7408

Другими словами, абсолютная ошибка

f (x	) S	n	(x	)
1			1

находится как оценка

остатка

r	(x	)
n	1

полученного ряда. Если ряд является рядом лейбницевского

типа, то ошибка меньше, чем модуль первого из отброшенных членов, т.е.

r	(x	)
n	1

u	n 1	(x	) u	n 2	(x	) u	n 3	(x	) ...
		1			1			1

u	n 1	(x	)
		1

.

В случае, когда ряд знакоположительный или знакопеременный, поступают следующим образом: для этого ряда составляют ряд из модулей его членов и подбирают для него положительный ряд с большими членами (как правило, это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который бы легко

суммировался. И тогда в качестве оценки	rn (x1 )
нового ряда.

Пример 1. Найти cos1 с точностью до 0,0001. Решение. В разложении (6) (см. §6) положим x

берется величина остатка

1	и получим:

cos

Так

как

1 0,0001,

	1 1		1		1
			2!		4!
	1	0,16667
	3!

	1		1	...
	6!		8!
	0,0001,

.

	1	0,04167	0,0001,
	4!

	1
	6!

0,00139

0,0001

,

	1
	8!

0,00002

0,0001

,

то для нахождения

cos1

с

точностью до

0,0001

достаточно взять четыре первых слагаемых:

	cos 1 1	1		1		1	0,8736 .
		2!		4!		6!

При этом допускаемая ошибка меньше, чем модуль первого отброшенного

члена, т.е. меньше 0,00002.																			
	Пример 2. Найти	3	e	с точностью до 0,00001.
	Решение. Воспользуемся готовым разложением (4) (см. §6) и положим в
нем	x 1 3:
			1 3			(1 3)			2		(1 3)		3				(1 3)		n
	3 e 1													...					...
			1!				2!					3!						n!
	1		1				1				1			...			1	... .
			3			2				3						n
					3		2!				3!				3		n!
										3

Справа получили знакоположительный ряд. Поэтому для оценки ошибки rn (x) и подберем для ряда rn (x) знакоположительный ряд с большими членами:

	rn (x)	1			1				1		...
		3n 1 (n 1)!			3n 2 (n 2)!			3n 3	(n 3)!

			1				1				1
					1							...
		n 1								2
3			(n 1)!				3 (n 2)		3		(n 2)(n 3)

30

		1			1				1
	n 1		1					2		2	...
3		(n 1)!			3 (n 1)		3		(n 1)

			1
		n
	3		n! (3n 2)

	3	n 1

,

1				1
(n 1)!				1
		1
				3 (n 1)

т.е.

r	(x)
n		3	n

1n! (3n

. Теперь остается подобрать наименьшее

2)

натуральное

число

n ,

чтобы

выполнялось

неравенство

3	n

1n! (3n 2)

0,00001

.

Это неравенство выполняется при

n

5

. Тогда

3	e 1		1				1			1				1			1	1,39561.
			3		3	2	2!		3	3!		3	4	4!		5	5!
									3							3



2. Приближенное вычисление определенных интегралов

			b
Рассмотрим задачу вычисления определенного интеграла				f (x) dx
			a
заданной точностью до 0.
Пусть подынтегральная функция	f (x)	может быть разложена

с

в

степенной ряд и отрезок

[ a ;b ]

включен в интервал сходимости

( R; R)

ряда.

Тогда для вычисления заданного интеграла применяют свойство почленного интегрирования степенного ряда. Ошибка, получаемая при вычислениях, определяется так же, как и при вычислении значений функции.

																									1		sin x				4
		Пример 3. Вычислить интеграл																														dx			с точностью до 0,001.
																												x		2
																									0
		Решение. Разложим подынтегральную функцию																																						в		ряд Маклорена,
применив разложение (5) (см. §6), в котором заменим																																						x на x				4	:
				sin x4				1						x12							x20					x28											x10			x18					x26
										x4																		...					x2													... .
					2				2
				x				x						3!							5!				7!												3!			5!					7!
Заметим, что полученный ряд сходится при x .
		Интегрируя почленно этот ряд на отрезке																																			[ 0;1] , лежащем внутри
интервала сходимости ( ; ) , получим:
1			4			1					10			18								26										x		3			11			19							27		1
	sin x																				x																									x
				dx					2		x				x																						x			x
							x																	... dx																								...
	x	2									3!			5!							7!												3			11 3!				19 5!					27 7!
0						0																																											0
															1						1						1						1			... .
														3				11 3!							19			5!				27			7!

