книги / Оболочки и пластины

Итак, получена разрешающая нелинейная система уравнений (2,19,38), (2,19,45) и”(2,19,47) для расчета трехслойных пологих оболо­ чек несимметричной структуры с изотропными несущими слоями и же­ стким трансверсально изотропным заполнителем.

Нормальные перемещения (прогиб) через функцию % выражаются по формуле (2,19,43), а углы поворота ац следующим образом (ф нор­ мировано по-иному):

«1 =

-----^

[

у

(

у 2х Ь - Ф ,2].

V

L

Н

J

(2,19,49)

а2 =

—

■[ у

(V2X),2 +

Ф,1 j .

Тангенциальные усилия по-прежнему выражаются формулами

(2,19,36).

Полные изгибающие и крутящие моменты имеют вид

Мп = — D а*

+

V J L .)(i _

Р

V 2) x

+ ^ ( l — v ) ( l — у)

dx\dx2

. Эх?

а** Л

(2,19,50)

Л^22 —

д*ур

■

°

(

V1 ^

I

+

T

v 1'

)

’ ‘

-

D

(

1

_ v ) ( 1 _ < ’)

dxLdx2

— — D(l — v)

а2

дхгдх2■ (

‘

-

Т

^

)

х

+

+

_ I _ Z )(l_ v )(l- n )(

д2г|)

д4

dxf

Обобщенные изгибающие

и

крутящие моменты, соответствующие

параметрам аи записываются

в форме

Яц = - Dy ( ■ + v - £ - ) г +

( 1

- V)

д2\|)

dxtdx2

л dxf

дх\ •

H22 = - D

Y( ^

+ V ^

)

X - D

Y(1

■V)

д2\|)

(2,19,51)

\ дх\

dxf I

dx±dx2

» „ - - D V( . - v , 1 ^ r + i D v a - v )

д2г|)

дЦ> \

dxl

dxf

Г

Теперь сформулируем несколько

случаев

граничных условий. Прежде

всего заметим,

что граничные

условия

относительно тангенциальных

перемещений и усилий формулируются так же, как и для однородных

оболочек. Так, если на крае

хг = х\

потребовать выполнения условий

Тп — е°2 = 0,

то для

функции

ср

получим следующие

краевые усло­

вия:

Ф + F = 0,

у2(Ф +

F) = 0.

(2,19,52)

Поэтому рассмотрим

граничные условия,

касающиеся

функций % 11 ф.

характеризующих изгиб оболочки.

1. Край хх = х\ свободно оперт:

б п. М. Огибалов, М. А. Колтунов

а) диафрагма, препятствующая относительному сдвигу несущих отсутствует (w =■М,1 = Я 11= Я12 = 0)

1 >|=Е <1
	to	Х =
р	/
/ <5а	,	д2
—	+ v	dxjj '
\ ах2

<Э2Х

дхгдх2

0 , 4	(r! - - ^ V			2)x ==0 ,
дх2 'V			Р	У
- ( 1-	v)	^	-	=	°,	(2,19,53)
		дххдх2
2 \дхI	J	L	U	e	0	;
	dxV

б)	имеется диафрагма	бесконечной			жесткости,	препятствующая
относительному сдвигу несущих слоев			вдоль края оболочки
	д2х _	д2^	_	д\|з _	0.	(2,19,54)
	1 =		=	=
	dxt	дх\		дхх

2. Край^! = ^ защемлен:

а) диафрагма, препятствующая относительному сдвигу чкесущих слоев вдоль края оболочки, отсутствует (w = wti= ai = Hi2 = 0)

(l - у V2) X = Х,1 = (V2*),i = -Ф= 0;

(2,19,55)

б) имеется диафрагма бесконечной жесткости, препятствующая от­ носительному сдвигу несущих слоев вдоль края оболочки (ш = ш,i = ai = = a2= 0)

	>— 0	д	■(	Р
		dxt	[		(2,19,56)
	д\|)	=0,		= 0.
dxt
	дх2
		дх2 '		^ '

3. Край хг = хJ свободен от связей: имеем

(Мп = Йц== Мп,1 + 2Ml2,2 — в 12= 0),

/	Э*	,	д*	\	.ч	а2гЬ	= 0,	(2,19,57) ,
I—		+	’ —	b	- d - v	) ^
\	дх\		дх%)

^	+<2-v)^]('-f v1*_°-v)a -		=°'
	д*х 1	/ а«
	2	Vах!

