8751

			180
		ξ = 2 A cos		2πx	cos ωt.
				λ
Точки, в которых амплитуда			максимальна ( Aст = 2 A), называются
пучностями стоячей волны. Координаты пучностей
x	п	= ±m λ	( m = 0,1,2,...).
		2

Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю ( Aст = 0 ), называются узлами стоячей волны. Координаты узлов

x		= ±( m +	1	) λ	( m = 0,1,2,...).
	у
		2		2
∙ Упругие волны, обладающие				частотами в диапазоне 16-20000 Гц,

называются звуковыми или акустическими волнами. Волны с ν <16 Гц (инфразвуковые) и ν >20 кГц (ультразвуковые) органами слуха человека не воспринимаются.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1.Что называется волновым процессом? Как объяснить распространение колебаний в упругой среде?

2.Какая волна называется продольной, поперечной?

3.Что такое волновой фронт, волновая поверхность?

4.Что называется длиной волны? Какова связь между длиной волны, фазовой скоростью и периодом?

5.Какая волна называется гармонической, плоской, сферической?

6.Запишите дифференциальное уравнение плоской бегущей волны. Каково его решение?

7.При каких условиях возникает интерференция волн? Запишите условия интерференционных максимума и минимума.

8.При каких условиях возникают стоячие волны? Чем стоячая волна отличается от бегущей волны?

9.Чему равно расстояние между двумя соседними узлами стоячей волны?

Двумя соседними пучностями? Соседними пучностью и узлом? 10.Что такое звуковые волны? От чего зависит скорость звука в газе? 11.От чего зависят громкость, высота и тембр звука?

12.Что называется эффектом Доплера? Изменится ли частота колебаний, воспринимаемых покоящимся приемником, если источник колебаний от него удаляется?

Примеры решения задач

181

Задача 1. Волна распространяется по прямой со скоростью 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях 12 и 15 м от источника возмущений, колеблются по закону синуса с амплитудами, равными 0,1 м, и с разностью фаз, равной 1350. Найти длину волны, записать ее уравнение и определить смещения указанных точек в момент времени τ = 1,2 с.

Дано: v = 20 м/с; x1 = 12 м; x2 = 15 м; А=0,1 м; ϕ = 3π ; τ = 1,2 с. 4

Найти: λ ,ξ ( x,t ),ξ 1 ( x1 ,τ ),ξ 2 ( x2 ,τ ).

Решение

Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны λ , колеблются с разностью фаз, равной 2π . Тогда точки, находящиеся друг от друга на расстоянии x , колеблются с разностью фаз

ϕ = λx 2π ,

откуда

λ =	2π	x =	2π	× 3 = 8 м.
	ϕ
		3π / 4

Уравнение плоской волны

ξ( x,t ) = A sin(ωt − kx ),

где

ω =	2π	=		2π		v =		2π × 20			= 5π рад / с;
				λ
	T								8
				2π			2π		π
	k =					=			= 4	рад / м.
				λ			8

Таким образом, уравнение волны имеет вид:

ξ( x,t ) = 0,1 sin( 5πt - π x ), м. 4

Чтобы найти смещения указанных точек, необходимо в это уравнение подставить заданные значения координат и времени:

	ξ 1 ( x1		,τ ) = 0,1 sin( 5π × 1,2 - π × 12 ) = 0,1 sin 3π = 0;
			4
ξ 2	( x2	,τ ) = 0,1 sin( 5π × 1,2 - π × 15 ) = 0,1 sin 2,25π = 0,071 м.
			4
Ответ: λ = 8 м; ξ( x,t ) = 0,1 sin( 5πt - π x ), м; ξ				1 ( x1 ,τ ) = 0;
			4

ξ 2 ( x2 ,τ ) = 0,071 м.

Задача 2. Два динамика расположены на расстоянии 2,5 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на определенной частоте,

182

который регистрируется приемником, находящимся на расстоянии 3,5 м от центра динамиков. Если приемник передвинуть от центральной линии параллельно динамикам на расстояние 1,55 м, то он фиксирует первый интерференционный минимум (рис. 2.6). Скорость звука принять равной 340 м/с. Определить частоту звука.

Дано: d=2,5 м; l=3,5 м; x=1,55 м; v=340 м/с.

Найти: ν .

Решение

Условие интерференционного минимума

= ( 2m + 1 ) λ

( m = 0,1,2,...).

В

рассматриваемом

случае

2

.

m = 0 ,

а разность

хода

волн

до

s1

точки наблюдения

где

= s2

− s1 ,

x

s2

d

2

2

s1 =

l

+

x −

;

2

d

.

s2 =

2

+

+

d

2

l

x

.

d/2

2

l

Частота звуковой волны

Рис. 2.6

ν =

v

=

v

=

v

;

λ

2

2(s

2

− s

1

)

ν =

v

= 175,4 Гц.

d

2

d

2

2

2

2

l

+

x +

−

l

+ x −

2

2

Ответ: ν = 175,4 Гц.

