5433
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» (ННГАСУ)
Методические указания и контрольные задания по математике для студентов заочного обучения всех направлений
Часть 1
Нижний Новгород ННГАСУ
2013
УДК 517.9
Методические указания и контрольные задания по математике для студентов заочного обучения всех направлений. Часть 1 [Текст]: метод. разраб. для студентов/ Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т; сост. П.В. Столбов – Н.Новгород: ННГАСУ, 2013.- 83с.
Методические указания и контрольные задания по математике предназначены для студентов заочной формы обучения всех направлений.
Составитель: П.В. Столбов.
© Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 2013
1
§ 1. Линейная алгебра Матрицы и действия над ними
Матрицей порядка m× n называется прямоугольная таблица чисел,
состоящая из m строк и n столбцов.
Для обозначения матрицы таблицу чисел заключают в круглые скобки
и обозначают заглавными буквами латинского алфавита.
Пример.
|
1 |
2 |
3 |
|
×3. |
1. |
A = |
|
|
– матрица порядка 2 |
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
4 |
|
|
||
2. |
B = (1 |
2 |
3) – матрица – строка порядка 1×3. |
1
3. C = – матрица – строка порядка 2×1.
2
Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной.
1 |
2 |
|
× 2. |
Пример. D = |
|
– квадратная матрица порядка 2 |
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы, обозначаются соответствующими строчными буквами латинского алфавита с двумя правыми нижними индексами. Первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца, в которых рассматриваемый элемент матрицы находится.
1 |
2 |
3 |
|
Пример. A = |
|
|
. |
|
5 |
6 |
|
4 |
|
||
a2 3 = 6 –элемент |
матрицы A, находящийся во второй строке и в |
третьем столбце.
Заметим, что матрицу A порядка m× n можно записать так:
A = (ai j ), i =1,m; j =1,n.
2
Две матрицы |
порядка |
m× n считаются равными, |
если |
все |
|||
соответствующие элементы этих |
матриц равны. То |
есть A = B, |
если |
||||
ar s = br s для любых возможных r и s. |
|
|
|
||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. A = |
2 |
, B = |
2 |
. Матрицы A и |
B равны, |
так |
как |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
a11 = b11 =1, a21 = b21 = 2, a31 = b31 = 3.
Произведением матрицы A порядка m× n на действительное число
λ называется матрица B того же порядка m× n, каждый элемент bi j ,
i =1,m, j =1,n которой получен умножением соответствующего элемента
bi j , i = |
1,m |
, j = |
1,n |
|
исходной |
матрицы |
A на число |
λ и обозначается: |
|||
B = λ A. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Пример. Найти B = 2A, если A = |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 1 |
2 2 |
2 |
4 |
|
Решение. B = 2A = 2 |
= |
|
= |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 |
2 4 |
6 |
8 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: B = |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
||
Суммой двух матриц A = (ai j ) |
и |
B = (bi j ) |
одного порядка m× n |
называется матрица C того же порядка m× n, каждый элемент ci |
j , i = |
1,m |
, |
||||||||||||||
j = |
|
|
которой получен сложением соответствующих элементов ai j |
|
|||||||||||||
1,n |
и bi j , |
||||||||||||||||
i = |
|
, j = |
|
и обозначается C = A+ B. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1,m |
1,n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти C = A+ B, если A = |
|
и B = |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Решение. C = |
1 |
2 |
4 |
3 |
1+ 4 2 + 3 |
|
5 |
5 |
|||||||
|
|
A + B = |
+ |
= |
|
= |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 |
1 |
3 |
|
5 |
5 |
|||
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: C = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Заметим, что разность двух матриц A и B одного и того же порядка
можно определить через сумму и умножение на число (−1), то есть
A− B = A+ (−1) B.