Для рассматриваемых случаев опирания на крае существует по 4 граничных условия относительно функций % и ф и два граничных

условия для функции ф, что соответствует двенадцатому порядку урав­ нений (2,19,38), (2,19,45) и (2,19,47).

Заметим, что уравнение (2,19,45) имеет решение типа краевого эф­ фекта, т. е. решение, быстро затухающее при удалении от края. Ука­ занный краевой эффект порождается главным образом продольными связями или крутящими моментами и поэтому является второстепенным для большинства задач по определению таких интегральных характери­ стик, как критическая нагрузка или первая частота свободных колебаний.

Имеющиеся в литературе данные [20, 24] подтверждают эти сообра­ жения. Результаты расчетов свидетельствуют, что для реальных трех­ слойных пластин при определении критических сил сжатия и первых частот свободных колебаний учет уравнения (2,19,45) не необходим. Следует отметить, что этот вывод несправедлив для трехслойных обо­ лочек, теряющих устойчивость или имеющих первую форму собственных колебаний, характеризующуюся образованием большого числа волн по крайней мере в одном направлении.

Итак, уравнение (2,19,45) можно игнорировать, а во всех соотно­ шениях положить ф==0. Это означает, что поле углов поворотов в за­ полнителе потенциально. Число краевых условий в (2,19,53)—1(2,19,57) в этом «случае снижается до трех, так как четвертое условие является линейной комбинацией других.

Таким образом, окончательно имеем систему двух .нелинейных уравнений (2,19,38) и (2,19,47), общая структура которых весьма на­ поминает соответствующие уравнения теории конечных прогибов одно­

слойных оболочек Маргерра. Поэтому методы их решения					можно ис­
пользовать также при решении уравнений трехслойных оболочек.
Из	уравнений	(2,19,38)	и (2,19,47)	методом малых	возмущений
можно	получить линеаризованные уравнения устойчивости				(pi = p2= 0)
		V2v 2(Р^	(^11^.22 +	k 22W'п),	(2r19,58)
D (1 ---- V2j v 2V2X +		Ф,22^n + ф,11&22—T\ \W,\\ —2T12^,12— 7*22^,22 = 0»
где Тп, T12, T22		— усилия в первоначально безмоментном состоянии.
Рассмотрим на		основе мембранной аналогии [25, 65, 66] задачу об

устойчивости и свободных колебаниях пологих сферических оболочек и плоских пластин, прямоугольных в плане.

Полагая в уравнениях		(2,19,58)	Т i2 = 0,	Тц = Т22= Г,	kn = k22=
= R -{	(R — радиус оболочки) и добавляя к левой части второго урав­
нения	(2,19,58) инерционный член md2w/dt2, где
з					t — время),
пг = ^	Р Л (Р/г — удельная	плотность материала й-ro слоя,
k = \
получим
	v V	^ y ^ ^	- y v j x .		(2,19,59)
D (1 — ■y'V*) v V x + y v ^ + ^ y r - ^ v ^ i — у Va)x = <^
Из первого уравнения будем иметь
	УаФ=	- f - ( ! -	J V2) X +	Г.	(2,19,60)

где Г — гармоническая функция. Предположим, что края оболочки сво­

бодно

оперты,

т. е. имеют

место

условия

(2,19,52)

(при ,F = 0) и

(2,19,54). В силу этих условий функция Г = 0 .

Учитывая это и исключая

у2ср из второго уравнения, будем иметь

разрешающее уравнение

D ('1 -

т

V 1

v V x +

( m

£

+

§ - ■ - T s,i) ( ‘ -

Т

* = ° -

Полагая x=Xi(*i> *2)OOSCD^,

где со — частота

колебаний,

найдем

£> (! — Г-у - V2) vV X i +

(-§ - — Ту2 — /псо2) (l — - j у2) Xi = 0.

