Лаба №1

Цель работы: разработать алгоритмы решений задач по определению характеристик простейшего потока с производственным сценарием.

Ход работы

Задача 1

Определить интенсивность отказов некоторого ТУ, если за 500 часов ТУ такого же типа среднее число отказов за это же время равно 1.

Интенсивность отказов (λ) системы определяется как среднее количество отказов в единицу времени. Дано, что за 500 часов работы ТУ среднее количество отказов равно 1.

Интенсивность отказов можно рассчитать по формуле:

λ = (Количество отказов) / (Общее время работы)

В этом случае имеем:

Количество отказов = 1

Общее время работы = 500 часов

Таким образом, частота отказов ТС составляет:

λ = 1/500 часов

λ = 0,002 в час

Интенсивность отказов ТС составляет 0,002 отказа в час.

Листинг программы 1

namespace Task1

{

using System;

class Program

{

public static void Main()

{

float t = 500;

float lamb = 1 / t;

Console.WriteLine("Итог = " + lamb);

} } }

Задача 2

На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью, равной 0,8 (вызовов в минуту). Найти вероятность того, что за две минуты: a) не придет ни одного вызова; b) придет ровно один вызов; с) придет хотя бы один вызов.

1. λ = 0,8 (вызовов/минуту), t = 2 мин., P0-вероятность того, что не придет ни одного вызова, P1-вероятность прихода одного вызова, P2  вероятность того, что придет хотя бы один вызов.

2. В соответствии с формулой Пуассона искомая вероятность равна:

Листинг программы 2

namespace Task2

{

using System;

class Program

{

public static void Main()

{

double lamb = 0.8;

double t = 2;

int kl = 0;

int k2 = 1;

double l = 1;

double p0 = Math.Pow(lamb * t, kl) / (l * Math.Exp(lamb * t));

double pl = Math.Pow(lamb * t, k2) / (1 * Math.Exp(lamb * t));

double p2 = 1 - p0;

Console.WriteLine(p0 + ", " + pl + ", " + p2);

}}}

Задача 3

Поток вызовов на АТС – пуассоновский нестационарный с интенсивностью λ(t), зависящей от времени На участке времени от 0 час. до 6 час. 40 мин. ин- тенсивность λ(t) возрастает по линейному закону:

λ(t) = bt + c,

причем к 0 час. она равна 0,2 вызова в минуту, а в 6 часов 40 минут – 0,4 вызова в минуту, Найти вероятность того, что за 10 минут от 3 часов 15 минут до 3 ча- сов 25 минут придет не менее трех вызовов.

λ 1(t)=0, 2 (вызова/минуту) – к 0 час.

λ 2(t)=0, 4 (вызова/минуту) – к 6 час. 40 мин.

λ 3(t)=? (вызова/минуту) – за 10 минут. от 3 час. 15 мин. до 3 час. 25 мин.

P=? – вероятность прихода 3 вызовов от 3 час. 15 мин. до 3 час. 25 мин.

Интенсивность простейшего потока не стационарна и имеет также распределение Пуассона:

λ (t) = bt+c =>

0, 2 = b * 0+c,

0, 4 = b * 400 + c, от сюда следует b = 0, 0005; c = 0, 2.

λ (t) = 0, 0005 * t + 0, 2.

P(0) = 1 * e^-3= 0.050244916

P (0) = 3 * e^-3 = 0.150734749

P (0) = 9/2 *e^-3 = 0.226102123

P (0) = 1 - p0 - p1 - p2

Листинг программы 3

namespace Task3

{

using System;

class Program

{

public static void Main()

{

double a = 3;

double p0 = 1 * Math.Exp(-a);

double p1 = 3 * Math.Exp(-a);

double p2 = (9.0/2.0) * Math.Exp(-a);

double p3 = 1 - p0 - p1 - p2;

Console.WriteLine(p0);

Console.WriteLine(p1);

Console.WriteLine(p2);

Console.WriteLine(p3);

}}}

Вывод: в ходе лабораторной работы разработал алгоритмы решений задач по определению характеристик простейшего потока с производственным сценарием.

Контрольные вопросы:

1. Какое состояние ТУ называется работоспособным.

Ответ: работоспособное состояние (работоспособность) – вид технического состояния объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров в пределах, установленных НТД.

2. Сформулировать определение понятия – отказ.

Ответ: отказ — один из основных терминов теории надёжности, означающий нарушение работоспособности объекта, при котором система или элемент перестает выполнять целиком или частично свои функции, иначе произойдёт сбой в работе устройства, системы, органа.

3. Какой поток называется простейшим.

Ответ: поток событий, обладающий свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия, называется простейшим (или стационарным Пуассоновским) потоком. Простейшим этот поток назван потому, что исследование систем, находящихся под воздействием простейших потоков, проводится самым простым образом.

4. Свойства простейшего потока и их характеристики.

Ответ: стационарность. Поток называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на элементарный участок времени длиной т зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси t расположен этот участок. Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность наступленияkсобытий за промежуток времени длиныtне зависит от начала отсчета промежутка времени, а зависит лишь от его длительности.

Отсутствие последействия. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой (или другие, если рассматривается больше двух участков). Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность наступления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, сколько событий появилось до начала рассматриваемого промежутка.

Ординарность. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Если в неординарном потоке события происходят только парами, только тройками и т. д., то можно его рассматривать как ординарный «поток пар», «поток троек» и т. д. Свойство ординарности означает, что вероятность наступления более одного события за малые промежутки времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события и пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью не наступления событий.

5. Среднее число событий, наступающих в простейшем потоке.

Ответ: среднее число событий, происходящих за время  , равно   Полученный результат можно не строго сформулировать следующим образом. Если события приходят независимо друг от друга и по одному и известно, что на данный интервал времени в среднем приходится   событий, то вероятность появления на этом интервале равно   событий равна