5546

y		2
		y = x		3
	4
	1
	0 1
-8		8			x
	Рис. 39
III. Показательная функция
y = a x (a > 0, a ¹ 1), D = R , E : y > 0 .
y	y
y = a x (a > 0)		y = a x (0 < a < 1)

1

0

x

Рис. 40

	1
0	x

Рис. 41

IV. Логарифмическая функция

y = loga x (a > 0, a ¹ 1), D = {x x > 0}, E = R

y			y	(0 < a < 1)
	y = loga	x (a > 1)	y = loga x
			1
0	1	x	0	x

Рис. 42

Рис. 43

40

V. Тригонометрические функции

а) y = sin x , D = R , E = [−1;1].

y

− π	− π
	2

1

0 π π x

2

-1

Рис. 44

б) y = cos x , D = R , E = [−1;1].

y

1

−	3π	− π	− π	0
2			2

π	π	3π x
2		2

-1

Рис. 45

π		множество всех действительных
в) y = tg x , D = R \	+ π n, n Z –
2
чисел R , за исключением точек	π + π n , n Ζ , E = R .
	2

y

− 3π	− π	0	π	π	3π
2	2		2		2

x

Рис. 46

41

г) y = ctg x , D = R \ {π n, n Z}, E = R .

y

− π		π	0	π	3
	−				π
		2		2	2

Рис. 47

x

IV. Обратные тригонометрические функции

а)				π	π
	y = arcsin x , D = [−1;1], E = −			;	.
				2	2
		y
		π

2

-1

0

1

x

− π

2 Рис. 48

б) y = arccos x , D = [−1;1], E = [0;π ].

y

π

π

2

-1

0

1

x

Рис. 49

42

{xn }, где элемент

в) y = arctg x , D R , E ;

= = − π π

2 2

y π

2

0

x

−π

2

Рис. 50

г) y = arcctg x , D = R , E = (0;π )

y

π

	π
	2
0	x

Рис. 51

Предел числовой последовательности

Функция y = f (n), заданная на множестве Ν всех натуральных чисел n

называется числовой последовательностью и обозначается

xn = f (n) соответствует номеру n . Будем задавать числовую последовательность

{xn } формулой своего общего члена xn .
			1				1		1		1		1
Пример.					– числовая последовательность			,		,		,…,		,… , так
							2				4		1 + n
			n + 1						3
как xn =	1		– формула общего члена последовательности.
	n +1

43

{xn }

При n = 1:

x

=

1

=

1

.

1

1 + 1

2

При n = 2 :

x

=

1

=

1

.

2

2 + 1

3

При n = 3 :

x

=

1

=

1

и т.д.

3 + 1

3

4

Пределом числовой последовательности {xn } называется конечное

действительное число

a ,

если для любого сколь угодно

малого числа ε > 0

существует такое натуральное число N , что для всех членов последовательности с

номерами n > N

выполняется неравенство

xn − a

< ε . В

краткой записи это

выглядит так:

ε > 0 N Ν n > N

xn − a

< ε

и обозначается: lim xn

= a .

n→∞

Определим ε –

окрестность точки a как множество всех

x , удовлетворяющих

условию: x − a < ε , что эквивалентно двойному неравенству: a − ε < x < a + ε .

Тогда понятие предела геометрически означает, что какую бы малую ε – окрестность точки a не взяли, найдется такой номер N , начиная с которого все последующие члены последовательности будут находиться в этой окрестности (См.

рис. 52).

x1	xN +1	xN +2 xn	x2
a − ε	a		a + ε

Рис. 52

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся или стремящейся к этому пределу, а неимеющая конечного предела – расходящейся. «Стремление» последовательности к своему пределу a будем обозначать как

xn → a .