Решение этого уравнения будем

искать в виде

V2Xi = — *-Xi-

(2,19,61)

Тогда относительно квадрата частоты колебаний получим выражение

mcD2 =

^ + r X

+

D (l + - ^ x )

(2,19,62)

Это уравнение относительно X является кубическим, поэтому хотя бы

один его корень будет вещественным.

Из

(2,19,59]_ и (2,19,60)

следует, что при выполнении краевого усло­

вия ш = 0 будут

одновременно

выполняться

также

условия (2,19,52),

(2,19,54) для функций ф и а*.

Приведем примеры определения основных частот колебаний.

Соответствующие

решения для мембраны заимствованы из [61].

и b, а ^ Ь . Наименьшее собственное число опре­

1.

Прямоугольник со сторонами а

деляется по формуле

X = л 2 (а2 + Ь2) а~2Ь~2.

2.

Равносторонний

треугольник, А = 4л;2/*-2, h — высота треугольника.

3.

Равнобедренный

прямоугольный

треугольник, Х=Бл2а~2, а — длина катета.

4. Прямоугольный треугольник с углами, образованными катетами с гипотенузой,

равными

30°

и 60°,

Л,= 112 я 2/9 а2, а — длина

гипотенузы.

5. Равнобедренный треугольник с углом

при вершине в 30°, Х = л 4/6~2, b — высо­

та треугольника.

В работе [25] рассматриваются и другие случаи. Установленная аналогия позво­ ляет сформулировать следующие теоремы относительно основной частоты свободно опертой трехслойной сферической оболочки и плоской пластины, справедливость кото­ рых для плоской мембраны доказана в [61].

1. Из всех треугольников с данной площадью А равносторонний треугольник име­

ет наименьшее значение У х . При этом для любого треугольника с площадью А имеет место неравенство

/Х > 2 ,3 - 1/4лЛ- '/2.

2. Из всех четырехугольников с данной площадью А квадрат имеет наименьшее

значение УХ. При этом для любого четырехугольника с площадью А имеет место неравенство

V%>nV2IA.

Заметим, что теорема Релея, утверждающая, что из всех мембран с данной пло­ щадью круг имеет самую низкую основную частоту, применительно к плоской пластине и пологой сферической оболочке на основании установленной аналогии очевидна лишь

.для областей, ограниченных прямолинейными отрезками.

Рассмотрим устойчивость сферической оболочки. Положив в (2,19,61) о>2= 0 и предполагая, что оболочка находится под действием равномерного внешнего давле­

ния р так, что усилия в первоначально безмоментном					состоянии Т = — —— , имеем
PR	-D(1+Т 1)(,+Т1Г					Eh
2						R2X
						(2,19,63)
Минимизируя это выражение по Я, найдем			значение критического давления [37, 38J
	ц (2 — kp ), fyi < 1,				v -С 1,
Р =	2Dn2		1			(2,19,64)
	R3
		2 / о | <4- k ’ fy i> 1
где
		h2я2	Р -	EhR?
	-	’		вп*

Эта формула дает также значение верхней критической нагрузки полой сферы с обра­ зованием многих волн при потере устойчивости.

Отметим, что оригинальный метод, основанный на мембранной аналогии, предло­ жен в работе [65]. Здесь показано, что для наиболее распространенных видов гранич­ ных условий (скользящее защемление, свободное опирание, их' комбинация и т. д.) линейную задачу прочности, устойчивости и колебаний трехслойных пологих оболочек можно свести к хорошо изученным задачам теории однослойных оболочек. Метод осно­ ван на установлении зависимости a=Aw с последующим использованием для исклю­ чения потенциала а из уравнения изгиба и приближенного или точного определения постоянной А.

2. Теория непологих оболочек. В большинстве работ, посвященных трехслойным оболочкам, последние рассматриваются как пологие. Это объясняется тем, что основное внимание уделялось вопросам устойчи­ вости трехслойных конструкций, причем рассматривались только те задачи, в которых достаточно использование теории пологих оболочек.

Разработка теории непологих оболочек имеет значение как для прочности, так и для их устойчивости. К ’таким задачам относится, на­ пример, задача устойчивости длинных цилиндрических оболочек при действии внешнего давления, когда при потере устойчивости на окруж­ ности образуется две полуволны, или задача устойчивости цилиндриче­ ской оболочки под действием осевого сжатия с образованием длинных продольных волн.

