книги / Моделирование систем.-1

3.10. Применение второй теоремы подобия для определения критериев подобия ( -теорема)

Всякое полное физическое уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц измерения, может быть представлено функциональной зависимостью между критериями подобия, полученными из участвующих в процессе параметров.

Доказательство второй теоремы основано на свойствах степенных рядов. Дополнение к теореме:

F P1, ..., Pn 0; 1, ..., m 0.

(3.123)

Если математическое описание известно, то критери-

альное уравнение получается на основе подстановки критериев в основное уравнение.

Пример:

1 2 3 sin 4 0,

1 3 sin 4 2 .

Таким образом, согласно второй теореме, количество независимых критериев равно m – 1 или n – k – 1, где n – количество всех параметров, k – количество независимых параметров.

Когда математическое описание F P1, ..., Pn 0 не из-

вестно, критериальное уравнение записывается в форме

i 1,..., i 1, i 2 ,..., m 0,
	(3.124)
i 1,..., i 1, i 2 ,..., m .

-Теорема показывает, что среди m критериев всегда найдется один критерий, который является функцией остальных критериев. Количество независимых критериев n – k – 1.

111

Эта теорема утверждает, что полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено зависимостью между критериями подобия, т.е. зависимостью, связывающей безразмерные величины, определенным образом полученные из участвующих в процессе параметров.

Вторая теорема (как и первая) основывается на предпосылке, что факт подобия между процессами известен. Она устанавливает число критериев подобия и существование однозначной зависимости между ними. Выражение для критериев подобия могут быть получены, если известен состав параметров процесса, но не известно его математическое описание.

Однако вторая теорема (как и первая) не указывает способов выявления подобия между сопоставляемыми процессами и способов реализации подобия при построении моделей.

-Теорема позволяет заменять переменные, сократив их число с m размерных величин до m – k безразмерных величин, и тем самым записывать уравнения процессов в критериальной форме. При этом облегчается обработка аналитических и экспериментальных исследований, так как связи между безразмерными -критериями подобия выявляются, как правило, проще, чем связи между именованными величинами.

3.11. Методика определения критериев подобия на основе анализа размерностей

Анализ размерностей параметров, участвующих в процессе, позволяет получить выражения для критериев подобия в наиболее общем случае, когда математическое описание этого процесса неизвестно. Прежде чем приступить к изложению методики, сформулируем необходимые исходные положения.

Различаются полные и неполные уравнения, описывающие исследуемый процесс.

112

Полное физическое уравнение f(P1, P2, P3, P4, ..., Pi, ...,

Pm) = 0 учитывает все связи между входящими в него величинами P1, ..., Pm и справедливо при изменении системы единиц измерения этих величин.

Неполное уравнение f(P1, P2, P3, K1, ..., Kj, ..., Kn) = 0 от-

ражает только некоторые частные зависимости между переменными (P1, P2, P3), справедливые в том случае, если переменные (P4, ..., Pm), определенные при конкретных условиях, далее полагаются постоянными применительно к некоторым частным случаям [т.е. коэффициентами (K1, ..., Kj, ..., Kn; Kj = const, j = 1, ..., n)]. Неполное уравнение становится полным, если рассматривать коэффициенты Kj как величины, имеющие размерность и изменяющиеся при изменении системы единиц измерения, т.е. раскрыть функциональные связи вида

Kj = fj(P4, ..., Pi, ..., Pm), j = 1, ..., n.

(3.125)

Как было сказано ранее, группой независимых парамет-

ров называется такая группа параметров, в которой размерность ни одного из них не может быть образована из размерностей других параметров, принадлежащих той же группе. Если параметры зависимы, то нельзя все характеристики выбирать произвольно.

Пример 1. Произвольно выбрав величины для измерения тока и напряжения, нельзя произвольно выбирать величины, измеряющие сопротивления и мощность.

Признаком независимости параметров P1, P2, P3, ..., Pk является существование хотя бы одного определителя порядка k, отличного от нуля, который образуется из элементов матрицы, составленной из показателей степеней при основных единицах измерения в формулах размерностей этих параметров.

Пример 2.

P1 L 1 M 1T 1 ; P2 L 2 M 2 T 2 ; P3 L 3 M 3T 3

для независимости группы параметров P1, P2 и P3 необходимо неравенство нулю определителя

113

	λ	1	μ	τ	1
			1
D	λ	2	μ	τ		2	.
			2
	λ	3	μ	τ		3
			3

Для физического процесса, полностью характеризуемого m размерными параметрами P1, ..., Pk, Pk+1, ..., Ps, ..., Pm, среди которых k параметров P1, ..., Pk являются независимыми, существует m – k критериев подобия 1, ..., m-k. Число k равно рангу матрицы, образованной показателями степеней при основных единицах измерения.

