)	по	формуле (7.4):
Фе(^1> • • •	f tp (t, е)	p(t - f-		e) dt	(7.12)
	» %n) ~ ”?---------—		,
	j p (t, e)	p (t + xn, 8) dt

По	формуле	Тейлора линейная					часть	равна
	5 = *>+	е (ж ’’" L o =				f 'C 1 + 6 ( ж ln ’’O e . J •			(7ЛЗ>
Поскольку при в =				0 имеем чисто нормальное распределение,
то из	выражения (7.5)			получим
	Фо(*1.			• • •	J %п) ~		1	п	(7.14)
							п I у Л
							п"г 1	k—\
Вычисление					сводится к вычислению выражения
вида
	1п.fи W р V'				е)	р У + *». «)^ ] е=0 =
	f « (О			(*• 8>		р	+ *»•	®)1 е--о di	(7 15\
	— J		1 ™___________________J___
			J « (*) Ро (0			Ро (t + *п) &

Полагая и (f) — t или a (rf) = 1, в расчетах можно использо­ вать числитель или знаменатель формулы (7.12). Тогда

[ж Р & е)		РV +		’	e)]R__0 =
= [ 4 - ( * + * " •	е> 8—0		.£<70 (t “Ь x v)				П р 0 (t -j - Xj ) —
			k—0			/=5^=/г
п
= (у !я а ) 2	%^ +	Jfn^exp( '”			So3)	!Фк
*=°
fc=®	L \{ф к		/ I		!фк		j
X “ > • ( - £ ) ( ' + 4 - 2 х /
т. e.					N-k
J*u W	8)	P V +		*n. ®)1 _			dt ~
						J6—0

x

J e ( s - v 2 x' ) ?o( s + *‘ “ 4 - 2 jc' ) ejtp ( - S ) ds

(тжгГ*w *l;sp(®)—0 L[(2\{фк	*/)*/») / -/_2fei, 4
	1фк
х и ( - 4 - 2 х') * ( * ‘ - 4 - ] £ * / ) •		<7Л6>

(Здесь было использовано условие малости сг). Аналогично для

знаменателя		формулы (7.15) получаем
			J«(0/°o(0			Ро (< + *») Л =
		=	( т ^ ) ' ,+‘ 1 и(0ехр( ~ & ) х
		X	(я + 1 )< а+2< S				+	d t —
(	)	К М Л		6ХР (йог») . ( ?			*')	(П+ 1}	и X
									? Х!
				X	— 2оJ Xj/(n -f- 1)			]•	(7-17)
Окончательно			получим
		[ 4 1п 4 L				= о V 2* (1 + - г) X
x 2	rap( i ) x			(	2	) 7 " —(•?■*') | <л+1)+■xl

х [^т1(2Х'(2Х')- 171(х‘ - 42х')• <7Л8>

Учитывая соотношения (7.13) и (7.14), получаем из (7.18) выражение для искомого квазиоптимального преобразования

		«(%»	’Ь) - х + Т 2		%
			А=0
		_________ п		г		2	(7.19)
	- еа V	т Й П )	2 а д « <“»>ехр	L		2о‘"«+Ц
			*=0
	где	П
					1_
		4-2^- ’1,)= 4fc-
	Йй				п 2 v

/—0

Полученное преобразование состоит из линейной части, равной выборочному среднему, и некоторой «поправки», которая нелиней­ на по отношению к наблюдениям т)г. Заметим, что при измерениях без искажений (е = 0) полученное преобразование совпадает с выборочным средним. Необходимо помнить, что процедура (7.19) получена в предположении малости в и применять ее можно только там, где это предположение оправдано.

