7797

	f ( f
f	yy	y
	( f ) (e	x y
yx	y x
В результате, получили, что
		f xy

Пример 2. Найти

u

,

u

,

x

y

u x

4

y

3

z

2

.

Решение. 1)

u

4 x

3

y

3

z

2

;

x

) (e		x y		x)	e
y	e			y
x)			x y	x y e
x
f yx .

	2	u				2	u
x			2	,	x y					,
u				3 x		4		y	2	z	2	;
y

x x

x

y	x	2	;
y	e		x y	( x y 1) .

	3	u					3		u
			,	x			2		y
y z
u			2 x	4	y	3		z .
z



для функции

	2u					u			(4 x3 y3 z 2 ) 12 x2 y3 z 2 ;
2)
		2
	x							x
				x		x

2

u

2

u

u

12 x

3

y

2

z

2

.

x y

y x

y

x

u

u

u

3

3

2

3)

24 x

3

y

2

z ;

x y z

z x y

z

x y

u

u

u

3

3

2

36 x

2

y

2

z

2

.

x

2

y

y x

2

y

x

2

Пример 3. Дана функция

z e

x y

. Показать, что

z

z

2

z

x

x

y

y

2

x

y

2 z .

z

z

z

2

Решение. Находим

e

x y

y

;

e

x y

x ;

e

x y

x

y

x

y

Подставляем найденные производные в левую часть уравнения:

x y

e

x



y .

x y ex y x y ex y 2ex y x y 2ex y 2ex y 2 z

Правая часть уравнения имеет тот же вид. Значит, функция решением данного уравнения.

.

z e x y

является



§4. Дифференцируемость функции двух переменных

Напомним, что для функции одной переменной y f ( x) существование

производной в точке

x0

является необходимым и достаточным условием

дифференцируемости функции в этой точке. Для функции многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными утверждениями, т.е из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.

10

Функция z f ( x, y) называется дифференцируемой в точке M ( x; y) ,

если ее полное приращение можно представить в виде

z A x B y x y ,

где A , B – некоторые числа, ( x, y ) , ( x, y ) – бесконечно малые при x 0, y 0 .

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции).

Если функция z f ( x, y) дифференцируема в точке M ( x; y) , то она

непрерывна

	аргументу

в

z x

этой

	и	z
		y

точке и имеет в ней

	, при этом	z	A ,
		x
			M

частные

	z	B
	y
		M

производные по каждому

.

Обратная теорема не верна, т.е. непрерывность функции или существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.

Пример 1. Функция

z

x

2

y

2

непрерывна в точке

(0; 0) ,

но

дифференцируема в этой

точке,

т.к. формулы

z

2 x

x

x

2

y

2

z

2 y

в этой точке теряют смысл. Действительно, зафиксируем

y

x

2

y

2

2

не

,

2

y

в этой функции. Пусть y производной в точке x 0.

x3		y3
		y 2
Пример 2. z x2
		0,

0	, тогда z	x2 x – функция, не имеющая
		

,x2 y 2 0 ;

x2 y 2 0.

Данная функция имеет в точке

O ( 0; 0)

частные производные, но не

x,

x 0;

т.е. z ( x, 0) x и

дифференцируема в этой точке, т.к. z ( x, 0)

0,

x 0,

z

( z ( x, 0))

1. Аналогично,

зафиксировав

x

( x 0 ) , имеем

x

x

( 0; 0)

x 0

z (0, y ) y ,

z

( z (0, y ))

1. Итак,

функция

имеет

частные

y

( 0; 0)

y

y 0

производные в точке O ( 0; 0) .

Докажем, что функция не

дифференцируема

в

точке

O ( 0; 0) .

Предположим противное, тогда приращение функции в этой точке

z f ( x x, y y ) f ( x, y )

( x x)3

( y y)3

x3 y

3

x3 y3

2

2

2

2

2 0

( x

x)

( y y)

y

2

x

y

x

x 0

y 0

11

можно представить в виде:

z	z		x	z
	x			y
		( 0; 0)
				( 0 ; 0 )

Подставляя полученное, имеем:

y ( x, y )

( x,

y )

.

x3 y3 1 x 1 y ( x, y ) ( x,

x2 y2

или		y			x		y		x		y				x y
x	3		3			3		3		3				3			2
x	2	y	2	x y							x	2	y			2

x y

2

x

2

y

x

2

y

2

( x, y ) ( x,

т.е.

lim

x y2 x2

y

0.

