книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

откуда

R	mv
	(1.13)
	7 в '

Определим угол отклонения траектории электрона в попереч­ ном магнитном поле (рис. 1.3):

sina = ^-.

(1.14);

Подставляя значение R из (1.13) и полагая для малых углов sin a « tg а, получим

eBz

tga = - ^ - . (1.15) mv

Таким образом, для нахождения траектории электронов, дви­ жущихся в электрических и магнитных полях, необходимо решить системы дифференциальных уравнений (1.7) и (1.10). Решение системы (1.7) возможно, если напряженность электрического поля или потенциала заданы в виде функций координат:

U = U (x,y,z), Ех =	dU	Еу		dU	„	dU	— •
	а Г ’			-ч	1 Е.г	—
				ду		дг
В пространстве, свободном от заряда, электрический потенциал
удовлетворяет уравнению Лапласа:
dzU	д2U	d2U	=	AU =	0.		(1.16)
Их2	ду2	dz2

Решение уравнения Лапласа с заданными граничными усло­ виями позволяет найти потенциал U как функцию координат, а сле­ довательно, и составляющие напряженности поля. Точное аналити­ ческое решение уравнения Лапласа возможно лишь в некоторых простейших случаях, поэтому при решении электронно-оптических задач широко используются приближенные и экспериментальные методы нахождения распределения потенциала (см. § 1.4).

Для решения системы (1.10) необходимо знать распределение магнитной индукции В=В(х, у, z). Индукция магнитного поля определяется векторным потенциалом А согласно соотношению

В = rot А.

(1.17)

Векторный потенциал в ряде случаев может быть рассчитан (см. § 1.4), но при использовании несимметричных магнитных полей или при наличии в поле ферромагнетиков аналитический расчет становится затруднительным и приходится прибегать к эксперимен­ тальным методам исследования магнитных полей.

Рис. L4. Преломление электронного луча

§ 1.3. ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ. ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Первые работы по электронной оптике относятся к 20-м годам нашего столетия, однако предпосылки для ее создания имелись уже в середине XIX в. Более ста лет назад английским ученым Гамильтоном была подмечена аналогия между распространением света и движением материальных частиц в силовом поле. Эта ана­

логия настолько значительна, что при рассмотрении движения элект­ ронов в электрическом поле в ряде случаев оказалось удобным исполь­ зовать уравнения, определяющие прохождение света сквозь среды с различными оптическими характе­ ристиками. Так, например, оптиче­ ский закон преломления

- ^	= — ,	(1Л8)
Sin Р	tli

где а и р — углы, образуемые пада­ ющим и преломленным лучами с нормалью к границе раздела двух сред, имеющих показатели прелом­ ления 11\ И «2,

справедлив также для электронного луча, проходящего из области потенциала Ui в область потенциала U2.

В самом деле, если рассмотреть движение электрона вблизи границы двух сред с .различными потенциалами (рис. 1.4), то не­ трудно видеть, что составляющая скорости, параллельная поверх­ ности раздела сред, остается без изменения, а составляющая, пер­ пендикулярная к этой поверхности, изменяется по величине (уве­

личивается при U2>Ui).	записать
Равенство составляющих скоростей vlx и v2x можно
в виде
Oisina = y2sinp.	(1.19)

Если электрон влетает в область У[ с нулевой начальной ско­

ростью, то согласно (1.3):
i » i = l /— Uu	1'2 = У — Uг.	(1.20)
' т	’ т
Подставляя эти значения скоростей в (1.19)		и сокращая заряд
и массу, получим электронно-оптический закон преломления:
sin a__	yU2
sinp	yUt

Выражение (1.21) совпадает с (1.18), если предположить, что

в электронной оптике роль показателя преломления играет У U. Точно так же из механического принципа наименьшего дей­

ствия

<3	(1.22)
$ 2W mBdt = extr,

ti

принимая во внимание, что 2Wmmdt = mvds — y2emU ds, можно

получить выражение, аналогичное оптическому принципу Ферма:

ь	ь
§nds =	J уи ds = extr,	(1-23)

aa

т.e. движение электрона в электрическом поле с некоторым рас­ пределением потенциала U(x, у, z) аналогично распространению

светового луча в среде с показателем преломления п= YU. Разли­

чие размерностей п иY U несущественно, так как при решении опти­ ческих задач в уравнения всегда входят относительные показатели преломления, являющиеся безразмерными величинами.