Этапы определения критериев подобия:

I. Выявление параметров P1, ..., Pi, ..., Pm, характеризующих рассматриваемый процесс.

Соотношение, отражающее существенные связи между параметрами процесса и элементов системы, в которой процесс протекает, представляется полной функциональной зависимостью вида

F P1, P2 , , Pn 0 .

(3.126)

II. Составление полной матрицы размерностей A для параметров Pl.

Для составления матрицы размерности всех параметров P1 , P2 , , Pn записываются в основных единицах выбранной

системы измерения [a, b, , q].

Количество строк полной матрицы размерностей A соответствует общему числу параметров n, а количество столбцов – числу основных единиц измерения l, строки матрицы образуются показателями степеней при основных единицах измерения параметров.

Полная матрица A размером n l.

114

	1 1 1					P1
	i i i					Pi
A						(3.127)
	s s s					Ps
						Pm
	m m m

где символ соответствия.

III. Определение числа независимых параметров и числа критериев подобия.

Число k независимых параметров равно рангу k полной матрицы размерностей A, а число критериев подобия – разности между общим числом параметров n и числом независимых параметров k. Ранг матрицы – наибольший порядок отличного от нуля определителя, который составлен из элементов строк данной матрицы с сохранением порядка их следования.

Число k независимых параметров не может превышать числа l основных единиц измерения, следовательно, ранг

матрицы всегда не больше l (k l). Общее число определителей Nl порядка l равно сочетанию из n по l:

N		C l		n!		.	(3.128)
				l! n l !
	l	n

В общем случае признаком зависимости является пропорциональность соответствующих строк матрицы либо возможность представления какой-либо из ее строк в виде линейной комбинации других строк.

IV. Определение конкретного состава группы независимых параметров P1, ..., Pk и числа форм записи критериев

подобия F .

В состав группы из k независимых параметров входят такие параметры, для которых существует хотя бы один оп-

115

ределитель, не равный нулю порядка k, составленный из эле-

ментов частичной матрицы размерностей размером k q. Общее число возможных форм записи критериев подо-

бия F равно:

–числу отличных от нуля определителей порядка l, если ранг полной матрицы размерности k = l;

–числу комбинаций из n параметров по k, у которых

ранг частичной матрицы размером k l составляет k, если ранг полной матрицы размерности k < l.

V. Определение выражений для критериев подобия 1,

..., m–k в какой-либо форме записи.

Для определения выражений критериев подобия в исход-

ной зависимости F P1,

P2 , ..., Pn 0

параметры P1 , P2 , , Pn

перегруппировываются,

и

эта

зависимость представляется

в виде

F P1 , , Pi , Pk , Pk 1 , , Ps , , Pn 0 ,

(3.129)

где

P1 , , Pi , , Pk – независимые параметры в какой-либо

комбинации; Pk 1 , , Ps , , Pn

– зависимые параметры.

Исходные формулы для определения выражений крите-

риев

подобия имеют

следующий

вид (число

критериев

m = n – k):

1

Pk 1

;

Px1 ... Pz1

1

1

s

Pk 1

;

(3.130)

Pxs ... Pzs

1

1

m

x

Pk 1

z .

P m ... P m

1

1

116

Для определения конкретного вида выражений критери-

ев подобия 1, ..., m необходимо найти значения показателей степеней x1, ..., xm, y1, ..., ym, z1, ..., zm при независимых параметрах P1, ..., Pk.

Критерии подобия – безразмерные величины, следовательно, размерности числителей и знаменателей в выражени-

ях для критериев подобия одинаковы, отсюда для s можно записать

Ps P1 xi ... Pk zi

(3.131)

или

a s b s q s a 1 b 1 q 1 xi a k b k q k zi . (3.132)

Далее получаем систему из k уравнений с k неизвестными xi, ..., zi при a, b, ..., q соответственно. Система получается путем приравнивания показателей степеней при одноименных единицах измерения a, b, ..., q в левой части выражения для Ps и в правой части, записанной в виде произведения формул размерностей независимых параметров:

	s 1xi k zi ;
	βs β1xi βk zi ;	(3.133)
	ξs 1xi ξk zi .

После определения значений степеней при независимых параметрах выражения критерия подобия записываются в окончательном виде.

