книги / Цифровая обработка сигналов в измерительной технике

С точностью до величин второго порядка малости относительно пср грешности дискретизации сумму можно заменить интегралом

Д У (/ >= у - f	(/ lx (t -	At), a] - f i x (t), a\)dt =
*0
=	At),	a] dt — ~f~ j / [x (t), a] dt.
0		0

Преобразуем это выражение, для чего сдвинем начало отсчета на ве­

личину At,	что эквивалентно замене переменных V =	t — At. Для
алгоритмов	усреднения (1), взаимно корреляционной	обработки (3>

и автокорреляционной обработки (4) такая замена не изменит вида алгоритмической функции, а для алгоритма корреляционной обработ­ ки (2) в алгоритмической функции параметр (3V следует заменить на Pv+ v(ùAtCM= Pv+ Apv. Для периодических функций сдвиг пределовинтегрирования не меняет величины интеграла по периоду. Поэтому, если входные сигналы периодичны с периодом Т, то для алгоритмов усреднения (1), взаимно корреляционной обработки сигналов (3) и авто­

корреляционной обработки	(4) погрешность,	обусловленная систе­
матической составляющей	А4м,
Д У)? =	Д У $ = ДУЙ* =	0.

Для алгоритма корреляционной обработки сигналов (2) погреш­ ность, в соответствии со сказанным,

AYt2 — ~~2 ~[Av cos (фу vcûA/см Pv) ^4у cos (фу Pv)]«

Если, например, алгоритм (2) используется для определения ам­ плитуды и фазы v-й гармоники сигнала, то наличие систематической составляющей приводит только к фазовой погрешности Афу =

== VCOA^CM*

Для вычисления погрешности, вносимой случайной составляющей* воспользуемся соотношениями, приведенными в гл. 1.2. Поскольку математическое ожидание случайной составляющей М (Д|,) = =' (А^) = 0, то для вычисления математического ожидания погреш­ ности необходимо в разложении алгоритмической функции учесть члены второго порядка малости. Если дисперсия величины А^ оди­ накова во всех точках дискретизации, то математическое ожидание можно вычислить с помощью формулы (14), а дисперсию — с помощью формулы (18).

Для каждого из алгоритмов получим оценки математического ожи­

дания и дисперсии погрешности			AVj2\ обусловленной случайной сос­
тавляющей смещения точек дискретизации.
Ij Алгоритм усреднения (1). Алгоритмическая функция с учетом
временного смещения	точек	дискретизации
	/ (^) =	д:(^ ~		А^см — Ag,);
Лк	dxj	_	Xit	*ft _ d4t _ ::
дь	•- dit	~

ar

Д ля сокращения записи производные по времени обозначены точками.

Из формулы (14) получим

уп2 m—1

где асы — (А|г) — дисперсия случайной составляющей погрешности вмещения. Заменяя сумму интегралом, находим

<ДЦ?> =	\x {t)d t = - ÿ ü - [x (T )-x (Q )l
	О
•Из этого соотношения вытекает, что		для периодических -функций
математическое ожидание	(AY*?*) = 0, так как х (Т) = к (0).
В соответствии с формулой (18) для дисперсии получим
	Ь2п2	т - 1

D ( A r S ? ) = - ^ 2 (*,)а. m t=o

Оценивая величину дисперсии по максимуму, найдем Ыгг2

Таким образом, постоянная составляющая во входном сигнале не дает вклада в дисперсию. Если переменная составляющая сигнала близка к гармоническому сигналу, то

X»,

(72)

где X — действующее значение переменной составляющей входного -сигнала; © — круговая частота входного сигнала.

2. Алгоритм корреляционной обработки (2). Алгоритмическая функция

4 t = — x&Vi)\ - | | - = а д & ).

Переходя, как и в предыдущем случае, к интегралу, получаем

и 2 Т

W ® ) = ^ L y x { t ) q ( t ) d t .

о

При ф (0 = cos (vcot + pv) это выражение преобразуется к виду

ko2 .

<ДУ$> — {[*(Т) — х (0)] cospv + vco [х(Г) — х (0)] sinpv—

— (VCÛ)2 7 T 2}.

Для периодических функций

<ДГ}!>> =ч— ç-k (OCMVсо)* Y,.