При построении теории непологих оболочек необходимо учитывать влияние тангенциальных перемещений на изменения кривизн и сохра­ нять перерезывающие усилия в первых двух уравнениях равновесия.

К настоящему времени имеется несколько работ [24, 30, 32, 35, 43, 52], посвященных теории непологих трехслойных оболочек. Приведем вкратце вывод основных уравнений, полученных в .статье [24]. Предпо­

лагается, что деформации малы, а		прогибы конечны. Заполнитель
принят несжимаемым	в поперечном направлении. К несущим слоям
применяется гипотеза	Кирхгофа—Лява,	а к заполнителю — гипотеза

прямолинейной нормали Нейта. Ввиду малооти общей толщины обо­ лочки в недеформированном -состоянии коэффициенты первой и второй квадратичных форм несущих слоев и заполнителя приняты одинако­ выми.

Принимая гипотезу Кирхгофа—Лява для перемещений несущих •слоев, будем иметь

и* = и', — (г — г') со'., z' — ft' < z < z' -f ft',

	■и* =	и. -	(z - z") ©;, z" -		ft" < z < 2" + ft",			(2,19,65)
		2' =A + ft\		z" = — ft —ft",
где и/,	и/' — тангенциальные перемещения					срединных	поверхностей
•несущих слоев, z — нормальная координата,						отсчитываемая от средин-
.ной поверхности заполнителя о; z^O , если						измеряется в направлении
внешней	нормали;	2ft, 2ft', 2ft" — толщины				заполнителя	и	несущих
слоев соответственно;			со' = y (w	ft'u'.,	со" =	-f- ft/'w"	—	углы по­

ворота в несущих слоях. Здесь w — прогиб, одинаковый для всех слоев

оболочки, Ы. = Ь1каы\ а« и	— коэффициенты	первой и второй
квадратичных форм поверхности	о, \7г — символ	ковариантной	произ­
водной по метрике diu-	и приращения коэффициентов		квад­
Тангенциальные деформации

ратичной формы несущих слоев выражаются следующим образом:

2е« = еш+ еы + e'iie'ki + a'iak> е? = а%

(2Л9.66)

2*lk = — Vi®* — Vi®!-. Kk = V.“* — bikw.

Заменяя здесь штрих на два штриха, получим соответствующие зависи­ мости для нижнего несущего слоя. Вводя обозначения

ut	и£	и; — ut
щ = ----	2----- , ф;' ‘=	2h	(2,19,67)

для перемещений несущих слоев получим

= Щ +

и. = щ — Лср( .

(2,19,68)

Принимая гипотезу прямолинейной нормали для заполнителя, будем иметь

Щ = щ + h ~ h Oft + z

®i) -

(2,19,69)

a>i = y tw + Ь[щ.

Деформации заполнителя определяем обычным образом:

2efft = (г, +	у £“) (rk +		V*“) —V*»		(2-19,70)
где г — координатные векторы	заполнителя,			и — его вектор	перемеще­
ния. Внося (2,19,69) в (2,19,70), получим
2е« =		2&ik +	2-2qlk,		(2,19,71)
где					(2,19,72)
2e,-ft = eik +		eki + e\ekj +		©,©*,

	eik =	f		ч
		Vi [Uk +	---- -----®*J — blkw,
29IH = ViTft +	Vft(Pi +	- * *	(Vi®* + V*®i) — V*«; — 6|.V,«r
Деформации €двига заполнителя определяются формулами
		= ^	+	(2,19,73)
Для напряжений	и деформаций		имеют	место 'Соотношения упругости:
= X ikmn«W				(*> k, m, п = 1, 2),

o'* = Л/л/яле/яП> а*3= Л*3/3е13,

где Л,2/шгп, A"ihmnyA ihmn, Л,г3 ‘3— тензоры упругих констант. Составим вариацию работы деформаций

	h-\-2h'	—h	h
6W7 = I I [	I a ‘A6ei*+	I	°"£Щ к + j* (<*'*<%*-f-a*3be.k3)]dodz.
a	h	—h—2hn	—h
			(2,19,74)

Для простоты в качестве внешних сил будем брать р, т. е. внешнее нормальное давление. Тогда вариационное уравнение принципа воз­ можных перемещений примет вид

bW - Ь А , 6Л = — j j pbW do.