Кроме этой записи, можно определить выражения для критериев подобия и в любой другой форме записи, соответствующей иному составу группы независимых параметров

P1, …, Pk.

VI. Представление описания исследуемого процесса в виде критериального уравнения.

Исследуемый процесс представляется функциональной зависимостью между найденными критериями подобия:

117

( 1, 2, ..., i, ..., m–k) = 0.

(3.134)

При этом следует учитывать, что один из критериев подобия (определяемый) обязательно является функцией остальных (определяющих или независимых) критериев подобия и, следовательно, автоматически выполняется при соблюдении независимых критериев подобия, можно окончательно записать критериальное уравнение в виде

1 = 2, , i, , m–k).

(3.135)

Таким образом, число величин, определяющих характер исследуемого процесса, сокращается с n до (n – k – 1).

Пример. Определить критериальные уравнения, соответствующие переходному процессу тока i(t) для последовательной цепи с активным сопротивлением R, индуктивностью L, емкостью C, включенной на напряжение u, меняющееся во времени по синусоидальному закону с угловой

скоростью . Критерии подобия определяем в соответствии

свышеприведенной методикой.

I. Выявляем параметры P1, ..., Pi, ..., Pm, характеризующие рассматриваемый процесс:

f(i, t, R, L, C, u, ) = 0.

II. Составляем полную матрицу размерностей A для параметров Pl:

i L0 M 0 T 0 I1 ,u L2 M 1 T 3 I 1 ,

R L2 M 1 T 3 I 2 ,

L L2 M 1 T 2 I 2 ,

C L 2 M 1 T 4 I 2 ,

t L0 M 0 T1 I 0 ,

L0 M 0 T 1 I 0 .

118

Полная матрица A размером 7 4 имеет вид

0	0	0	1	[i]
2	1	3	1	[u]
2	1	3	2	[R]
A 2	1	2	2	[L]
2	1	4	2	[C]
0	0	1	0	[t]

00 1 0 [ ]

III.Определяем число независимых параметров и число критериев подобия.

В соответствии с формулой (3.128) общее число опреде-

лителей Nl = 35.

Все определители 4-го порядка равны нулю. Далее анализируются определители порядка q – 1, и т.д. В примере не равен нулю определитель 3-го порядка, у частичной матрицы, составленной из второй, третьей и пятой строк полной матрицы, два из четырех возможных определителей не равны нулю, следовательно, ранг полной матрицы A равен трем:

				2	1	3	1					[u]
Ai				2	1	3	2				[R]
				2	1	4	2					[C]

Поэтому число независимых параметров k = 3, число

критериев подобия K = n – k = 7 – 3 = 4.

IV. Определяем конкретный состав группы независимых параметров P1, ..., Pk и число форм записи критериев подо-

бия F .

В примере имеется 35 частичных матриц (C74 = 35) раз-

мером 3 4, каждая из которых соответствует комбинации трех параметров. Из них 22 матрицы имеют ранг, равный трем, т.е. существуют 22 комбинации независимых параметров, и для четырех критериев подобия (K = 4) возможны 22 формы записи (F = 22).

119

V. Определяем выражения для критериев подобия 1, ...,

m–k в какой-либо форме записи.

Для группы независимых параметров u, R, C f(u, R, C; i, L, t, ) = 0.

Исходные формулы для определения выражений критериев подобия имеют следующий вид (число критериев

K = m = n – k, в примере K = 4):

1		i	;		2			L	;
	ux1 Ry1C z1						ux2 Ry2 C z2
3		t		;	4			ω		.
		ux3 Ry3C z3					ux4
								Ry4 C z4

Для определения конкретного вида выражений критери-

ев подобия 1, ..., m–k необходимо найти значения показателей степеней x1, ..., xm–k, y1, ..., ym–k, z1, ..., zm–k при независимых

параметрах P1, ..., Pk (в примере x1 – x4, y1 – y4, z1 – z4 при параметрах u, R, C).

Для 1 соотношение имеет вид

i u x1 R 1 C z1

или

[L0M0T 0I 1] = [L2M 1T –3I –1]x1 [L2M 1T –3I –2] y1 [L–2M –1T 4I 2]z1.

Система уравнений имеет вид

0= 2x1 + 2y1 – 2 z1; 0 = x1 + y1 – z1;

0 = –3x1 – 3y1 + 4z1;

1 = – x1 – 2 y1 + 2z1.

Решение системы дает x1 = 1, y1 = –1, z1 = 0. Аналогично составляются и решаются системы для других неизвестных. Окончательно значения их следующие:

120