(73)

Как видно из формулы (73) *случайная составляющая временного сме­ щения приводит при корреляционной обработке сигналов к амплитуд­ ной погрешности, которая квадратична по помехе.

Оценку дисперсии получим из соотношения (19):

1 ,2 - 2	т—1
D(AY$)==	(tt).
т	t=0

При оценке дисперсии по максимуму

D(&r&)

( i V W

Если входной сигнал близок к гармоническому с круговой частотой со, то при ср (t) = cos (vcot + pv), дисперсия

D(AVjf) =

X \

(74)

3. Алгоритм взаимно корреляционной обработки (3). Если при об­ работке сигналов вначале проводится раздельная и независимая дис­ кретизация сигналов хх (t) и хг (t),то алгоритмическая функция

т = * (и- д< - дб») * 2(ti—и —д|2Л

где Дlu и Д|гt — независимые случайные величины. В этом случае производные алгоритмической функции

дЧ,	••	d4i	x2ixu.
- é r =	Х11Х2Г,	- Л - =
dfu-

Используя формулу (12), получаем оценку математического ожида­ ния:

<ДКЦ> (о1ЛиХ21+ о2алх21хи). ш t=o

Переходя от суммы к интегралу и интегрируя по частям, находим

(ЛК)2з>>	&	(г )*2V ) - *i(0)**(0)] +
		Т
“Ь Ог 1% 2 (^)	(Т) — X2(0) Xi (0)] —■(OICM+ 02см) ^ xLx2dt
Для периодических сигналов		0	J
< Л У & = -		J X ^ d t.
		0
. Если входные сигналы близки к гармоническим,			то
	<ЛYff) =	We. + Чем)»*,	(75)

В соответствии с формулой (18) дисперсия

т—1

	D (ЛУ1з) =-±5Г		S (CTlcMX\tX2l+				olcvixbxu)*
		т	i=О
Оценка дисперсии по максимуму
^ (Д Г я ? ) ^		(А2//Л ) (о 1см^1макс<^2макс 4 “ 0^2см^2макс^1макс)-
Если сигналы близки к гармоническим, то, при а\ш — а2См*
D (ДК$) =	* У	(1 + 2 sin2 (шт — ф)) X ÎX Î<						3-У		(76)
где Х г и Х 2— действующие значения сигналов;								ф — фазовый сдвиг
между сигналами.						значения сигналов				снача­
Рассмотрим случай, когда мгновенные
ла перемножаются,		а затем	результат перемножения						подвергается
дискретизации. При этом алгоритмическая функция
	т	= *х& - A t - tod хг (tt-					д/ -	toù
и определяется в каждый момент времени						tt одной случайной				величи­
ной Д|/. Производные алгоритмической функции
	dft					d
	i g - = - * i * 2-* 2 * i = — —
		д*и	~ÂjjT(xixz) —			dVt	’
						dP-
Вычисляя математическое ожидание, получаем
		<AY\b	=	2m	Y»	d2ft	•
					2 J	di3
					i= 0
Перейдем от суммы к интегралу:
		< Д К ^ > = ( - ^ - ) [ / ( 7 ) - / ( 0 ) ] .
Отсюда для	периодических		входных		сигналов имеем				(ДУ[!)) = о.
В соответствии с формулой (18) дисперсия
		Ь2 д2		\ т—1
		(~	Z	— J	[XltX2t +		X l t X u f .

Оценка дисперсии по максимуму

Если сигналы близки к гармоническим, то

(77)

4. Алгоритм автокорреляционной обработки (4).

Оценки математического ожидания и дисперсии погрешности полу­ чим из результатов предыдущего пункта. Для периодических сигналов

математическое ожидание (ДУ*?) = 0, а оценка дисперсии получается, если положить хг = х2.

Суммарная систематическая погрешность ДУ/(0) состоит из двух составляющих! ДУ^(1) — обусловлена систематическим смещением

моментов дискретизации и ДУ}2) — представляет математическое ожи­ дание случайной составляющей. Для периодических сигналов система­

тическая погрешность ДУ*<0) равна нулю для алгоритмов усреднения

(1) и автокорреляционной обработки (4). Для алгоритма взаимно кор­ реляционной обработки систематическая погрешность равна нулю, если мгновенные значения сигналов вначале перемножаются, а затем дискретизируются. Если же сигналы хг (/) и х2 (t) подвергаются неза­ висимой дискретизации, то относительная систематическая погреш­

ность согласно формуле (75) равна ^ (а?см + <*2см) ю2. Для алгоритма

корреляционной обработки (2) систематическая фазовая погрешность равна (—VCÛA/CM), а относительное значение систематической состав­ ляющей в амплитудной погрешности, как видно из формулы (73), рав­

но -J (vaCMû))2.