(2,19,75)

Внося в правую часть (2,19,75) выражения для напряжений, вариа­ ции деформаций и производя интегрирование по частям, при помощи формулы

J J	do = <J>В% ds,	(2,19,76)
a	с
где В*— произвольный вектор, 5 —дуга контура		с поверхности_а, rii —

ковариантные составляющие вектора тангенциальной нормали п к кон­

туру	с, получим
j ) [(П	Ht) bun + (Гпх+Но + Но + Мп7) Ьщ + Л5п6срп—£?6cpt—
	— М п ^ п + ( 4 + *4 - ^ г ) w ] d a + H bw +
+	{ [ -V iT cik + V/ (МЩ) + Щ(Q* + Q0] Ч + (Q*3- VH*'*) 6cpft-
	a

—

+ Vfc ( 4 + *4)1 bW}do = — ^ pbW do,

(2,19,77)

где

h+2h'

Л+2Л'

T"ik =

—Л

Т'**=

J

a’ikdz, М''к =

J

a'ikzdz,

j

a"ikdz,

h

h

—Л-2/Г

—h

(fikzdz,

Tik =

h

h

h

M"ik =

J

J

M

'*

=

Jaikzdz,

Qk3 =

| akzdz,

— f t —

2/Г

— f t

—

f t

—

f t

7 ™

=

T f +

7 ™

+

( 2 , 1 9 , 7 8 )

Mik =

A

T '* +

A

T

'*

—

_

^ 1

±

^

L

2

7

f ,

2

h

A?* = M'* +

h (T‘k — T‘k),

Ql = v,№ k 4- z' ~ 2" Q'3,

2/i

Q ‘

=

7 * * © *

+

Г ' * ©

T"ik®k,; +

Tik =

Г "

( 6 -

+

* ; * ) ,

=

Г " " ( f i j +

e £ ) ,

7 f

=

7 ^ 6 ?

+

+

- ^ - = ^

v , © * ) .

( 2 , 1 9 , 7 9

Tcn = Тсе%пк,

T°m =

Тс£кхспк, Mn —М‘кп(пк, H =

— MikXjnk,

=

Miktilnk,

H* =

— MikxLnk>

Mn — М‘кпспк,

H =

—

M£kXjXk,

Qn =

Q%> Qn =

Q4 . «л =

«£«'',

«г = щх‘,

Фл =

Ф/Я/, фт =

ф1т/ ,

an = bikn£nk,

~t — — bikx‘nk,

a = bikxlxk,

©„ =

+ аяил —Тыт, ©: = ©; +

/г^Ф,-,

©

: =

со, —

Ш

ф

у e, .k =

v t « *

—

М

»

+

A t y p J t

e"ik =

Viuk— bikW~hbi.q>,,

df

df

от скаляра

или

вектора

по нормали

я

л

——,

—— •— производные

drc

ds

с\

__

касательной

т

к

контуру

тг

ковариантные

компоненты

вектора

т;

6ij — символы

Кронекера.

и произвольности

вариаций

перемещений

из

Ввиду независимости

(2,19,77) получаются уравнения

равновесия

VtTcik -

Vi

-

ь4 (Q‘ +

Q0

=

О ,

(2,19,79a)

Qk3 —

у Д *

=

О ,

(2,19,79b)

Vk (Q* +

Q*) +

Tcikbik =

p

(2,19,79c)

и статические граничныё условия

Гп - М„ап— (Н + Н)Т= 0, Гпх + МпТ+(Н + Н )в = 0, (2,19,80а)

Мп = 0, Я =	0,	(2,19,80b)
К = О, Q„ + Qn -	*
	-%L = о.	(2,19,80с)
	UO

При выводе уравнений равновесия и граничных условий Производи­ лись пренебрежения членами порядка h/R (где R — наименьший из ра­ диусов кривизны) по сравнению с единицей.