( x2 y2 )

x

2 y2

x 0

y 0

Покажем, что этот предел не существует. Пусть

x ,

нулю так, что y k x

(k 0)

, тогда

y )

y ) ,

y

x	2	y

стремятся к

	x k	2	x			2	x		2		k x			k	2	k
lim	( x			2	k		2	x		2	)	3 2		(1 k			2	)	3 2
x 0
y 0

.

Так как предел принимает различные значения, зависящие от

k , то такой

предел не существует. Следовательно, предположение о дифференцируемости функции было неверным и функция не дифференцируема в точке O ( 0; 0) . 

Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции).

Если функция

z f ( x, y)

имеет частные производные в некоторой

окрестности точки

M ( x; y)

и эти частные производные непрерывны в самой

точке M ( x; y) , то функция дифференцируема в этой точке.

Непрерывность частных производных в точке является достаточным условием дифференцируемости функции (но не необходимым!), т.к. если функция дифференцируема в точке, то частные производные существуют, но они не обязательно непрерывны в этой точке.

§5. Полный дифференциал функции

Пусть функция z f ( x, y) дифференцируема в точке M ( x; y) , т.е. ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

z xz x yz y x y ,

12

где	( x, y ) ,	( x, y )	– бесконечно малые при
y 0 .
	Полным дифференциалом dz		функции z f ( x, y) в точке

x 0, M ( x; y)

называется главная часть приращения функции, и y :

	dz	z	x	z	y
		x		y

линейная относительно

.

x

Дифференциалы переменных, так Аналогично, для функции в точке

независимых переменных				x и	y есть приращения этих
как, если положить z x ,				то	dz d x 1 x 0 y x .
z y получим dz dy. Поэтому полный дифференциал
M можно записать в виде:
dz	z	d x	z	dy .
	x		y

	Выражения	d x z		z	d x ,	d y z	z	dy
				x			y
	дифференциалами		функции			z f ( x, y)
	соответствующими приращениям аргументов							x	и

называются

	в	точке
y	отдельно.

частными

M ( x; y) ,

Геометрический

смысл

дифференциала

z

функции двух

переменных:

если

полное

приращение

z

функции

в

точке

геометрически

представляет

собой

M1

приращение

AM1

аппликаты поверхности

M

B

z f ( x, y) , то дифференциал

dz функции

A

есть

приращение

AB

аппликаты

0

y

касательной

плоскости

к

поверхности

x

(x; y)

z f ( x, y)

в

данной

точке,

когда

(x x; y y)

независимые переменные

x

и

y получают

Рис. 6

приращения x и

y

(рис. 6).

Пример. Дана функция u ex 2 y 2 z 2 . Найти полный дифференциал du

функции в точке M

0;1; 2 .

Решение. Найдем частные производные в точке M 0;1; 2 :

u	ex	2	y	2	z	2	2x
x
	M

uz M

0	,	u		e	x	2	y	2	z	2	2 y
		y
M			M								M
ex 2 y 2 z 2 2 z				4e5 .
				M

2e	5

,

Тогда du	u	M	d x	u	dy	u	d z 2e5 d y 4e5 d z .	
M	x			y M		z	M
						13

§6. Применение полного дифференциала функции к приближенным вычислениям

	Рассмотрим функцию			z f ( x, y)			, дифференцируемую в точке		M ( x; y) :
	z		z	x	z	y x y ,
			x		y
где	( x, y ) ,	( x, y )					– бесконечно малые	при	x 0,
y 0 . Эта формула фактически означает, что функция, дифференцируемая
в точке M ( x; y) , “почти				линейна”			в окрестности точки	M . Выделение

линейной части функции называется ее линеаризацией. При достаточно

малых приращениях независимых переменных	x	и		y		можно полагать,

что z d z . Переписав это более подробно

f ( x x, y y ) f ( x, y ) d z M ,

можно использовать полученное приближенное приближенного значения приращения функции

равенство в виде

f ( x x, y y ) f ( x, y )		f
	M	x	M

равенство

z . Если

x f y M

для вычисления же записать это

y ,

то эту формулу используют для вычисления приближенных функции z f ( x, y) в точке M ( x; y) .