31

Получили ряд лейбницевского типа. Сравним каждый член этого ряда по модулю с заданной точностью, отбросим те, которые меньше заданной точности и найдем алгебраическую сумму оставшихся членов ряда. Так как

	1	0,3333	0,001,
	3

1
11	3!

0,0151

0,001

,

1
19	5!

0,0004

0,001

, то

1

0

sin x		4
x	2

dx

1		1
		11
3			3!

0,318

.



32

Контрольные задания

Задание № 1

1.01.						1
			n (n 1)(n
	n 1
				n
1.02.
			5
	n 1 n			4
1.03.					n
		3	n		9	1
	n 1

Исследовать ряд на сходимость.

1.16.						5n 5
		n (n 1)(n 3)
2)(n 3)	n 1
			ln n
1.17.
		3			n7
	n 2
1.18.									n
		5		n		7	3n 1
	n 1

1.04.		3 n
		(n 1)	n
	n 1

6n3

1.19.

n 1 (7n2 2)4

			3					n
1.05.					1.20.
	n	2	2n 3			4n	2	8n 9
n 1					n 1

1.06.									4
			n(n 1)(n											2	2)
	n 1
1.07.									3n 8
			n (n 1)(n 2)
	n 1
									2n 1
1.08.
			n (n 1)(n 4)
	n 1
									n
1.09.
								n2 4
	n 3
1.10.									1
			n		2			6n 13
	n 1
									n
1.11.
			(n2 2)5
	n 1
1.12.								1
		10n 4
	n 1
									1
1.13.
			(3n 1)4
	n 1
							n		2
1.14.
			2n2 1
	n 1
									4
1.15.
		3
						n(n 1)(n 2)
	n 1

1.21.								n
		(n			2									1)	4
	n 1
					n			2					1
1.22.
		(n					4				1)						2
	n 2
										n				2
1.23.
		3		(n						3				1)						7
	n 1
1.24.				n 1
							n				5
	n 1
		sin (												n		2			)
1.25.
								n				2
	n 1
						n		3
1.26.
		3n				3			2
	n 1
						5n						2
1.27.
		(2n												1)	6
	n 1
1.28.					n
		3n 5
	n 1
						8n 3
1.29.
		n	8				4n 5
	n 1
							n				3
1.30.
				n6 2
	n 1

33

Задание № 2

Исследовать ряд на сходимость.

2.01.

n 1

2

n

(n 1)!

n 1

2

n 1

(n

3

1)

2.02.

(n 1)!

n 1

10

n

2n!

2.03.

(2n)!

n 1

2.04.

(2n 2)!

1

3n 5

2

n

n 1

n

n

2.05.

3

n

n!

n 1

6

n

(n

2

1)

2.06.

n!

n 2

n

3

2.07.

(n 2)!

n 1

7

2n

2.08.

(2n 1)!

n 1

2.09.

n!

(3n)!

n 1

1 3 5 ... (2n 1)

2.10.

3n (n 1)!

n 1

2.11.

n!

n

n 1

n 1

(n 1)!

2.12.

nn

n 1

5n 3 n2

2.13.(n 1)!n 1

		5	n	(n		1)!
2.14.
				(2n)!
	n 1
		2n n!
2.15.
			nn
	n 1

3

n

2.16.

(n

2)! 4

n

n 1

(3n 2)!

2.17.

10n n2

n 1

4

n 1

n

2

5

2.18.

(n 1)!

n 1

2.19.

n! (2n 1)!

(3n)!

n 1

n

3

2.20.

(2n)!

n 1

2.21.

3n 1

n

3

n

n 1

5

n

2.22.

3

n

(2n 1)

n 1

2

n

2.23.

3n!

n 1

2.24.

(2n)!

n

2

n 1

3

2n

2.25.

(2n 1)!

n 1

n

3

2.26.

e

n

n 1

2n 1

2.27.

(

2)n

n 1

n2

2.28.(3n)!n 1

					2	n
2.29.
			n					2
n 1 5					(n		1)
					2n
2.30.
				(n 1) 2n
n 1

34

Задание № 3

Исследовать ряд на сходимость.

																							n				2
		1												n
3.01.
			n
	n 1	3								n				1
														n			2
											1													1
3.02.
		1																							n
	n 1										n											4
																			n			2
			2n							2				1
3.03.
					n				2		1
	n 1
																			n			2
										n
3.04.
			10n											5
	n 1
																		n	2
			2n 3
3.05.
						n 1
	n 1
																		n
3.06.			2n 1															2
			3n 1
	n 1
		2		n 1
3.07.
			n				n
	n 1
									n								2n			1
3.08.
			3n 1
	n 1
																		n
3.09.				2n 1														2
			8n 5
	n 1
		5			3n 2
3.10.
					n				n
	n 1
3.11.										1
		ln				n			(n 1)
	n 1
		1												n									n
3.12.
				n
	n 1	5								n				1
											n 3													n
3.13.																						4
	n 1				16n									2
			3n 1													1 2n
3.14.
									n
	n 1
									n														n
																				3
3.15.
	n 1		4n 4

n 2

n

n

3.16.

