книги / Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье

Теорема 3. Предельный признак сравнения

Пусть даны два знакоположительных ряда

∞

a1 + a2 + a3 + … + an + … = an

n=1

и

∞

b1 + b2 + b3 + … + bn + … = bn .

n=1

Если существует конечный, отличный от нуля, предел

lim an = k,(0 < k < ∞ ),

n→∞ bn

то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Для подбора вспомогательных рядов можно использовать:

– «эталонные» ряды;

– ограниченные функции:					sin x		≤ 1,		cos x		≤ 1;
– бесконечно большие эквивалентные величины:
многочлен	a xn + a xn−1		+ a xn−2 + … + a								~ a xn , при n → ∞,
	0	1	2						n	0

a0 ≠ 0;

Бесконечно малые эквивалентные величины:

если α(n) → 0 при n → ∞ , то

sinα(n) ~ α(n), tgα(n) ~ α(n), arcsinα(n) ~ α(n), arctgα(n) ~ α(n), ln(1+ α (n)) ~ α (n), eα(n) − 1 ~ α (n), aα(n) − 1 ~ α (n) lna.

Пример 4. Исследовать ряд на сходимость:

1 + 1 + 1

+ ... +

1

+ ... = 1 .

∞

ln 2 ln 3 ln 4

ln (n)

n=2

ln (n)

Общий член ряда an =

1

.

ln (n)

11

∞ 1

n=1 n

Натуральный логарифм числа меньше самого числа:

тогда ln1(n) > 1n , имеем bn = 1n . Вспомогательный ряд нический ряд, расходится. Имеем

ln(n) < n ,

– гармо-

1

> 1.

∞

∞

n= 2

n=1 n

ln (n)

Следовательно, исходный ряд расходится по признаку срав-

нения.

Пример 5. Исследовать ряд на сходимость:

1

1

1

1

1

∞

+

+

+ … +

+ … =

.

1 +1

23 + 2

33 + 3

n3 + n

n3

n=1

+ n

Общий член ряда

an =

1

. Подберём вспомогательный

n3

+ n

ряд. Отбросим в знаменателе младшее слагаемое n, имеем

a =

1

1

=

1

= b .

n

n3 + n

n3

3

n

n2

Вспомогательный ряд

= 13 .

1

∞

∞

n=1

n3

n=1 n2

Обобщенный

гармонический

ряд

с

показателем степени

α =

3

> 1 сходится. Применим предельный признак сравнения. Най-

2

дём предел отношения:

a

= lim

1

1

= lim

n3

= lim

n3

= 1.

lim n

:

n3 + n

n3

+ n

n→∞ bn

n→∞

n3 + n n3

n→∞

n→∞

12

Предел отношения – конечный, отличный от нуля. Вспомогательный ряд сходится, следовательно, сходится и исходный ряд.

Пример 6. Исследовать ряд на сходимость:

	1		1							1										1					1
arctg			arctg					arctg												arctg				∞	arctg
					2							3										n					n
	3	+			3		+					3		+ …+								3		+ … =			3			.
2			2	2						3										2	n				2	n
									2															n=1
																1
											arctg
																n
Общий член ряда a									=					3					. Найдём предел числителя:
								n					2n
																1				= 0.
								lim arсtg
																n
								n→∞								3

Воспользуемсяэквивалентнымибесконечномалымивеличинами:

	1			1	при n → ∞.
arсtg			~
	n			n
	3			3

Составим вспомогательный ряд:

arctg

1

1

1

1

n

n

a

=

3

3

=

=

= b .

2n

2n

2n 3n

6n

n

n

Ряд

∞ 1

n=1 6n

сходится (убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q = 16 < 1).

Найдём предел отношения:

1

1

n

an

arctg

1

arctg

6

n

n

lim

= lim

3

:

= lim

3

=

2n

6n

2n

n→∞ b

n→∞

n→∞

n

13

1

2

n

n

1

arctg

3

1

arctg

n

n

n

3

3

= lim

= lim arctg

3

= lim

= 1.

2

n

n

1

n→∞

n→∞

3

n→∞

3n

Предел отношения – конечное число, вспомогательный ряд сходится, следовательно, исходный ряд сходится по предельному признаку сравнения.

Пример 7. Исследовать ряд на сходимость:

2

1

sin

2

2

sin

2

3

sin

2

(n)

∞

sin

2

(n)

sin

+

+

+ …+

+ … =

.