Можно, получить и точное выражение для оценки а (щ, ..., т)п)

из формулы (7.4),	предполагая,			что часть измерений не искажа­
ется, т. е. модель (7.10) переходит в
р (.х, в) = (1 — в) 6 (х) + s? (х),										(7.20)
где б (х) — дельта-функция;			у (х) — гауссовская						плотность рас­
пределения N (0, о2).
Объединяя формулы (7.4) и (7.1) после приведения к общему
знаменателю, получим			4 - 0 0		п
				j * П Р (4ft — *) 4 *
«(%>		4п) =				--------------- •				(7.21)
				f П P(^h~x)dx
				----ОО k = l
Обозначим в этой формуле				числитель через / (%,						%), а
знаменатель через	g (r\i,		т|п).		О = t + а (гц,				цп), то
Поскольку a (rji +		t,	%	+
+	.. .	>Ц п -И )		f	I	/ ( l i ' " "		4n)
g f a i +	t,	. 4n + 0			'	g (%. • • • .		4n)	*
Но				П
			+ 0 0
g(4i + 0	4*1 + 0 =		j	П р [ % — (x— t)]d(x— 0 =
			*—•0 0	& = 1
Поэтому		= § Oli>		• *•	?	Лл)*
/(4i + 0	4n +	0 =	te(4i»			4») +	/(4i.			4»)*
откуда, дифференцируя		по	t обе части, получим
£(4i>	4n) = * ^ '/(4 i +					0	4п +		0*	(7.22)
Числитель / (rji,	..., т|п) в формуле (7.21)						определим,			исполь­
зуя очевидное равенство б (х — а) б (х — Ъ) =								0	при	а ф Ъ:
			- + 0 О		П
f (4i»	4 п) =		е" |	х П у (4л -			х) dx +
			----0 0		t a = l
			п		П у (rift -
+ &n~l (l “ е) 2				4rn			Г)т ).			(7.23)
			m=l		кфм

Вычислим интеграл в первом слагаемом

+»	П
J	X П 7 (lift “ X) dx =
—оо	k~l

-х )Ч х =

- ( ? к	) "
	«-J-OD
+ (л+ *)!	“* - ( т Ё г ) " Ь ехр ( ч ) [(S2) * (х “	d x

= v (S) чо. 1 /-Т Р

где л — выборочное среднее; Sa— выборочная дисперсия. Преобразуем теперь второе слагаемое в формуле (7.23):

п	П V (Tlfc -		п	п
^ Л т		Лт) =	2 l Т|т П		V Olfc -	Лт) v (0)
т=1	кфт		т=1	к=1
	п
- * ^	2 ( •	)	* ехр ( -		я ) 2	^ -

- °° ^	( „ т т я г ) "ехр ( - щ			\ 312		’ь-ехр ( -	ц
					п
X (л — Лт) =		(о2/ ' 2n)n+V		(5) 2		ЛпУ* (Лт — Л).
					т«1
Теперь	формула	(7.23)	принимает		вид
	/ (Лъ	Лn) =	е"-1 сга /2 ™		‘ (5) у = (ел
			I»		(г\—'}т)'п		(7.24)
	+ (Г — е ) / л 2 л т ехр

ет=1	2о;

По формуле	(7.22) получим выражение для яСПь
с учетом (7.24)	найдем нужную оценку:

П

	щ + (1— е) Уп ^	Чтвхр — (Л — Tim)2 Л			]
® Oil» • • •» Чв) —	m=I		Ц
	1Ф		' —(fj—Tb)2 ”
	в Ч- (1 — е) У п ^	ехр
	m« 1		2о|	]

Оценку (7.25) можно переписать и в виде

п

т]п) и

(7.25)

2	1техР		n l гп
			2о1
гн=1
а (%»•••> Яп) = Л +	i p	/	(7.26)
			nlт
- +	m=I ехрГН
	2

где

— г)т fj; еп — ®/[(1 — е) У п J.

Аналитическое выражение для дисперсии погрешности оценки по выражениям (7.19) и (7.26) получить не удается, поэтому, как

Рис. 7.2. Зависимость оценок ч	и а	от количества повторных измерений при
е = 0 , 1 , и =	1 (а)	н е = 0,1, о = 10 (б)