7

5

n 1

n 1

3.17.

n

arcsin

4n

n 1

3.18.

n

arctg

3n

n 1

n 1

n

3.19.

2

e

n 1

3

n 2

3.20.

5

n

n 1

n

2

n

3.21.

3n 1

n 1

n

2

n 1

1

3.22.

n

n

n 1

2

5

n 1

3.23.

3

n

n 1

n

3.24.

3n 10

3

2n

3

n 2

n

2

4n 5

3.25.

n

3

n 4

n 2

n

n

3.26.

5

7n 1

n 1

8

n 2

3.27.

3

n

n 1

2n

2

2n

3.28.

6n

2

n 1

1

1

n

1

n

3.29.

4n

n 2

n

1

2n

n 2

3.30.

n 1

4n

1

35

Задание № 4

Исследовать ряд на сходимость.

4.01.			ln n
				n
	n 2
4.02.												1
		1 (2n 1)																		2
	n 1
												1
4.03.
			n	2				4n 9
	n 1
								1
4.04.
					2n 1
	n 1
					1
4.05.
			n ln n
	n 2
4.06.								n
			(n							1)					3
	n 1
4.07.												1
		(2n										1)				2		1
	n 1
4.08.					n
		1 n									2
	n 1
4.09.											1
			n	2				6n 1
	n 1
4.10.																1
			(n								2) ln								4	(n 2)
	n 1
4.11.						2n
		(n 2)													2
	n 1
4.12.												1
		16									8n n										2
	n 1
4.13.												2n 1
					n			2			8n 16
	n 1
4.14.							1
			n ln						3			n
	n 2
						1
4.15.
				2
	n 2		n					1

	4.16.									1
				2n 3
		n 1
					6n								2
	4.17.
			n			3					3
		n 1
			1						ln2 n
	4.18.
					n
		n 2
	4.19.														n
									2n							2		1
		n 1
	4.20.																	1
			(3n 2)(3n 1)
		n 1
										n				2
	4.21.
				2n							2				1
		n 1
	4.22.													2n 1
				(n 1)(n 2)
		n 1
	4.23.										1
					n				2				n
		n 2
					3n 2
	4.24.
			(n 1)2
		n 1
			3ln									2			(3n 1)
	4.25.
											3n 1
		n 1
	4.26.									1
			3						n 3
		n 1
												2n 1
	4.27.
			n			2					4n 10
		n 1
					ln					3				n
	4.28.
									n
		n 2
													n			2
	4.29.
				n				2				n 1
		n 1
										10
	4.30.
									9n 8
		n 1

36

Задание № 5

Исследовать ряд на сходимость.

5.01.		( 1)					n											n
												7n 2
	n 1
						n													n
5.02.		( 1)								sin
	n 1																			n
5.03.		( 1)					n											1
												2			n				n!
	n 1
			( 1)						n 1
5.04.
			n 3				2n 1
	n 1
				( 1)									n
5.05.
			(2n 3) n!
	n 1
				2							n
5.06.
				5
	n 1
			( 1)						n 1
5.07.
		n 4
							n 1
	n 1
5.08.		( 1)					n												1
																				4
	n 2											n ln										n
			( 1)									n 1
5.09.
			(n					1)						2				2n
	n 1

( 1)n

	n 1	n2 5		n7
		( 1)			n 1
5.11.
						3		n
	n 1
		(n 1)				2
5.12.		( 1)	n		2n 1
						5n
	n 1

n n3

5.13.( 1) (n 1)!n 1

										n
					n
		( 1)	n 1						2
	5.14.
	n 1				4n 1
		( 1)n			1
	5.15.
				n3 7n
	n 1

					2n 1		n
			n
5.16.		( 1)
					3n 1
	n 1

		( 1)n 1																					1
5.17.
																		2n 1
	n 1
										n 1															n
5.18.		( 1)
																	3						n		9	1
	n 1
				( 1)									n 1
5.19.
				n				2				2n 2
	n 1
			( 1)								n		1
5.20.
		3					n		n!
	n 1
											( 1)						n
5.21.
		6				n 1							(n 2)!
	n 1
				( 1)								n			(3n 1)
5.22.
														n			3				n
	n 1
			( 1)								n			n!
5.23.
							n		n 1
	n 1
			( 1)								n			7			2n
5.24.
					(2n 1)!
	n 1
				( 1)									n		3				n
5.25.
			(n 2)!														4				n
	n 1
			( 1)n 2n 1
5.26.
									2n 1
	n 1
			( 1)								n			4			n
5.27.
														n
	n 1
			( 1)								n			n			3
5.28.
				(n 2)!
	n 1
				( 1)								n			(3n 2)!
5.29.
										10n n2
	n 1
				( 1`)										n		3				n
5.30.
		5			n		(n										1)					2
	n 1