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
4 |
3 |
|
Пример. Найти A− B, если A = |
и |
B = |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
2 |
1 |
|
Решение. A− B = |
|
|
|
1 |
2 |
|
4 |
3 |
|
|
A+ (−1) B = |
+ (−1) |
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
2 |
1 |
|
1 |
|
2 |
−1 4 |
−1 3 |
1 |
2 |
− 4 |
−3 |
||
= |
|
+ |
|
|
= |
+ |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
−1 2 −1 1 |
4 |
3 |
− 2 |
−1 |
||
1+ (− 4) |
2 + (− 3) |
−3 |
−1 |
|
|
|||||
= |
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
+ |
(− |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 + (−1) |
1 |
|
3 |
|
|
||||
− 3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: A− B = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
Произведением матрицы |
A порядка m× n на матрицу B порядка |
n× p называется матрица C порядка m× p, каждый элемент ci j , i =1,m, j =1, p которой получен как произведение элементов i-ой строки матрицы
A |
на соответствующие элементы |
j -го |
столбца матрицы |
B, то есть |
|||||||
|
= ai1 b1 j + ai2 b2 j +…+ ain bn1 j , |
i = |
|
|
|
j = |
|
и |
|
||
ci j |
1,m |
, |
|
1, p |
обозначается: |
||||||
C = A B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
5 |
6 |
|
|
|
Пример. Найти C = A B, если A = |
|
|
|
и B = |
|
. |
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
7 |
|
Решение.
c11 = a11 b11 + a12 b21 =1 5+ 2 7 = 5+14 =19 c12 = a11 b12 + a12 b22 =1 6 + 2 8 = 6 +16 = 22 c21 = a21 b11 + a22 b21 = 3 5 + 4 7 =15 + 28 = 43 c22 = a21 b12 + a22 b22 = 3 6 + 4 8 =18 + 32 = 50.
4
|
|
c |
c |
|
19 |
22 |
|
|
Следовательно, C = A B = |
11 |
12 |
|
= |
|
. |
||
|
|
|
|
c22 |
|
|
50 |
|
|
|
c21 |
|
43 |
|
|||
19 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: C = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
Следует обратить внимание на тот факт, что:
1) произведение A B матриц A и B получается умножением элементов строк матрицы A – первого сомножителя – на элементы столбцов матрицы B – второго сомножителя. Следовательно, порядок сомножителей в
произведении матриц важен;
2) число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы
B, в противном случае произведение матриц A и B не определено;
3) порядок матрицы-произведения определяется порядком сомножи-
телей, то есть |
Am×n Bn× p |
= Cm× p . Следовательно, |
если |
A B = A C , то |
|||
нельзя считать, что B = C. |
|
|
|
|
|
|
|
Транспонированной |
матрицей |
(обозначаемой |
как |
AT ) любой |
|||
матрицы A порядка m× n называется матрица AT |
порядка n× m, которая |
||||||
получается из матрицы A взаимной заменой строк на столбцы. |
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
Пример. Найти AT , если A = |
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
Решение. Элементы первой строки матрицы |
A запишем в первый |
||||||
столбец матрицы |
AT , а элементы второй строки матрицы |
A – во второй |
|||||
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбец матрицы AT , получаем: AT = |
2 |
5 . |
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
5
Определители
Определителем второго порядка квадратной матрицы называется
число = |
a11 |
a12 |
и вычисляется по формуле: = a |
a |
22 |
− a |
a |
21 |
. |
|
a21 |
a22 |
11 |
|
12 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
12
Пример. Вычислить − 3 4 .
Решение. |
1 |
2 |
=1 4 − 2 (− 3)= 4 + 6 =10. |
|
− 3 |
4 |
|
Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется
a11 a12 a13
число = a21 a22 a23 и вычисляется по формуле:
a31 a32 a33
=a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 −
−a13 a22 a31 −a21 a12 a33 −a32 a23 a11.
|
|
|
|
|
− 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Пример. Вычислить |
−1 |
2 |
− 3 |
. |
||||
|
|
|
|
|
0 |
4 |
− 4 |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
||
|
− 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
−1 |
2 |
− 3 |
=1 2( −4)+ (−1) 4 3+ (− 2) (− 3) 0 − 3 2 0 − |
||||
|
0 |
4 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− (−1) (− 2) (− 4)− 4 (− 3) 1= −8−12 + 0 − 0 + 8 +12 = 0.
Заметим, что определитель нельзя путать с матрицей. Матрица представляет собой таблицу чисел, а определитель – это число, вычисляемое по определенному правилу.