Относительное значение среднеквадратичной погрешности для всех алгоритмов, .как следует из формул (72), (74), (76), (77), можно записать так:

«	Y D (A Y ,)	асм0 _	at	(78)
°t — ----у----		Via	«V. ’

где a — численный коэффициент порядка единицы, разный для различ­

ных алгоритмов; at == 2лаасм/Д/. Коэффициент	а, достигает значения
at ~ 1 при относительной погрешности acJÀ t ~	15 %. В области низ­

ких и инфранизких частот можно обеспечить выполнение условия а, ^ 1. Так как обычно осм àt = Т1т>то

(nCM(ü)2/(acMû)/Vrm) *= (ОсмifДО (2я/)/т)

1.

Поэтому для всех алгоритмов, кроме алгоритма корреляционной об­ работки, погрешность определяется формулой (78).

Для алгоритма корреляционной обработки (2) возникает добавоч­ ная фазовая погрешность, обусловленная систематической составля­ ющей смещения точек дискретизации Д/см,

Ao|)v =т — v (o A / CM = —Kv/m)( 2 (Д / см/ Д 0 -	( 7
Получим оценки погрешностей, вносимых прогрессирующим смеще­
нием моментов дискретизации.
При прогрессирующем смещении моментов дискретизации
Мш[ = Шс„ = yit, V = àtcu/M = mAtcjT .
С учетом смещения алгоритмическая функция имеет вид f	[х (/, +
—>

+ Д М , ûl. Для вычисления погрешности воспользуемся формулой

(9). Роль величины if, в данном	случае играет		AiCMi, так что
àh _	àn	dh
à\i,q	дМш1 ~	dh	•

Через dfldt обозначена производная по времени, которое является аргументом входных сигналов х (t). В результате получим

и mГП—i1

at

£ Л dt4

<=0

Заменив сумму интегралом, получаем

AYt æ y -!jrj ‘- J T *

(80)

Оценка по максимуму

| Д К , | < Т - т -	df	(81)
		MAVR

Если алгоритмическая функция f (t) содержит высокочастотные со­ ставляющие малой амплитуды или узкие «всплески» малой длительно­ сти, то оценка (81) может оказаться завышенной. Рассмотрим поэтому другую возможность оценки ДY и пригодную и в этом случае. Для всех алгоритмов, кроме алгоритма корреляционной обработки (2), который будет рассмотрен отдельно, алгоритмическая функция зависит от вре­ мени не явно, а только через входные сигналы х (1). Поэтому для таких

алгоритмов-^- = "jf = Л Тогда из формулы (80), интегрируя по час­

тям, находим

	д Y t =		yk If (T) -	Y] = y ( T	) ,	(82)
где	(T) — f (t) — Y — переменная во времени составляющая алго­
ритмической функции в точке t =				Т.
Оценка по максимуму | Д Y t | ^				yk\ 'f~ (t) |Макс.
Если	(Т) — 0, то погрешность AYt будет величиной второго порядка
малости по величине		у.
Для относительной погрешности из формулы (82) получаем
	D , - J ^	L	- T J b , p L < v			,83,
Для алгоритма усреднения Д. (/) =				х (/) — Х 0, где Х 0— среднее зна­
чение входного сигнала. Тогда
	| х (t)		Х0|мако	^ с м I х (0	1мако
	6/1 < V		*0	Дt	Х0

Из этого выражения следует, что погрешность обращается в нуль для постоянного -входного сигнала, а для переменного сигнала пропорцио­ нальна максимальному значению относительного отклонения входного сигнала от его среднего значения.

Для алгоритма взаимно корреляционной обработки (3) переменная составляющая

, Т

f~ (0 = Х1(0 X2(t — x) — Y j Х1(О *2 (t — i) dt

О

равна нулю, если оба сигнала постоянны. Алгоритм (3), однако, при­ меняется обычно для обработки переменных во времени сигналов, для которых переменная составляющая алгоритмической функции /L (t) по порядку величины равна постоянной составляющей. Так, если вход­ ные сигналы близки к гармоническим, то переменная составляющая

jL (0 = 'X ^zco s (2(ùt -f ^ -f фа — ют), а постоянная составляющая

Y = ХгХ 2cos (o|)2 — — ют).