37

Задание № 6

Найти область сходимости ряда.

x

n

6.01.

n! (n 3)

n 1

n

x

2n 1

6.02.

( 1)

n 1

(2n 1)(2n 1)

n

x

2n 2

6.03.

(2n 1)!

n 1

n

n 1

6.04.

x

n 1

n 1

( 1)

n

n

n 2

6.05.

x

n

2

n 1

n

x

n

6.06.

( 1)

(n

2)

n

n 3

n 1

(2n 1) 2n x

2n 1

6.07.

( 1)

(2n 1)!

n 1

x

n

6.08.

n

n

n 1

x

n

6.09.

n

2

n

n 1

n

x

n

6.10.

n 1

n 1

2

x

n

6.11.

n (n 1)

n 1

2n xn

6.12.n (n 1)n 1

( 1)

n 1

x

n

6.13.

n

3

n 1

3

n

x

n

6.14.

n!

n 1

n 1

n

n 1

( 1)

5

x

6.15.

n

n 1

n

x

n

6.16.

( 1)

10n 12

n 1

x

2n

6.17.

(2n 1)(2n 3)

n 1

4

n

x

n

6.18.

4

n

n 1

6.19.

n 1

x

n

2

n

(n

2

1)

n 1

n

x

n

6.20.

( 1)

n

3

7

n

n 1

x

n 1

6.21.

3

n

5

1

n 1

x

n

6.22.

n

5

n 1

x

n

6.23.

3

n

n!

n 1

x

n

6.24.

3

n

3

3

n 2

n 1

x

n

6.25.

n 1

4

n 1

x

2n 1

6.26.

n

n 1

n 1

x

2n

6.27.

16n (2n 1)

n 1

(n

1) x

n 1

6.28.

3

n

n 1

x

n

6.29.

n

7

n 1

x

2n 1

6.30.

2n (2n 1)

n 1

38

Задание № 7

Найти область сходимости ряда.

(x 1)

n

7.01.

n

2

n

n 1

(x

5)

n

7.02.

n 3

n

n 1

(x 3)

n

7.03.

n

5

n

n 1

(x 1)

2n

7.04.

n 9n

n 1

n 1

(x

2)

2n

7.05.

( 1)

2n

n 1

(x 3)

n

7.06.

n

2

n 1

(x

5)

2n 1

7.07.

2n 4

n

n 1

(x 2)

n

7.08.

(2n 1)

2

n

n 1

(x 3)

n

7.09.

5

n

n 1

(n 2)

3

(x 3)

2n

7.10.

2n 3

n 3

(x

2)

n

7.11.

(2n 1)

3

n

n 1

(x

2)

n

7.12.

(3n 1)

2

n

n 1

10

2n

7.13.

( 1)n

(x 1)2n

n2

n 1

1

(x 5)

2n

7.14.

5

2n

n 1

(3x 2)

n

7.15.

3

n

(4n

2

5)

n 1

2

n 1

(x 5)

n 1

7.16.

n

2

n

n 1

2n 1

(x 1)

n

7.17.

3n 1

2

n

n 1

6n

(x 3)

n

7.18.

3n

2

2

3

n

n 1

( 1)

n

(x 1)

2n

7.19.

2n 1

2n 1

n 1

( 1)

n

(x 5)

2n 1

7.20.

n 2

n 3

n 4

n 1 (x

3)

n

7.21.

3

n

n 1

n (x 1)2n

7.22.2n

n 1

5

n (x 4)

n

7.23.

3n

2

1

n 1

( 1)

n

2x 1

n

7.24.

n

2

1

5

n 1

(4x 1)

n

7.25.

(4

n 3) 5

n

n 1

( 1)

n

n

x

2

n

7.26.

n

2

1

2

n 1

(x 1)

3n

7.27.

n 2

3n

n 1

2

2n

(x 2)

2n

7.28.

n (n 1) (n 2)

n 1

(x

10)

n

7.29.

5

n 1

n

n

2

1

n 1

(x 2)

n

7.30.

3

n

(2n 1)

n 1

39