Пример

1. Найти

приближенное

значение

приращения

f

( x, y ) 3 x

2

9 y

2

9 x y

при

переходе

от точки

M 0 ( x0 ; y0 )

M ( x0 x;

y0 y) , если

x0 9

,

y0 3 ,

x0 x 9,09

,

y0 y

Решение.

Так

как

z f

(M ) f

(M 0 ) d z

M

,

найдем

0

частных производных в точке M 0 ( x0 ; y0 ) :

значений

функции к точке

2,94 .

значения

	z		(6 x 9 y)					6 9 9 3 27	,
	x					M
								0
			M
			0
	z		(18y 9 x)					18 3 9 9 27 .
	y				M		0
		M
			0
	Тогда, учитывая, что	x 0,09		, y 0,06, получим:
			z 27 0,09 27 ( 0,06) 4,05.



Пример 2. Вычислить приближенно ( 2 0,97 )3,02 . Решение. Для того, чтобы воспользоваться приближенного вычисления необходимо ввести функцию

формулой

z ( 2	x )	y

для , для

которой ( 2	0,97 )	3,02	является частным значением при	x 0,97	,	y 3,02	, и

подобрать “хорошую”, близкую к данной, точку, в которой вычисления не представляют труда. В качестве такой точки возьмем M 0 ( x0 ; y0 ) , где x0 1,

y0 3 , тогда x0 x 0,97 , y0 y 3,02 и x 0,03, y 0,02.

Найдем частные производные в точке M 0 ( x0 ; y0 ) :

14

Значит,

( 2

	z				y ( 2				x )		y 1					1					3	,
	x																				2
			M		0										2		x	M	0
		z			( 2				x )		y	ln ( 2					x )			0 .
		y																M 0
					M
					0
	0,97 )	3,02		(2		1)		3				3		( 0,03) 0						0,02 1,045 .
												2



Пример 3. Линеаризуя функцию

f	( x, y ) y	x

в точке

( 1;1)

, найти

приближенно

f

( 1,01;1,05)

.

( x;

Решение. Линеаризуя функцию		f
y) , достаточно близких к точке ( 1;1)
f ( x, y ) f ( 1, 1) f
x	(1;1)

( ,

(

x, y ) в точке ( 1;1) , получим при
приближенное равенство
	( y 1) ,
x 1) f y
	(1;1)

где

x

x 1, y y 1

. Подставляя в это равенство

f (1,1) 1,

y

x

ln y

0 ,

x y

x 1

f x

(1;1)

f y

(1;1)

(1;1)

(1;1)

1

,

получим при

( x;

y)

, близких к точке

f ( x, y )

( 1;1) 1 ( y

:

1)

y

.

Следовательно,

x	y

y

. В частности,

f

( 1,01;1,05) 1,051,01

1,05

.



§7. Производная сложной функции

I. Если задана функция двух переменных

z f ( x, y) , в которой каждая

из переменных		x и y	является функцией одной переменной		t , т.е.	x x (t) ,
y y (t) , то	функция		z f ( x(t), y (t)) является	сложной функцией			одной
переменной	t .	При	этом t – независимая	переменная,	а x	и	y –

промежуточные переменные.

Теорема 1. Пусть z f ( x, y) – дифференцируемая в точке M ( x; y)

функция, а

x x (t) ,

y y (t) – дифференцируемые функции в точке t . Тогда

сложная функция z f ( x(t), y (t)) также дифференцируема в точке t

:

d z

z

d x

z

dy

.

dt

x

dt

y

dt

Пример 1. Найти

d z

, если

z log4 (x2 5 xy)

,

x 7t ,

y sin3t .

dt

Решение. Найдем

z

,

z

,

d x

,

dy

:

x

y

dt

dt

15

z

x (x2

15 xy) ln 4 d x dt

(2 x

7t ln

5 7

y)

,

,

z

y (x2

	dy	3cos 3
	dt

15 xy) ln 4

t .