Выполнение принципа Ферма в электронной оптике показывает, что заряженные частицы в электрических полях движутся по тра­ екториям, для которых время, затрачиваемое на перемещение ча­ стицы между двумя точками, является наименьшим (или наиболь­ шим), т. е. в электронной оптике из всех возможных траекторий практически осуществляются такие, для которых величина «опти­ ческого пути» (§tids) оказывается экстремальной.

Таким образом, рассматривая поверхности равного потенциала как преломляющие поверхности оптической среды (поверхности, разделяющие среды с различными показателями преломления), можно, используя законы световой оптики, найти траектории элек­ тронов в электрических полях.

В магнитном поле сила, действующая на электрический заряд, зависит от величины и направления скорости движения заряжен­ ной частицы. Поэтому в случае магнитного поля столь далеко идущей аналогии с оптикой не наблюдается. Можно сказать, что магнитное поле с оптической точки зрения является анизотропной средой в отличие от изотропной среды — электрического поля.

Роль показателя преломления в магнитном поле играет вели­

чина
п = — (As),	(1.24)
т

где А — векторный потенциал, s — единичный вектор касательной к траектории.

Хотя аналогия между световой и электронной оптикой доста­ точно глубока, необходимо отметить и некоторые существенные

различия, имеющиеся между распространением света и движением заряженных частиц.

Во-первых, энергия электронов, движущихся в электрическом поле, непрерывно меняется, что эквивалентно изменению частоты светового луча по мере его распространения, тогда как энергия фотонов луча света в прозрачной среде (а значит, и частоте коле­ баний в соответствии с законом W=hv) не меняется.

Во-вторых, показатель преломления в световой оптике меняет­ ся скачком на границе двух сред с различными показателями пре­ ломления, в то время как в электронной оптике потенциал, а сле­ довательно, и показатель преломления, меняется непрерывно от точки к точке. В связи с этим путь светового луча обычно является ломаной, состоящей из отрезков прямых, а траектория электрона представляется плавной кривой.

Уравнение Лапласа (1.16) показывает, что, задавая значения потенциала в некоторых точках пространства, тем самым можно однозначно определить форму эквипотенциальных поверхностей. Из этого вытекает третье отличие между световой и электронной опти­ кой: в световой оптике форма преломляющих поверхностей и пока­ затель преломления не связаны между собой; в электронной оптике показатель преломления {Y u ) и форма преломляющих (эквипо­

тенциальных) певерхностей в большинстве случаев не могут быть изменены независимо.

Наконец, следует иметь в виду, что показатель преломления в электронной оптике можно изменить в десятки и сотни раз про­ стым изменением потенциала электродов; в световой оптике пока­ затель преломления данного оптического элемента постоянен и диапазон возможных значений п невелик (примерно от 1 до 3).

Оптико-механическая аналогия оказала значительное влияние на развитие электронной оптики, так как знание свето-оптических законов позволило наметить пути, по которым следует идти при разработке электронно-оптических систем. Однако указанные выше различия в поведении световых и электронных лучей требуют про­ явления осторожности в применении этой аналогии.

§1.4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА

ИЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ

ИМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Как было указано, аналитический расчет электрического поля (решение уравнения Лапласа) может быть выполнен лишь в ряде простейших случаев. Но даже тогда, когда удается получить ана­ литическое решение, конечные выражения часто оказываются слиш­ ком громоздкими и мало удобными для практического использо­ вания.

В качестве примера приведем решение уравнения Лапласа для осесимметричного поля, создаваемого двумя цилиндрами радиуса R с зазором между ними с потенциалами Ut и 1)2 (рис. 1.5).