44

Пример. Доказать по определению, что lim 1 = 0 .

	n→∞ n
			1	− 0		< ε , когда
	Решение. Возьмем любое сколь угодно малое ε > 0 . Имеем:
			n

1

< ε

или n >

1

. Значит существует такой номер N , равный целой части числа

1

,

ε

ε

n

то есть такое целое число N , что N ≤

1

< N + 1, то есть

N =

1

, начиная с

ε

ε

которого все последующие члены с номерами

N ,

N + 1, N + 2 ,

N + 3, ... будут

находиться в

ε – окрестности точки

x = 0 ,

то есть в интервале (- ε ;ε ). (См.

рис.53). При ε = 0,2

N =

1

= 5, при ε = 0,01 N =

1

= 100 .

0,2

0,01

1

1

N + 2

1

N + 3

N + 1

− ε

0

Рис. 53

ε

Замечание.

lim xn

= +¥ означает, что ε > 0

N Ν ,

n > N xn

> ε ;

n→∞

lim xn

= -¥ означает, что ε > 0

N Ν ,

n > N xn

< -ε .

n→∞

При вычислении пределов числовой последовательности полезно

использовать

следующие их свойства, если существуют конечные пределы

lim xn = a и

lim yn

= b , то

n→∞

n→∞

1) lim c = c , c = const ;

n→∞

2) lim (c × xn ) = c × lim xn

= c × a , c = const ;

n→∞

n→∞

3) lim(xn ± yn ) = lim xn

± lim yn = a ± b ;

n→∞

n→∞

n→∞

45

4)

lim(xn

× yn ) = lim xn

× lim yn = a ×b ;

n←∞

n→∞

n→∞

x

n

=

lim xn

=

a

5)

lim

n→∞

, если b ¹ 0 ;

lim y

b

n→∞ y

n

n

n→∞

6)

lim

1

= 0, если lim xn = a = ∞ .

n→∞ xn

n→∞

Пусть требуется найти предел lim

xn

отношения двух последовательностей,

n→∞ y

n

сходящихся к бесконечности, то есть lim xn

= ∞ и lim yn = ∞ .

n→∞

n→∞

Непосредственно применить свойство о пределе частного двух последовательностей нельзя. Предварительно необходимо преобразовать выражение

xn		к виду, допускающему применение указанных свойств. В связи с этим
y	n

∞

выражение называется неопределенностью, а его преобразование к виду,

∞

позволяющему найти предел – раскрытие неопределенности.

0

Заметим, что выражение , когда последовательности в числителе и

0

знаменателе стремятся к нулю, также называются неопределенностью.

Пример. Вычислить lim	n2	+ 2n − 3
			.
n→∞		n3 +1

Решение. Разделим числитель и знаменатель на n3 – наибольшую из степеней n в числителе и знаменателе:

n 2

+

2n

-

3

1

+

2

-

3

n3

n3

n3

lim

n3

= lim

n n 2

=

n3

1

n→∞

1

n→ ∞

1 +

+

n3

n3

n3

lim

1

+ 2 lim

1

- 3 lim

1

0 + 2 × 0 - 3 × 0

0

=

n→ ∞ n

n→ ∞ n 2

n→ ∞ n3

=

=

= 0 .

1

1 + lim

1 + 0

1

n→ ∞ n3

46

Предел функции.

Пределом функции y = f (x) в точке x = x0 называется такое число A , что для любой последовательности {xn } значений аргумента x , сходящейся к числу x0 ,

последовательность {yn }, yn

= f (xn )

соответствующих

значений функции y

стремится к этому числу A и обозначается: lim f (x) = A.

x→x0

При нахождении пределов функций нужно использовать следующие свойства

предела функции: если существуют конечные пределы lim f (x) и lim g(x), то

x→a

x→a

1) lim c × f (x) = c × lim f (x), c = const ;

x→a

x→a

2) lim( f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x);

x→a

x→a

x→a

3) lim( f (x)× g(x)) = lim f (x)× lim g(x);

x→a

x→a

x→a

4) lim

1

= 0 (или ∞ ),

если lim f (x) = ¥ (или 0);

f (x)

x→a

x→a

f (x)

=

lim f (x)

, если lim g(x) ¹ 0 .