3 1+1

3 22 + 2

3 n2 + n

3 32 + 3

n=1

3 n2 + n

Общий член ряда

sin2 (n)

a

=

.

n

3 n2 + n

Предел lim sin2

(n) не существует,

предельный признак срав-

n→∞

нения не применим. Функция 0 ≤ sin2 (n) ≤1, тогда

a

=

sin2 (n)

≤

1

<

1

= b .

n

3 n2 + n

3

n2 + n

3 n2

n

Вспомогательный ряд

1

,

∞

n=1

3 n2

расходится как обобщённый гармонический ряд, с показателем степени α = 23 < 1. Больший ряд расходится, но про меньший ряд ниче-

го сказать нельзя – он может как сходиться, так и расходиться. Ограничим общий член ряда an снизу:

sin2 (n)	≥	1	=		1	= c .
3 n2 + n		3 n2 + n2	3		2n2	n

14

Вспомогательный ряд:

∞ 1 ,

n=1 3 2n2

расходится как обобщённый гармонический ряд, с показателем сте-

пени α = 23 < 1. Меньший ряд расходится, значит, расходится

и больший ряд. Следовательно, исходный ряд расходится по признаку сравнения.

В данном примере нам пришлось ограничивать ряд снизу, получили такую цепочку неравенств:

c =	1	=	1	≤	sin2 (n)	≤	1	<		1	= b .
n	3 2n2		3 n2 + n2		3 n2 + n		3 n2 + n	3		n2	n

Исходный ряд расположен между двумя расходящимися ря-

дами.

Пример 8. Исследовать ряд на сходимость:

3		+ 1				3	+ 1					3		+ 1							3	+ 1		∞			3	+ 1
	2			+		3		+				4				+ … +				n				=		n			.
3 4		− 2			3	4	− 3			3		3		− 4					3	n	4	− n			3	n	4	− n
2						3						4												n=2
Преобразуем общий член ряда:
														3	+ 1		3
							3							n							9
		a		=		n + 1				=		6	(			)		~	6 n			= 6		n = b .
													(n4 − n)2
		n				3 n4 − n														n8					n
Вспомогательный ряд												6 2 + 6 3 + 6 4 + … + 6 n + … расходится,

как возрастающая последовательность.

15

Найдём предел отношения:

3

n

3

+ 1

3

lim an

= lim

n

+ 1

: 6

n = lim

(

)

1

=

6

(n4 − n)2

n→∞ bn

n→∞

3 n4 − n

n

→∞

6

n

= lim

6

n9 + 3n6 + 3n3 + 1

= lim

6

n9

+ 3n6 + 3n3 + 1

= 1.

(n8 + 2n5 + n2 ) n

n9 + 2n6 + n3

n→∞

n→∞

Предел отношения конечен. Вспомогательный ряд расходится, следовательно, исходный ряд тоже расходится.

Пример 9. Исследовать ряд на сходимость:

∞

n − 1).

(

n −

n=1

Преобразуем общий член ряда:

an = ( n −

n − 1) =

( n − n − 1)( n + n − 1)

=

1

.

n +

n − 1

n +

n − 1

Составим вспомогательный ряд:

an = (

n − n − 1) =

1

~

1

<

1

= bn .

n +

n − 1

2

n

n

Вспомогательный ряд

∞ 1

n=1 n

расходится, как обобщённый гармонический ряд, с показателем степени α = 12 < 1.

Найдём предел отношения:

	lim an	= lim	1	:	1	= lim	n	=
			n + n − 1		n		n + n − 1
	n→∞ bn	n→∞				n→∞

16

	= lim	n	= lim		n	=	1 .
		n + n		2	n
	n→∞		n→∞				2

Предел отношения конечный. Так как вспомогательный ряд расходится, то расходится и исходный ряд по предельному признаку сравнения.

Теорема 4. Признак Даламбера

Пусть дан ряд с положительными членами a1 + a2 + a3 + … + an + ….

Если существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему

lim an+1 = l,

n→∞ an

то при l > 1 ряд расходится, при l < 1 ряд сходится.

При l = 1 признак Даламбера неприменим: ряды могут быть как сходящимися, так и расходящимися. В этом случае применяются другие признаки.

Признак Даламбера удобно использовать, когда общий член ряда содержит выражения вида n! или an .

Пример 10. Исследовать ряд на сходимость:

1 1 4 1 4 7

1 4 7 10

1 4 7 10 … (3n − 2)

5 +

+

+

… +

+ …

5 9

5 9 13

5 9 13 17

5 9 13 17 … (4n + 1)

Общий член ряда an и следующий за ним an+1 рассчитывают-

ся так:

1 4 7 10 … (3n − 2)

a =

,

n

5 9 13 17 … (4n + 1)

a

=

1 4 7 10 … (3n − 2) (3(n +1) − 2)

=

n+1

5 9

13 17 … (4n +1)(4(n +1) +1)

1 4 7 10 … (3n − 2) (3n +1) = 5 9 13 17 … (4n +1)(4n + 5).

