9698
.pdfво множестве действительных чисел не имеет смысла, если подкоренное
выражение |
= b2 − 4ac отрицательно. Но |
теперь мы |
умеем |
находить |
квадратные корни из отрицательных чисел. |
Пусть −d , |
(d > 0) |
некоторое |
отрицательное число. Его тригонометрическая форма −d = d (cosπ + i sin π) . Поэтому
|
= |
|
(cos( π |
+ pk ) + i sin( π + pk )), k = 0,1 |
|
= ±i |
|
-d |
d |
-d |
d |
||||
2 |
2 |
|
|
|
Следовательно, если дискриминант уравнения отрицателен, то
b2 - 4ac = -(4ac - b2 ) = ±i| b2 - 4ac | .
Формула вычисления корней квадратного уравнения принимает вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-b ± b2 - 4ac |
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
, |
|
|
b |
|
- 4ac ³ 0 |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2a |
|
|
|
|
||||||
x1,2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
-b ± i | b2 - 4ac | |
|
|
2 |
- 4ac < 0 |
||||||
|
|
|
, |
|
b |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
В случае приведённого квадратного |
|
уравнения |
x2 + px + q = 0 |
|||||||||||||||||
формулы имеют более компактный вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||
|
- |
± ( |
)2 |
- q , ( |
)2 - q ³ 0 |
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x1,2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(32.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
p |
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|||
|
- |
|
± i | ( |
|
) |
|
- q | , |
( |
|
) |
|
- q < 0 |
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Пример. Решить уравнение z3 + 8 = 0 . |
После разложения |
левой |
части уравнения на множители |
|
|
(x + 2)(x2 - 2x + 4) |
= 0 |
|
становится очевидным действительный корень уравнения x1 = −2 , |
а два |
|
комплексно сопряжённых корня находятся по формуле (32.2) |
|
x2,3 =1 ± 1 - 4 =1 ± -3 =1 ± i3 .
Геометрическая интерпретация корней данного уравнения дана на рис. 32.1.
220
32.3. Разложение многочлена на множители. Рассмотрим многочлен степени n
|
P (z) = a zn + a zn−1 + K + a |
n−1 |
z + a . |
|
||
|
n |
0 |
1 |
n |
|
|
Число |
z1 , обращающее |
этот многочлен в нуль |
( Pn (z1 ) = 0 ), |
называют |
||
корнем |
уравнения Pn (z) = 0 .На |
протяжении |
многих веков |
делались |
попытки получить формулы для вычисления корней уравнений Pn (z) = 0 степени n ³ 3. В 1545 г. итальянский математик, философ и врач Д. Кардано (1501-1576) опубликовал формулы решения кубического уравнения. Возник спор о приоритете с другим итальянским математиком Николло Тарталья (1499-1557). Ученик Кардано Л.Феррари (1522-1565) нашёл способ решения уравнений четвёртой степенипутём сведения к решению кубического уравнения. Норвежский математик Нильс Абель (1802-1829) доказал, что алгебраические уравнения степени n > 4 неразрешимы в радикалах. Это надо понимать в том смысле, что корни уравненияне выражаются через его коэффициенты ak с помощью конечного числаопераций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.
Важный результат о существовании корней алгебраического уравнения носит название основной теоремы алгебры. Эта теорема гласит, что всякий многочлен Pn (z) степени n ³1 имеет по крайней один комплексный корень. Эта теорема впервые (не вполне строго) была доказана французским учёным Ж. Даламбером (1717-1783).Строгое доказательство дал Карл Гаусс (1777-1855) в 1799 году. Основная теорема алгебры даёт возможность представления многочлена в виде произведения множителей, содержащих его корни
Pn (z) = a0 (z − z1 )(z − z2 )L(z − zn ) ,
откуда следует, что всякое алгебраическое уравнение имеет ровно n корней.