Поэтому из формулы (83) находим

g ^	___ Y____ ___	____1____
*3 ^	cos [<р— сот)	At cos (ф — сот) *

При ф = 0 получаем погрешность для алгоритма взаимно корреля­ ционной обработки (4). В частности, при т = 0 получается погреш­ ность квадрата действующего значения

&4 < Y “ Л*см/А* = тА/см/Т1.

Рассмотрим погрешность для алгоритма корреляционной обработки

(2). Формула (80) в этом случае принимает вид

/	т	àt+ . P v)
&Yt2 = Y-у	J ^ ( 0 c o s

о

Оценивая погрешность по максимуму, получаем

|Д7,|<(1/2)йуГ|*1 макс*

6. ОЦЕНКА ДИНАМИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВТОРОГО РОДА

Динамические погрешности второго рода проявляются по-разному в зависимости от метода АЦП, используемого при АЦОС. Так, при ис­ пользовании преобразователей развертывающего типа наличие нену­ левого времени преобразования приводит к тому, что мгновенные зна­ чения сигнала квантуются в смещенные моменты времени в отличие от рассмотренного случая, когда временное смещение квантуемых уров­ ней, вызываемое запаздыванием сигнала, и смещением моментов дис­ кретизации, никак не зависит от этих уровней. Временное смещение, вызываемое динамическими погрешностями второго рода, является функцией мгновенных значений сигнала.

При аналого-цифровом преобразовании двумерных сигналов с ком­ бинированным .использованием времяимпульсных и частотно-импуль­

сных преобразователей один сигнал, например х± (i), преобразуется в точках дискретизация во временной интервал , а другой х2 (t) — в час­ тоту следования импульсов, заполняющих этот интервал. В этом слу­ чае к динамической погрешности второго рода, возникающей при кван­

товании сигнала	хг (t), добавляется погрешность усреднения,			обу­
словленная изменением сигнала х2 (t), за время преобразования.
	Рассмотрим погрешности, возникаю­
	щие	при использовании* преобразова­
фди	телей	развертывающего	типа. В	этом
	случае временное смещение (рис. 7) опре­
	деляется уравнением
		А/,* = cx(ti +	Atf,),	(84)

Рис. 7. График динамической по­ грешности второго рода АЦП развертывающего типа

где с — коэффициент, обратно пропор­ циональный крутизне развертки преоб­ разователя.

Алгоритм усреднения (1) может быть записан в виде

	т—\
Y =	fV t + Mù.

В таком же виде могут быть записаны алгоритмы взаимно корреляци­ онной и автокорреляционной обработки для случая, когда вначале сигналы перемножаются, а затем квантуются.

Перейдем от	суммы к интегралу Ÿ =	где f =	t +
-f-Дt — определяется в соответствии с выражением		(84) уравнением
	? — t + cx(f).		(85)
Переходя к интегрированию по переменной f		и учитывая,	что
dt — (1 — cx)df,	получаемI

I<г

У= - г \ / ( 0 ( 1 — cx(t'))dt',

		*о
где	пределы	интегрирования	определяются	из уравнений й =
= сх (й); h		= T + ex (iT).	Если входной	сигнал периодичен, то
tT =	T + t0.	Тогда абсолютная погрешность

. т

■AYt = Y ~ Y = — J ^ ^ f( t) k ( t) d t .

О

Покажем, что для периодических сигналов в случае, когда вначале сигналы перемножаются, а затем квантуется результирующий сигнал,

динамические погрешности второго рода в алгоритмах усреднения (1), автокорреляционной обработки (4) и взаимно корреляционной обра­ ботки (3) не вызывают погрешности АЦОС. Действительно, для этих алгоритмов подынтегральная функция / (t) есть производная от пери­

одической функции. Так, если f (t)	= x (t)^ то f (t) x (t)	^	W
при f (t) = X2 (t) f (t) x (t) = —	(x3) и T . д. Следовательно,		Д Yt =

= 0.