17

	Найдём предел отношения:
	lim an+1 = lim		1 4 7 … (3n − 2)(3n + 1)					:	1 4 7 … (3n − 2)		=
			5 9 13 … (4n + 1)(4n + 5)						5 9 13 … (4n + 1)
	n→∞ an	n→∞
	= lim	1 4 7 … (3n − 2)(3n + 1)					5 9 13 … (4n + 1)			=
		5 9 13 … (4n + 1)(4n + 5)
	n→∞						1 4 7 … (3n − 2)
			= lim	(3n + 1)	=	3 < 1.
			n→∞	(4n + 5)		4

Предел отношения меньше единицы, следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

Пример 11. Исследовать ряд на сходимость:

3 + 32

+

33

+ 34

+ … + 3n + ….

2!

3!

4!

n!

Общий член ряда a

=

3n

, и следующий за ним a

=

3n+1

.

n!

(n + 1)!

n

n+1

Найдём предел отношения:

lim

a

= lim

3n+1

:

3n

= lim

3n+1 n!

= lim

3

= 0 < 1.

n+1

(n + 1)!

n!

(n + 1)! 3n

n→∞

an

n→∞

n→∞

n→∞ n + 1

Предел отношения меньше единицы, следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

Теорема 5. Радикальный признак Коши

Пусть дан ряд с положительными членами a1 + a2 + a3 + … + an + …

Если существует предел

lim n an = l,

n→∞

то при l > 1 ряд расходится, при l < 1 ряд сходится.

Если l = 1, то признак неприменим: ряды могут быть как сходящимися, так и расходящимися.

18

Пример 12. Исследовать ряд на сходимость:

∞		2n3 + 3n + 1				n
						.
		3	+ 2n	2
n=1		5n			− n

Общий член ряда содержит степень n. Применим радикальный признак:

lim n an = lim n

2n3 + 3n + 1

n

= lim

2n3 + 3n + 1

=

2

< 1.

5n

3

+ 2n

2

3

+ 2n

2

− n

5

n→∞

n→∞

− n

n→∞ 5n

Предел меньше единицы, следовательно, ряд сходится.

Пример 13. Исследовать ряд на сходимость:

∞

1 n + 1 2n

.

n

n

n=1

2

Вычислим предел:

lim n a

= lim n

1

n + 1

2n = lim

1 n + 1 n

=

1 lim

1+

1 n

=

e

> 1.

n

n→∞

n

n

n→∞

n

2

n→∞ 2

2

n

2 n→∞

Предел больше единицы, следовательно, ряд расходится по

радикальному признаку Коши.

Теорема 6. Интегральный признак Коши

Если члены знакоположительного ряда

a1 + a2 + a3 + … + an + …

могут быть представлены как числовые значения некоторой непре-

рывной монотонно убывающей на промежутке	[1: +∞)	функции
f (x) так, что a1 = f (1), a2 = f (2), a3 = f (3),..., an = f (n),... то,
	∞
1) если сходится несобственный интеграл	f ( x)dx,	то схо-

1

дится и числовой ряд;

19

∞

2) если расходится несобственный интеграл f (x)dx, то рас-

1

ходится и числовой ряд.

Замечание. Нижний предел интегрирования может быть больше единицы, например k.

Теорема 6 опирается на геометрический смысл определённого интеграла: площадь криволинейной трапеции. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции

y = f (x), основанием служит отрезок оси Ox от x = 1 до x = n. Значения an = f (n) находятся на графике функции.

Пример 14. Доказать, что гармонический ряд расходится:

1	= 1+ 1 + 1 + 1	+ … + 1 + …
∞
n=1 n	2 3 4	n
Необходимое условие выполняется: lim an			= 0.
		n→∞
Общий член ряда совпадает с функцией			an = f (n) =	1 .	Рас-
				n

смотрим функцию f (x) = 1x , она удовлетворяет условиям теоремы 6

на промежутке x [1;∞). Вычислим несобственный интеграл:

∞			b			(lnx		1b ) = lim
	1 dx = lim		1 dx = lim						(lnb − ln1) = lim lnb = ∞.
1	x	b→∞	1	x	b→∞			b→∞	b→∞

Несобственный интеграл расходится, следовательно, гармонический ряд расходится по интегральному признаку Коши.

Пример 15. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд:

1α = 1			+ 1α + 1α + 1α + … + 1α + …
∞
n=1	n		2 3 4							n

20