Уравнение Лапласа в этом случае удобнее решать в цилиндри­ ческой системе координат, используя метод разделения перемен­ ных. Выражая U(z, г) как произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

			U(z,r) =		N(z)M(r),					(1.25)
получим два уравнения:
			d2N	k2N =		0,
		dz2
										(1.26)
		d2M		_L	dM
						k2M = 0.
			dr2
				r	dr
Запишем решения этих уравнений
		Nh(z) =		AhS'mkz-}-Bh.coskz,			1			(1.27)
		Mh(r) =		Chlo(kz) +		DhKo(kr),	'
где / о — модифицированная функ­							и\\	’		!J?
ция Бесселя первого			рода нуле­						f
вого	порядка;	Ко— модифициро­
ванная функция Бесселя				второго
рода	нулевого	порядка;		Ah, Bh,				0		z
Ck, Dk— постоянные			коэффици­					1
енты.								1
								й
Выражение		для	потенциала
найдем интегрированием произве­						Рис. 1.5. К расчету поля двух
дения	полученных		решений		по	соосных цилиндров
всей области изменения k:
	U(г, г) =		|j [Ак (k) sin kz + Bh(k) cos kz] X
			A
		X [Cft (k) Iо (kr) + Dh (k) Ко(kz) ] dk.								(1.28)
Так как функция Ko(kr) обращается в бесконечность										при г= 0

(на оси), а потенциал не может иметь сколь угодно большую ве­ личину, члены с Ko(kr) следует отбросить. Значения Ah(k), Bh(k), Ch(k) определяются из граничных условий. Окончательно для рас­ пределения потенциала получается выражение

Ui + Uz	Uz — Ui °с sin kzlo (kr)		(1.29).
U(z,r) =	------------ \ ---------------------uk
2	Я	" klo(kr)

Иногда достаточно знать только распределение потенциала вдоль оси (при г= 0 ). При этом, приняв за независимую перемен-

ную безразмерную величину |=z/R, можно получить более простое выражение:

	U i+U 2 , и2- и Г с sinAi			1	■dk.	(1.30)
	и & ) =	Я	I	/ . ( 4 )
	Второе слагаемое	в выражении	(1.30) достаточно хорошо ап­

проксимируется гиперболическим тангенсом. Поэтому для расчетов можно применять приближенное уравнение:

Ut + U2 ,	U2 — U1	,(1.31)
141)	th(l,315g).
	л

Приведенный пример показывает, что даже в сравнительно про­ стом случае аналитическое решение получается довольно громозд­ ким, поэтому при решении

	электронно-оптических за­
	дач широко используются
	приближенные методы ра­
	счета		и	эксперименталь­
	ного		исследования				элек­
	трических полей.
		Рассмотрим				метод ко­
	нечных разностей, в осно­
	ве	которого			лежит		заме­
	на призводных в исход-
	лом уравнении небольши­
	ми	разностями.				Предпо­
	ложим,			что	необходимо
	найти		распределение по­
	тенциала			в	пространстве
	между			двумя		непарал­
Рис. 1.6. Расчет поля методом последо­	лельными пластинами от­
вательных приближений	клоняющей системы элек­
	троннолучевой						трубки
	(рис.		1.6).

Разобьем все пространство между пластинами на клетки с рав­ ными сторонами б. Нетрудно показать, что значение потенциала Ux в точке ху равноотстоящей от точек а, 6, с> d с известными зна­ чениями потенциалов Uay Иы Uc и Ud, может быть определено как

	Ua-1- Ub		Uc -\- Ud	.(1-32)
	и х =
Составим разности:
Ua- U x	Ux - U b	Uc — Ux		Ux - U i
6	6	*	6

При достаточно малых значениях б можно положить, что эти разности приблизительно равны

dU	dlTi	dU I	dU_\
И х Iaxt	дх I хЪ*	дУ I СXt	ду I

X d •

Применяя повторно такую же операцию, получим

( Л , - и , и , - и ь	iPU \
--- 8-------- Г -	|
U c - U x Ux - U d	(1.33)
	&и \

бб ду2

Складывая уравнения (1.33), получим в правой части уравне­ ние Лапласа:

/	д2и	д2и \
Ua + Ub + Uc+ Ud — AUX= б2(	“^ Г	+ _^ г ) = 0 - (1-34>

Из (1.34) непосредственно следует (1.32). Решение конечно­ разностного уравнения может быть выполнено методом последова­ тельных приближений (методом иттерации).