Часть 5.Квантовые явления

Квантовые свойства света

На рубеже XIX – XX вв. были открыты и исследованы явления, подтвердившие гипотезу Планка, о квантах.

183

Это – фотоэлектрический эффект, эффект Комптона и давление света. Фотоэлектрический эффект – вырывание электронов из атомов и молекул вещества

под действием света (излучения) – впервые был обнаружен в 1887 г. Г. Герцем.

Явление внешнего фотоэффекта впервые было исследовано А.Г. Столетовым в 1890г.

Схема опытов Столетова по исследованию фотоэффектаС приведена на рис. 1.

К А

G

V

R

Б1 Б2

Рис. 1.

I

Iн2

Ф2>Ф1

Iн1 Ф1

Рис. 2

-Uз

U

Если пластинку К освещать через окно С, то свет вырвет из пластинки электроны, называемые фотоэлектронами. Под действием электрического поля фотоэлектроны движутся к аноду А, замыкая цепь, и гальванометр G показывает наличие тока, который называют фототоком, так как если катод не освещать, ток в цепи отсутствует. Изменяя при помощи потенциометра R величину и знак напряжения, Столетов получил вольт-амперную характеристику (Рис.2)

184

Ток насыщения, при таком потенциале, когда все вылетевшие электроны достигают анода. Отрицательное значение потенциала соответствует тормозящему электрическому полю и его модуль называют «задерживающим потенциалом».

Если Ф2 >Ф1 (световой поток) то IН2>IН1 (длина волны const)

IН

Ф

Законы Столетова

1. Сила фототока насыщения, возникающая при освещении монохроматическим светом, пропорциональна световому потоку, падающему на катод.

НО! Запирающее напряжение при этом не меняется. (пока частота света фиксирована). Поскольку eUз=meV2/2, значит и скорость вылетающих электронов не меняется с изменением Ф.

2. Скорость фотоэлектронов (или запирающее напряжение) увеличивается с ростом частоты (с уменьшением длины волны) падающего света и не зависит от интенсивности светового потока.

eUз

	ν
	ν01
3.	Независимо от интенсивности светового потока фотоэффект начинается только при
определенной для данного металла минимальной частоте (максимальной длине волны) света,

185

называемой красной границей фотоэффекта.( Красная граница не зависит от светового потока)

Классическая теория излучения как электромагнитной волны рассматривала фотоэффект следующим образом: падающая на металл электромагнитная волна приводит электроны, находящиеся вблизи поверхности металла в колебательное движение с амплитудой, пропорциональной интенсивности падающего света. В результате электрон приобретает энергию, достаточную для преодоления силы притяжения положительных ионов и вылетает из катода.

m	dV	= eE sin ωt;	dV =	eE0	sin ωt × dt;
	dt	0		m

V -V (0) = - eE0 × cos(ωt) mω

mV 2		e2 E02	2	(ωt) >=	e2 E02
	=		< sin
2		2mω 2			4mω 2
	Т

Главное в этой формуле: полученная в результате действия волны кинетическая энергия свободного электрона убывает с ростом частоты волны. Такая зависимость следует из предположения, что свет есть электромагнитная волна и не соответствует наблюдательным данным.

Формула Эйнштейна для фотоэффекта

А. Эйнштейн использовал и развил квантовую гипотезу Планка:

∙излучение испускается и распространяется порциями – квантами.

∙каждый квант имеет энергию hν.

По Эйнштейну, внешний фотоэффект представляет собой взаимодействие электрона с одним квантом.

186

	hν = Aв	+	m υ 2
			e e
			2

– уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта (закон сохранения энергии).

Ав - работа выхода электрона из металла зависит только от природы вещества

Красная граница фотоэффекта (минимальная частота фотоэффекта) ν к :

hν		= А , или ν		=	Ав	,
	k		к
		в			h

то есть красная граница фотоэффекта зависит только от природы вещества.

Наконец, раз каждый из квантов взаимодействует лишь с одним электроном, общее число фотоэлектронов должно быть пропорционально числу падающих квантов, то есть интенсивности света. (первый закон Столетова тоже объясняется)

Внешний фотоэффект широко применяется в технике для превращения энергии излучения в электрическую энергию – в различных фотоэлементах и фотореле, управляющих электрическими цепями, для воспроизведения звука в кино.

Давление света.

Квантовый характер излучения экспериментально подтвержден также и опытами П.Н. Лебедева:

свет, падающий на какую-либо поверхность, оказывает на нее давление, зависящее от

светового потока и отражающей способности поверхности:

p = nhν (1 + R), или p = Ee (1 + R),

c	c
где p – давление света, с – скорость света, n –	число фотонов, падающих на единицу

площади освещаемой поверхности в единицу времени, Ее – энергетическая освещенность, R

– коэффициент отражения поверхности. Импульс кванта Р

		hν	; поскольку E = hν =
	Р =			P2c2 + (m c2 )2
		c		o
	и для кванта m0 = 0

187

Давление пропорционально силе то есть изменению импульса в единицу времени.