Для алгоритма корреляционной обработки (2) абсолютная погреш­ ность

. т

ДУю = У2 — У2 = -j- J [x (/') — x (*)] (p (t) dt.

о

Используя соотношение (84), с точностью до членов порядка <? получаем

x(t') — x(t) = cxx + c2 (хх2+ -i- A:8? J + 0 (с8).

(86)

Подставляя выражение (86) в формулу для ДУ/2 и интегрируя по частям, находим

AY а = ДУ/2 +	ь	7
	АК<2 = с ~	^ х2 (t).ф(0 dt +
	т	о
+ c8^	j * 8(/)ÿ(0Æ + 0(c8).		(87)
	о
Необходимость учета члена второго		порядка малости	ДУ*2 в фор­

муле (87) диктуется тем,что для гармонических сигналов член первого

порядка ДУ/2 обращается в нуль. Оценим величину погрешности, если входной сигнал является квазигармоническим. В этом случае входной сигнал можно записать так: х (/) == Лcos (at + я|>) + Ах (/), где Ах (t) — добавка, обусловленная высшими гармониками сигнала.

При	ф (t) = cos (vco/ + Pv)
	т
	| ДУ*21æ V(ù^kA J | Д* | dt ^ v<ùckA2kr = k (VCOA^MSKC) AkT, (88)
	о
где	k7— коэффициент искажений сигнала, Д/Макс = сА.

Мы пренебрегли членом, пропорциональным квадрату коэффици­ ента гармоник, и воспользовались тем, что среднее значение функции на интервале (0, Т) не превосходит ее среднеквадратичное значение

т	/	т
у - J | A * | c t f < l /		j r j &xad t= k rA

Соотношение (88) справедливо для всех значений v, кроме v = 2. При v = 2 в погрешности появляется добавочный член, pàBHbift

4 k (соД/макс) A sin ф — 2ср), который может быть значительно больше,

чем учтенный в выражении (88). Поэтому относительная погреш­ ность измерения параметров второй гармоники в сигнале с малым ко­ эффициентом гармоник при использовании преобразователей развер­ тывающего типа может оказаться недопустимо большой.

Оценка квадратичного члена по максимуму

| AYîa | < c W (ft/б) Л3 = k (Va) (vcoA/MaKC)2 Л.

(89)

Таким образом, член второго порядка A Y n следует учитывать для очень малых коэффициентов гармоник, т. е. при fe С (1/6) (va>A/MaKc).

Если же коэффициент гармоник не мал, то членом	ДY \	можно прене­
бречь по сравнению с членом первого порядка	ЬУ\. В	этом случае,

пренебрегая вторым членом в формуле (87) и оценивая первый член, получаем

I АУ,21~ IA Y 'n I < 4			- ckv<ùX2 < ~ T k			М » ) Х	’	(9°)
где X — действующее значение входного сигнала, а Д/д = сх.								(3),
Для алгоритма		взаимна корреляционной			обработки		сигнала
когда вначале сигналы хг (/) и			х2 (/) квантуют, а затем				перемножают
полученные коды,		абсолютная	погрешность
.	т	[Xl (t + A t j x2{t~* + à t2) -					T)] dt.
A Y a = - f	J				Xl (;t) * 2 (t -
	0
Используя для каждого сигнала соотношение (86) и интегрируя по
частям, с точностью до квадратичных членов, получаем
AYt3 = ДY а + ДК/з			ъ	7
				(V ^x2+ с2х\х^ dt —
		k 7		°
		2jг* ^ (^î^i		с2х$* Xjx2dt.

о

Необходимость учета члена второго порядка малости ДУ^ вызва­ на, как и в случае алгоритма корреляционной обработки (формула (87)),

тем, что для гармонических сигналов член первого порядка ДУя обращается в нуль. Если входные сигналы близки к гармоническим, так что

xi = At cos ((ùt -f- TJ>a) 4- Длт^*				x2= A2cos (cot + ф2) + Д*2,
то для первого члена			AYtz, с точностью до членов, квадратичных		по
коэффициентам гармоник fer и fer				в сигналах х1и х2, находим
I A	Y	((ОД/хмакс 4* ©Д/2макс) (fer 4 ” fer) А ^ А 2.			(91)
Аналогично для члена			A Y t получаем
	| ДY /з| ^		-g- k (С0Д/1макс 4“ юД/гмакс)2 А^А2.		(92)