( 5 x)

,

Тогда по формуле производной сложной функции одной переменной получаем:

d z

2 x 5y

7

t

ln 7

5 x

3cos 3 t

dt

(x

2

5 xy) ln 4

(x

2

5 xy) ln 4

(2 x 5y)

7

t

ln 7

15 x cos 3 t

(2 7

t

5sin3 t) 7

t

(x

2

5 xy) ln 4

(7

2t

5 7

t

(2 7

t

5sin 3 t) ln 7 15cos 3 t

(7

t

5sin 3 t) ln 4

ln 7 15 7	t	cos 3 t
sin 3 t) ln 4
.			

Рассмотрим частный случай: пусть задана функция z f ( x, y) , где y зависит от одного аргумента x , т.е. y y (x) . Тогда функция z f ( x, y (x))

является сложной функцией одной переменной x , и можно ставить вопрос о

нахождении производной

d z d x

. Этот случай является частным случаем

предыдущего, где роль переменной t

играет

x :

d z

z

d x

z

dy

z

z

d x

x

d x

y

d x

x

y

Полученная

формула

носит

название

формулы

производной

d z

(в отличие от частной производной

d x

		dy		.
		d x
	для			вычисления полной
	z		).
	x

d z

x

3

Пример 2. Найти

, если

z

x

3

y ,

y

d x

Решение. Найдем

z

,

z ,

dy

:

x

y

d x

z

1

2

z

3

1

3 x

3

y ,

x

x

2

x

y

y

y

Следовательно,

2

3

d z

3 x

3

x

x

y

d x

y

y

2

3 3 y

3 x

2

x

2

3

cos x

cos 2 x

cos x

3 3

II. Если задана функция двух переменных

y cos x .

		1	,	dy	sin x .
				d x
3	3	y	2

sin x

2

1
			xsin x .	
	2
cos		x

z f ( x, y) , в которой каждая

из переменных x и y является функцией двух переменных u и v , т.е.

16

x

x(

u ,v)

,

y

y (

u,v)

, то функция

z f ( x( u,v), y ( u,v))

является сложной

функцией двух переменные, а x

переменных

u

и

v . При этом

u

и

y

– промежуточные переменные.

и

v

– независимые

Теорема 2.		Пусть	z f ( x, y)		–	дифференцируемая в точке		M ( x; y)
функция,	а x x( u ,v) ,		y y ( u,v)		–	дифференцируемые функции в точке
( u ;v) .	Тогда	сложная		функция			z f ( x( u,v), y ( u,v))	также

дифференцируема в точке ( u ;v) и ее частные производные находятся по формулам:

	z		z		x		z		y	,
	u		x		u		y		u

Пример 3. Найти

Решение. Найдем

z 1 2 x

x y

  

z u z x

y

		z
		v
	,	z
		v
	,	z
		y
	cos (

zx

,если

x

,,

u

xy) ,

	x			z
	v			y
	z		x2
			y
	x	,	y			,
	v		u
	z		x			2
	y

		y	.
		v

sin ( xy) ,

y

:

v

1

2y

x

x

	u	,
	v

cos

y e	uv

( xy) ,

.

x		1	,	x			1			,
u		v		v	u		v	2

Согласно формулам для нахождения функции двух переменных получаем:

y	ve	uv	,	y	u e	uv	.
u				v

частных производных от сложной

z

2 x

1

x

2

y cos ( xy)

2

x cos ( xy)

ve

u

y

v

y

2u

uv

u e

uv

1

u

2

u

u e

uv

e

cos

cos

uv

v

v

2

e

2uv

v

v

z

ve

u

v

2 x

x

2

y cos ( xy)

2

2

x cos ( xy)

v

y

v

y

2u

uv

u e

uv

u

u

2

u

u e

uv

e

cos

cos

uv

2

2

2uv

v

v

e

v

v

ve

v

uv
ve			uv
u e		uv
	u e

,

uv

.



Эти формулы могут быть обобщены для случая большего числа переменных.