§ 20. ТЕОРИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

Рассмотрим тонкую многослойную оболочку постоянной толщины,, составленную из произвольного числа ортотропных слоев. Оси ортотропии во всех слоях пакета параллельны координатным линиям. Предпо­ лагается, что материал оболочки испы­ тывает упругие деформации, прогибы малы, для всего пакета справедлива гипотеза Кирхгофа — Лява, при де­ формации слои не отрываются, жест­ кости слоев незначительно отличаются друг от друга.

Положительные направления для усилий и моментов даны на рис. (2.18).

Уравнения равновесия элемента слоистой оболочки не отличаются от однослойных и имеют следующий вид1:

Li(Tlt Tt, S) +	+ Л Л ? ! = 0 ,
(5 >	Rl

1 Г	дАгКх	, дАхЫ» \	Тх
АХА2 V	дах	’да2 )	Rx

Г 2	, „	п	(2,20, 1)
Я ,	™

	Lx {Мх, М2, Н) — AXA2NX=				0,
	(П г >
	где	дА2Т1 ^	di4jS	дА\	п	дА2	гр
	Li(Tl t Tt, S) =
		дах	да2	—---		---------		12
	(Ь2)			да2		да
	Lj(Mjt M3-j, Я) — операторы,		имеющие		структуру			оператора,
	L)(Th Tz~j, S), в которых вместо Th T3-j, S			поставлено			соответственно
	Mh Мз-j, H,
	Tj, S — касательные усилия, Mj, Н — моменты,

Nj — перерезывающие усилия. Символ (1, 2) означает, что последую­ щее выражение получается путем перестановки индексов в предыдущем.

1 В этом параграфе для удобства оси координат обозначены си и Ог.

Шестое уравнение равновесия удовлетворяется тождественно с по­ грешностью, «е превышающей погрешности исходных гипотез. К уравне­ ниям (2,20,1) следует добавить три уравнения совместности дефор­ маций:

								дои
					СО		Ai	2 j	со	дАх
0 . 2)	1’	— Т) +		е2. - 8‘* т)+ Ri				да2	R2	да2 = о,
	Г-г^----- \- L X( Z2, ех, -				д	•		L2 ( ех, в2,		0) >
					да2		а 2			)1 +
	L	дах Ах	V	2 )				Ч		2 j'J
				+	= 0.					(2,20,2)
				R1	R2
Здесь	Xj,	т — изменения		кривизн,	ех, со — деформации.					Операторы
L (щ-j,	Xj, — т), Lj (е3_;-, Sj,---- аналогичны указанным								выше.

Исключим из первых трех уравнений равновесия (2,20,1) перере­ зывающие силы N j . В соответствующих двух уравнениях совместности деформаций (2,20,2) опустим часть несущественных (подчеркнутых членов порядка h/R). После этих преобразований получим

Li (Тъ Г„ S) +	-i- Lx (Мх, М2, Я) + AxA2qx= 0,	(2.20.3)
(i|)	Rl
(*2, v.x, —t) -f- — Lx ^ e2, ej, — ) = 0,		(2.20.4)
(1.2 )

	—		Г —
	Л1А2 L		ddi
1	f а	*	1 г
			"
А\А2	[_ ddi		Ах

.± - L X{MX,M 2, H) + - £						A2		Mv H) —
AI				оa
	Al		£ +<7з =		0,				(2,20,5)
			A2				f		(0 \
/	в.,	со	'	/	•	*		-- е1»
( 62,							L2(		e2» ~Z~ )
V	1 2 J) + '			до-2		A2	'4		2 J
		х2	Xi • = 0.						(2,20,6)
		Ri	R2

Пары уравнений (2,20,3), (2,20,4), (2,20,5) и (2,20,6) по своей структуре симметричны. Достаточно в каждом из них установить соот­ ветствие величин

	Тх*—•►х2, Т2*—*хх, S			►	т,
Мх*~*— е2, М2*~*— ех,				Я		(2,20,7)
Тогда из уравнений	(2,20,3),	(2,20,5)	можно		получать	при помощи
(2,20,7) уравнения	(2,20,4),	(2,20,6).	Такую		симметрию	уравнений тео­

рии оболочек принято называть статико-геометрической аналогией. Впервые статико-геометрическая аналогия была установлена А. Л. Голь­ денвейзером.