Опыты Лебедева позволили предположить, что квант электромагнитного излучения обладает не только энергией, но и импульсом, который он может передавать, взаимодействуя с веществом, то есть ведет себя как частица – фотон.

Эффект Комптона

Эффект Комптона – это увеличение длины волны излучения при его рассеянии на электронах или нуклонах.

Американский физик Артур Комптон исследовал рассеяние рентгеновского излучения на легких веществах (парафин, графит), в которых энергия связи электронов с ядром много меньше энергии квантов излучения, поэтому электроны можно считать свободными. Схема опыта Комптона приведена на рис. 4

Д

Р

К

λ	λ

φ

	λ'
Рис. 4	S

Поток монохроматического излучения с длиной волны λ от рентгеновской трубки P, вырезанной диафрагмами Д, падал на рассеивающее вещество К и после рассеивания на угол φ попадал в спектрограф S, где измерялась длина волны рассеянного излучения.

Оказалось, что длина волны рассеянного излучения λ' больше длины волны падающего

излучения λ, причем разность λ′ − λ =			λ зависит только от угла рассеяния:
λ = 2Λ sin	2	φ		λ = Λ(1− cosφ ),
			, или
		2

188

где L = h = 2,43×10−12 м – комптоновская длина волны электрона.

mec

Согласно волновой теории света Комптон-эффект необъясним – ведь волновая теория рассматривает рассеяние излучения на электронах как вынужденные колебания электронов вещества под действием первичной световой волны, а вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы, то есть рассеянное излучение должно иметь ту же частоту (а значит и длину волны), что и падающее. На языке квантов Комптон-эффект легко объясняется как результат соударения кванта с электроном

Рф'

	Рф	е	Ре
			φ
		•

Рф

Ре

Рис. 5 Сохранение импульса и энергии для соударения:

Pф = Pe + Pф¢
hν + m c2 = hν ¢ +
	(m c2 )2		+ P2	с2
e		e	e
Из этих формул, выражая		Pe2 из первого выражения и подставляя во второе, получим
(используя также hν = Pc ,		PфPф¢ = PфPф¢ cosϕ ):
′	′			Откуда непосредственно следует приведённая
mec(Pф − Pф ) = PфPф (1 − cosϕ )

выше формула закона Комптона.

Фотон первичного излучения имеет импульс Рф и распространяется в направлении, указанном стрелкой. В точке е фотон рассеивается на электроне, то есть испытывает упругое соударение с электроном, который по сравнению с квантом можно считать неподвижным и свободным. При упругом соударении подвижная частица теряет энергию, а покоившаяся

получает: после рассеяния фотон имеет меньший по модулю импульс Рф′ , а электрон, с

которым он взаимодействовал (так называемый электрон отдачи) получает импульс Ре, подчиняющийся закону сохранения импульса. Тогда при заданном значении начального импульса импульс рассеянного фотона будет зависеть от угла рассеяния φ. Импульс частицы

– это произведение массы на скорость, тогда импульс фотона Рф = mфс , где mф – масса фотона, а с – скорость света.

189

Используя формулу связи энергии и массы из теории относительности Е = mс2 и

формулу энергии кванта ε = hν, получим выражение для массы фотона:

m

=

ε

=

hν

=

hc

=

h

,

ф

c 2

λс2

с2

λc

где λ –

длина волны излучения.

Масса покоя фотона равна нулю, фотоны существую только в движении со скоростью

света.

Импульс фотона обратно пропорционален

длине

волны р

=

h

, и в

ф

λ

вышеприведенной схеме комптоновского рассеяния длина волны рассеянного фотона действительно должна быть больше начальной и увеличиваться с ростом угла рассеяния.

Тепловое излучение*

Электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии излучающего тела и зависящее только от температуры и оптических свойств этого тела, называется

тепловым.

Тепловым излучателем может быть любое тело, нагретое до некоторой температуры. Если температура излучателя достаточно высока, тепловое излучение может быть видимым

– так, стальной расплав светится, а по мере его остывания свечение прекращается. Излучение, наряду с работой и теплопередачей – одна из форм обмена энергией:

излучая, тепловой источник теряет энергию, поглощая излучение – получает ее. В результате одновременного процесса излучения и поглощения тело приходит в равновесие с окружающей средой, его внутренняя энергия (а значит, температура) стабилизируется. Такая установившееся температура теплового излучателя называется термодинамической, а излучение при этой температуре – равновесным.

Основные характеристики теории излучения

Излучательной способностью (энергетической светимостью, излучательностью) тела Rэ называется энергия, излучаемая в единицу времени с единицы поверхности теплового излучателя:

Rэ	=	1		dЕ	=	P	,	(1)
		S
				dt S