17

§8. Производная неявной функции

F(

I. Функция y f ( x) называется неявной, если она задается уравнением x, y) 0, неразрешенным относительно y .

	Производная	dy	неявной функции		y , заданной уравнением
		d x
	(предполагается, что			0 ), находится по формуле:
			Fy

F( x, y) 0

	Пример 1. Найти	dy
		d x

Решение. Уравнение

	dy				F		.
						x
	d x				F
						y
	, где sin (xy)				x		.
					y	2
	sin (xy)	x		определяет
			2
	y

y

как неявную функцию

от	x . Здесь F ( x, y) sin (xy)
			F y cos (
				x
			y cos ( xy)		1
		dy			y	2
Тогда
		d x			2 x
			x cos ( xy)
					y	3
	II. Функция			z f ( x,

x

. Найдем

:

y

2

Fx

, Fy

xy)

1

,

x cos ( xy)

2 x

.

y

2

Fy

y

3

1

y cos ( xy)

y

2

y ( 1 y

3

cos ( xy))

.

2 x

x ( y

3

cos ( xy) 2)

x cos ( xy)

y

3

y)

называется

неявной,

если она



задается

уравнением F( x, y, z ) 0		, неразрешенным относительно z .
Уравнение	F( x, y, z ) 0		определяет неявно одну
однозначных функций z		от x	и y . Например, уравнение

или несколько

	x	2		y	2		z	2
									1
	4			1			9

неявно определяет две непрерывные функции z от x выразить явно, разрешив уравнение относительно

получаем:	z 3	1 x2	y2	и z 3	1	x2		y2	.
		4	1		4		1

и

z

y , которые можно

. В этом случае

Частные производные

	z	и	z
	x		y

неявной функции

z

, заданной

уравнением	F( x, y, z ) 0	(предполагается,						что			0 ),
										Fz
формулам:
		z		Fx	,	z		Fy	.
		x		Fz		y		Fz

Аналогичным образом определяются неявные функции переменных и находятся их частные производные.

18

находятся по

любого числа

Пример 2. Найти

z

и

z

, где e

x

y

Решение. Уравнение

e

z

x

3

y

функцию от x и y . Здесь

F ( x, y, z ) e

F

3 x

2

y

,

F

x

y

Следовательно,

z

3 x

2

y

3 x

2

y

x

e

z

1

1 e

z

z

x

3

y

z 5 0 .

z 5 0

определяет

z

как

неявную

z

x

3

y

z 5

. Найдем

F , F

и F :

x

y

z

3

z

x ,

e

1.

Fz

z

x

3

x

3

,

.



y

e

z

1

1 e

z

§9. Производная по направлению

Пусть

M	0	( x	; y	0
		0

вектором

	функция		z f ( x, y) определена в некоторой окрестности точки
)		и задано некоторое		направление,	определяемое единичным
		cos	; cos , где	cos , cos	– направляющие косинусы
l

вектора l ,

. Для

характеристики

скорости

изменения

функции

2

z f ( x, y)

в точке

M 0 ( x0 ; y0 ) в направлении вектора

l вводится понятие

производной функции в точке по направлению вектора.

При перемещении точки M 0 ( x0 ; y0 )

в направлении вектора l

в точку

M ( x0 x; y0 y)

функция

z f ( x, y)

получает

приращение

l z f ( x0

x; y0

y) f

( x0

, y0 ) ,

которое

называется

приращением

функции z f ( x, y)

в точке M

0 ( x0

; y0 )

в данном направлении вектора

l .

Обозначим через

l

величину отрезка

M 0 M , при

этом

l

( x)2 ( y)2 ,

если

вектор

M 0 M

l

( x)

2

( y)

2

сонаправлен

вектору

l ,

и

,

если

вектор

M

0 M

противоположно

направлен

вектору l

(рис. 7).

Рис. 7

Производной

z

функции двух

переменных

z f ( x, y)

в точке

l

M 0 ( x0 ; y0 )

по направлению вектора

l

называется

предел

отношения

приращения функции в точке M 0 по этому направлению к величине перемещения l при стремлении l к нулю, т.е.

19