Некоторые из корней могут совпадать. Их называют кратными в отличие от простых, т.е. неповторяющихся корней. Кратность корня – это число его повторений в разложении многочлена на множители. С учётом кратности корней получим разложение многочлена
P (z) = a (z − z )r1 |
(z − z |
2 |
)r2 |
L(z − z |
k |
)rk , |
||
n |
0 |
1 |
|
|
|
|
||
где z1,K, zk – различные |
корни |
уравнения |
Pn (z) = 0 , а r1,K, rk – их |
кратности, причём r1 + K + rk = n . Указанные разложения справедливы для
221
многочленов, как с вещественными, так и с комплексными коэффициентами.
Отметим без доказательства, что если многочлен имеет вещественные
коэффициенты, то наряду с комплексным корнем |
z = α + iβ многочлен |
||
обладает сопряжённым корнем |
|
= α − iβ , причём |
той же кратности. |
z |
Объединяя в разложении многочлена такие пары, получаем
(z − z)(z − z ) = (z − α − iβ)(z − α + iβ) = z2 − 2αz + α2 + β2 = z2 + pz + q .
Таким образом, многочлен с вещественными коэффициентами раскладывается на линейные множители с вещественными корнями и квадратичные множители с парой комплексно сопряжённых корней. Переменную в случае многочлена с вещественными коэффициентами будем обозначать буквой x . Итак, многочлен с вещественными коэффициентами имеет разложение
P (x) |
|
r |
r |
2 |
|
s |
|
2 |
|
s |
= a (x − x ) 1 L(x − x ) r (x |
|
+ p x + q ) 1 L(x |
|
+ p x + q ) l , |
||||||
n |
0 |
1 |
k |
|
1 |
1 |
|
|
l |
l |
где r1 + K + rk |
+ 2(s1 + K + sl ) = n . |
|
|
|
|
|
|
|
||
32.4. Разложение |
правильных |
|
дробей |
на |
простые |
дроби. |
Разложение многочлена на множители связано с задачей разложения правильной рациональной дроби
|
|
|
|
|
Qm |
(z) |
|
(32.3) |
|
|
|
|
|
|
Pn (z) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
на простые дроби следующих видов; |
|
|
|
||||||
|
A |
и |
|
Mx + N |
( k ³1 и целое); |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x − a)k |
|
(x2 + px + q)k |
|
|||||
где A, M , N , a, p, q |
– |
действительные числа, а квадратный трёхчлен |
x2 + px + q не имеет действительных корней. Оказывается, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших дробей. Этот алгебраический факт мы примем без доказательства.
Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе ( m < n ). В противном случае ( m ³ n ) рациональная дробь называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробьможно представить в виде суммы многочлена степени m − n (целая часть) и правильной рациональной дроби, т.е.
222
|
Qm (x) |
= Gm−n |
(x) + |
R(x) |
, |
|
Pn (x) |
Pn (x) |
|||
|
|
|
|
||
где степень многочлена R( x) меньше n . |
Для этого надо разделить |
числитель на знаменатель по правилу деления многочленов. Это деление осуществим «уголком», причем делим до тех пор, пока показатель степени x в остатке не окажется меньше показателя степени x делителя.
Вид разложения дроби (32.3) определяется корнями многочлена Pn ( x) . Если знаменатель Pn ( x) имеет только действительные простые корни, то
|
Qm (x) |
= |
|
|
Qm (x) |
|
= |
A1 |
|
+ |
A2 |
+ ... + |
An |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
P (x) |
a |
(x - x )(x - x |
) ×... × |
(x - x ) |
x - x |
x - x |
2 |
|
x - x |
||||||
|
n |
n |
1 |
2 |
|
n |
|
1 |
|
|
|
n |
||||
где A1, A2 ,..., An – действительные числа, которые следует найти. |
|
|
||||||||||||||
Если действительный корень xi |
знаменателя дроби имеет кратность |
ki ,то в разложении правильной дроби на простейшие этому корню
соответствует число дробей, равное |
ki : |
|
|
|
||||
|
A1 |
+ |
A2 |
|
+ ... + |
Ak |
|
. |
|
x - x |
(x - x )2 |
(x - x )ki |
|||||
|
i |
|
|
i |
|
i |
||
Если знаменатель содержит |
множителем |
квадратный трехчлен |
x2 + px + q , не имеющий действительных корней, то при разложении на простейшие дроби этому множителю соответствует дробь вида
Mx + N
x2 + px + q
.