Задавая граничные значения потенциала на электродах, можно, ориентировочно (на глаз) нанести величины U в точках аи а2, ...>

...,61, &2>.-.,Сь с2, ...,di, d2, ... и подсчитать по (1.32) значения по­ тенциала в точках хи *2-... Затем, приняв найденные величины Ux за исходные, следует пересчитать значения потенциалов в точках а, Ь, с, d, снова уточнить величину Ux и т. д. Повторяя такой прием несколько раз, можно постепенно приблизиться к точным значе-< ниям потенциала во всей области. Часто 4— 5-е приближение мало отличается от предыдущего, и дальнейшего уточнения не требует­ ся. Однако иногда может потребоваться более десяти прибли­ жений.

Указанный метод может быть использован для расчета не толь­ ко плоских, но и осесимметричных полей (см. § 1.5). В случае осе­ симметричного поля значение потенциала в точках плоскости, про­ ходящей через ось системы («меридиональной плоскости»), опре­ деляется выражением

V. + U b + U . ( l - ± ) + U t( l + ^ )

их = ---------------------------------------- '------------------------ , (1.35)

где R — расстояние точки х от оси системы.

Определив путем последовательных приближений значения по­ тенциала во всех точках исследуемого поля и соединив точки с одинаковыми потенциалами непрерывными кривыми, получим кар­ тину эквипотенциальных линий, достаточно полно характеризую­ щую электронно-оптическую систему. Метод последовательных

приближений, хотя и позволяет сравнительно просто получить кар­ тину эквипотенциальных линий, однако, особенно при необходи­ мости изменить форму электродов, их расположение или потенци­ алы на этих электродах, становится очень трудоемким, так как все расчеты приходится проводить заново. Поэтому при конструи­ ровании электронно-оптических систем широко используется экспе­ риментальный метод нахождения картины поля на моделях систе­ мы в электролитической ванне.

Метод электролитической ванны основан на аналогии между электростатическим полем в вакууме и полем токов в однороднопроводящей жидкости. Электростатическое поле в вакууме описы­

вается уравнением Лапласа (1.16)		с	граничными условиями	U=
= Uь Uz	Un на электродах. Если модель электронно-оптической
системы	с теми же потенциалами	Uь	02, .... Un на электродах	по­

грузить в однородную проводящую жидкость с удельной проводи­ мостью X, не зависящей от координат, то в жидкости начнет про­ ходить ток, плотность которого

j = ХЕ = — Xgrad U.

(1.36)

Если в жидкости в междуэлектродном пространстве нет источ­ ников или стоков тока, то, очевидно, div j = 0, или

X div grad U = ХД£/ = 0.

(1-37)

Иными словами, поле токов в электролите описывается тем же уравнением A i/= 0 (уравнение Лапласа), с теми же граничными условиями, что и электрическое поле в вакууме. Следовательно, распределение потенциала во всех точках электролита в точности совпадает с распределением потенциала в вакууме. Распределение потенциала в электролите можно легко измерить при помощи зон­ да, погруженного в электролит и соединенного с измерительным прибором. Следует применять измерительный прибор (ламповый вольтметр или осциллограф), не потребляющий тока, так как в противном случае измерительная цепь может изменить распреде­ ление потенциала в ванне. Необходимым условием является посто­ янство проводимости электролита. Очевидно, это условие не мо­ жет быть выполнено при использовании для питания ванны посто­ янного напряжения из-за неизбежной поляризации электролита, приводящей к изменению концентрации ионов, а следовательно, и проводимости. Поэтому для питания ванны используется перемен­ ное напряжение. Частота питающего напряжения допускается в пределах 10— 1000 гц\ нижний предел частоты определяется под­ вижностью ионов электролита: при слишком низкой частоте за полупериод ионы могут заметно сместиться, что приводит к мест­ ным неоднородностям проводимости; при слишком высокой часто­ те начинают протекать заметные емкостные токи, которые могут исказить поле в ванне. Для удобства можно питать ванну напря­ жением промышленной частоты 50 гц. Распространено также пи­ тание ванны напряжением частоты 400— 800 гц от специального генератора.