5) lim

x→a

g (x)

lim g (x)

x→a

x→a

x→a

+ 1

Пример. Вычислить lim

x2

.

n→∞ 3x2 + x

Решение: Разделим числитель и знаменатель на x2 , получим:

x2

1

1

x2

+ 1

= ∞ = lim

+

1 +

=

lim

x2

x2

= lim

x2

n→∞

3x

2

+ x

∞

x→∞

3x

2

x

x→∞

1

+

3 +

x

1

x2

x2

lim1 + lim

1 + 0

1

=

x→∞

x→∞ x2

=

=

.

lim 3 + lim

1

3 + 0

3

x

→∞

x→∞ x

При нахождении пределов функций также полезно знать первый

замечательный предел: lim

sin x

= 1 и следствия из него:

x→0 x

lim

tg x

= 1;

lim

arcsin x

= 1;

lim

arctg x

= 1;

x

x

x→0

x→0

x→0

x

47

		1		x
				1
и второй замечательный предел: lim 1 +				= lim(1 + x)		= e .
					x
x®¥		x		x®¥

Пример. Вычислить предел

lim

sin 2x

.

x→0

arctg 3x

Решение.

lim

sin 2x

=

0

=

2

lim

sin 2x

×

3x

=

x®0

arctg 3x

3

x®0

2x

arctg3x

0

=

2

lim

sin 2x

× lim

3x

=

3 x®0

2x

x®0

arctg3x

=

t = 2x

=

2

lim

sin t

× lim

y

=

2

×1×1 =

2

.

y = 3x

arctgy

3 t®0

t

y®0

3

3

2

Пример. Вычислить предел lim(1 - 3x)

.

x

x®0

Решение.

2

-3 x

lim (-3 x )×

2

1

2

1

x

lim(1 -

3x)

= [1¥ ]= lim

(1 + (- 3x))

= ex→0

x = e-6

=

.

x

-3 x

x®0

x®0

e

6

Общий

метод

(правило

Лопиталя)

вычисления

пределов

в

случаях

неопределенности

0

и

¥

рассматривается в дифференциальном исчислении.

0

¥

Пусть y = f (x)

функция

от x ,

имеющая пределом число

A,

когда x

стремится к числу a . Предположим,

что все значения величины x

меньше, чем

число a , то есть

x < a .

Символически это выражается очень удобной записью:

x → a − 0 (вместо x → a, x < a ). Тогда предел

lim f (x) = A1 называют пределом

x®a-0

функции

f (x) в точке x = a слева или левосторонним пределом.

Аналогично,

при

x → a, x > a ,

то есть

x → a + 0

предел lim f (x) = A2

x®a+0

называют пределом функции

f (x) в точке

x = a

справа или правосторонним

пределом.

48

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке называются односторонними пределами.

Дадим определение непрерывности функции в точке.

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x = x0 , если:

1)	функция	f (x) определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности,
содержащей эту точку x0 ;
2)	функция	f (x) имеет одинаковые односторонние пределы в этой точке x0 ,
то есть	lim f (x) = lim f (x);
	x→x0 −0	x→x0 +0
3) эти односторонние пределы должны быть равны значению функции f (x) в
этой точке x0 : lim f (x) = f (x0 ).
	x→x0

Функция y = f (x) называется разрывной в точке x = x0 , если она определена в сколь угодно малой окрестности точки x0 , но в самой точке x0 не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Точки разрыва функции можно разделить на два типа.

Точка разрыва x0 функции y = f (x) называется точкой разрыва 1-го рода,

если существуют конечные односторонние пределы функции в этой точке, которые не равны между собой или равны между собой, но не равны значению функции в этой точке. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x0 не существует или равен бесконечности, то x0 – точка разрыва функции 2-го рода.

	Пример. Исследовать на непрерывность функцию и построить ее график
	1		, при x < 0
		x
y = x2 , при 0 £ x < 1.

2 - x, при x ³ 1

Решение. Областью определения данной функции y является вся числовая ось, то есть D = R . Точками «подозрительными» на точки разрыва являются точки x1 = 0 и x2 = 1, так как при переходе через эти точки функция y меняет свое

49