6
Системы линейных уравнений
Пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с
тремя неизвестными вида:
|
a x + a x |
|
+ a x = b |
|
|
||||||
|
11 |
1 |
12 |
2 |
|
13 |
3 |
1 |
|
|
|
a21 x1 + a22 x2 |
+ a23 x3 |
= b2 |
|
(1.1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
+ a33 x3 = b3 , |
|
|
|||
a31 x1 + a32 x2 |
|
|
|||||||||
где ai j Ζ, bi Ζ, i, j = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Составим и вычислим главный определитель системы (1.1): |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
a21 |
a22 |
a23 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
тогда если ≠ 0, то система (1.1) имеет единственное решение (x0 |
; x0 |
; x0 ), |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
которое находим по правилу Крамера. Для этого, составим и вычислим
вспомогательные определители |
x , |
x |
, |
|
x |
системы (1.1): |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
a11 |
b1 |
|
a13 |
|
|
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x = |
b2 |
a22 |
a23 |
, |
x |
= |
a21 |
b2 |
|
a23 |
, x |
= |
a21 |
a22 |
b2 |
. |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
a31 |
b3 |
|
a33 |
|
|
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
|||
Далее, по формулам Крамера, находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x0 = |
|
x1 |
, |
x0 |
= |
x2 |
, |
|
x0 |
= |
x3 |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.
x1 − x2 + x3 = 2
Пример. Решить по правилу Крамера систему 2x1 − x3 = −1 .
3x1 + x2 = 5
Решение. Составим и вычислим главный определитель |
данной |
системы: |
|
7
|
−1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
||
= |
2 |
0 |
−1 |
= 1 0 0+ 2 1 1+(−1) (−1) 3−1 0 3− |
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
−2 (−1) 0−1 (−1) 1= 0+ 2+3−0+0+0+1= 6.
Так как = 6 ≠ 0, то данная система имеет единственное решение.
Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы:
|
|
|
−1 |
1 |
|
||||
|
|
2 |
|
||||||
x |
= |
|
−1 0 −1 |
= 2 0 0 + (−1) 1 1+ (−1) (−1) 5−1 0 5− |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
0 |
|
||||
|
|
|
− (−1) (−1) 0 −1 (−1) 2 = 0 −1+ 5− 0 − 0 + 2 = 6; |
||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
x |
= |
2 −1 −1 |
=1 (−1) 0 + 2 5 1+ 2 (−1) 3−1 (−1) 3− |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
− 2 2 0 − 5 (−1) 1= −0 +10 − 6 + 3− 0 + 5 =12; |
||||||
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
||||
x |
= |
2 0 |
−1 |
|
=1 0 5 + 2 1 2 + (−1) (−1) 3− 2 0 3− |
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 (−1) 1− 2 (−1) 5 = 0 + 4 + 3− 0 +1+10 =18.
Далее, по формулам Крамера, находим:
x0 |
= |
x1 |
= |
6 |
=1, x0 |
= |
x2 |
= |
12 |
= 2, |
x0 |
= |
x3 |
= |
18 |
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
6 |
2 |
|
6 |
|
3 |
|
|
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делаем проверку найденного решения (1;2;3):
1− 2 + 3 = 2 − верно,
2 1− 3 = −1− верно,
3 1+ 2 = 5 − верно.
Ответ: (1;2;3).
8
§ 2. Векторная алгебра
Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.
Вектором называется направленный отрезок. Чтобы отрезок стал направленным, один из его концов объявляется началом вектора, а другой – концом вектора. На чертеже вектор изображается стрелкой (см. рис. 1), идущей от начала к концу. В записи вектор обозначается маленькой буквой
латинского алфавита с чертой a или стрелкой a сверху или парой заглавных
букв латинского алфавита с чертой AB или стрелкой AB сверху, из которых первая буква – начало вектора, а вторая буква – конец вектора.
B
a
A |
Рис. 1 |
|
Длиной вектора называется длина отрезка, изображающего данный
вектор и обозначается: a или AB .
Назовем вектор ортом, если его длина в некотором масштабе равна единице. Для обозначения единичных векторов, или ортов, чаще используют
буквы: e, i, j , k (e = i = j =1).
Задание вектора с помощью орта и длины не фиксирует его начала. Такие векторы называются свободными. Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе и его началом можно считать любую точку пространства. В векторной алгебре всегда имеем дело со свободными векторами и будем их переносить параллельно самим себе, меняя точку их приложения, то есть начало вектора.
Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 = 0.
9