Схема установки с электролитической ванной приведена на рис. 1.7.

Индикатором в цепи зонда может служить осциллограф или другой достаточно чувствительный прибор переменного тока. Элек­ троды обычно изготовляются из железа (технической стали), так как окисление поверхности железа не нарушает нормальной рабо-

ного напряжения

Рис. 1.7. Схема установки с электролитической ванной

ты ванны ввиду высокой проводимости гидроокиси железа, тогда как при использовании, например, алюминия непроводящая пленка окиси может существенно изменить распределение потен­ циала в ванне.

Поскольку уравнение (1.16) является однородным относительно потенциалов, напряжения, подводимые к электродам модели, по­ груженной в ванну, можно пропорционально уменьшить (или уве­ личить) по сравнению с потенциалами электродов моделируемой системы.

Обычно напряжение питания ванны выбирается невысоким (1— 30 в) из соображений техники безопасности и отсутствия замет­ ного нагрева электролита, так как местный значительный перегрев может привести к изменению проводимости. В качестве электро­ лита можно использовать обычную водопроводную воду, так как

ее удельная проводимость (~ 1 0 -2 сим/м) достаточно мала по сравнению с удельной проводимостью электродов (7• 106 сим/м).

Особенно удобно моделировать в электролитической ванне пло­ ские и осесимметричные поля, т. е. поля, в которых потенциал за­ висит только от двух координат: U=U(x, у) для плоского поля и U=U(z, г) для осесимметричного поля. В таких полях имеются плоскости симметрии: 2=const в плоском поле и -ф = const в осе­ симметричном поле (меридиональная плоскость, см. § 1.5). Нор­ мальная составляющая напряженности электрического поля в

Рис. 1.8. Моделирование осесиммет-	Рис. 1.9. Поле двух соосных цилинд-
ричного поля в наклонной электро-	ров
литической ванне

любой точке указанных плоскостей равна нулю. Следовательно, если рассечь систему электродов плоскостью симметрии и отбро­ сить часть, лежащую по одну сторону этой плоскости, то поле оставшейся части системы не изхменится. Из условия равенства нулю перпендикулярной к плоскости симметрии составляющей на­ пряженности электрического поля непосредственно следует, что при погружении модели системы электродов, имеющей указанную плоскость симметрии, в проводящую жидкость ток через эту плос­ кость протекать не будет. Поэтому при моделировании можно ог­ раничиться изготовлением лишь части модели, лежащей по одну сторону плоскости симметрии, и при погружении модели в элек­ тролит совместить плоскость симметрии с поверхностью жидкости. Тогда отсутствующая симметричная часть системы электродов как бы отразится в поверхности раздела электролит — воздух и поле погруженной части электродов будет в точности соответствовать полю, имевшемуся в полной системе.

Такой «метод сечения» при моделировании осесимметричных си­ стем позволяет ограничиться тонким слоем электролита клиновид­ ной формы, заключенным между наклонным непроводящим дном мелкой ванны и поверхностью электролита (рис. 1.8).

Возможность замены осесимметричной системы «клином» не­ посредственно следует из того, что в осесимметричной системе лю­ бая плоскость, проходящая через ось (меридиональная плоскость), является плоскостью симметрии и при моделировании любая ме­ ридиональная плоскость может быть заменена плоскостью из ди­ электрика. В то же время изготовление небольшой части модели