Если знаменатель дроби имеет кратные комплексные корни, то множителю (x2 + px + q)l с комплексно сопряженными корнями соответствуют l дробей:
M1x + N1 |
+ |
M 2 x + N2 |
+ ... + |
Ml x + Nl |
|
|
|
|
. |
||
x2 + px + q |
(x2 + px + q)2 |
(x2 + px + q)l |
Лекция 33. Определённый интеграл
223
этой криволинейной трапеции разобьём промежуток [ a, b ] произвольным образом на n частей (см. рис. 33.2)
y = f ( x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pk |
|
|
|
a = x0 |
x |
x |
x |
xn = b |
|
||
|
1 |
|
k |
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 33.2 |
|
|
|
В каждом интервале длиной |
xk = xk − xk −1 |
произвольно выберем точку |
|||||
pk . Тогда площадь прямоугольника с основанием xk и высотой |
f ( pk ) |
||||||
будет равна f ( pk ) |
xk , а площадь под кривой приближенно равна сумме |
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
S ≈ Sn = ∑ f ( pk ) |
xk . |
(33.1) |
k=1
Сувеличением n точность этого приближения будет возрастать при
условии, что длины всех отрезков xk будут уменьшаться. Назовем площадью криволинейной трапеции предел последовательности Sn , если он существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек.
33.2. Понятие определённого интеграла. Во всех приведенных выше задачах мы осуществляли следующую процедуру: брали некоторую функцию f ( x) , разбивали интервал её определения на n частей, в каждой части выбирали некоторую точку pk , составляли так называемую интегральную сумму (33.1) и, наконец, находили предел последовательности этих сумм при n → ∞ , когда длина наибольшего из отрезков дробления стремится к нулю. Получающийся при этом предел носит название определенного интеграла.
Определённым интегралом функции f ( x) |
на |
промежутке |
[ a, b ] |
||
называется конечный предел интегральных сумм |
|
|
|
||
n |
b |
|
|
|
|
lim ∑ f ( pk ) |
xk = ∫ f (x)dx, |
(λ = max |
xk |
→ 0) , |
(33.2) |
n→∞ k =1 |
a |
k |
|
|
|
|
225 |
|
|
|
|
если он существует и не зависит ни от способа разбиения промежутка [ a, b ] , ни от выбора точек pk .
Ценность этого математического понятия состоит в том, что функцию f ( x) можно «наполнять» разным содержанием: это может быть функция, определяющая границу криволинейной трапеции, и тогда определенный интеграл выражает площадь трапеции, или это может быть функция, определяющая линейную плотность неоднородного стержня, и тогда определенный интеграл выражает массу стержня.
Для существования определенного интеграла функция f ( x) должна обладать некоторыми свойствами. Например, она должна быть ограниченной на [ a, b ] . В противном случае интегральную сумму за счёт выбора точек pk можно сделать как угодно большой. Оказывается, что
достаточным условием существования определённого интеграла служит непрерывность f ( x) на [ a, b ] .
Теорема. Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [ a, b ] , то определенный интеграл существует.
Примем эту теорему без доказательства.
33.3. Основные свойства определённого интеграла. Обозначение определённого интеграла было введено Лейбницем. Знак интеграла – это стилизация первой буквы латинского слова summa.
Если подынтегральная функция отрицательна на всем промежутке интегрирования или на его части, то соответствующий множитель, входящий в интегральную сумму будет отрицательным. Если интеграл интерпретировать как площадь, то части кривой, расположенной под осью абсцисс будем приписывать отрицательную площадь (см. рис. 33.3).
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
∫ f ( x)dx = S1 + (− S 2 ) + S3 |
|
|
|
|
|
|||
S1 |
|
|
|
|
a |
|
|
S3 |
|
|
|
|
|
a |
−S2 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 33.3 |
|||
Если отказаться от допущения |
a < b и принять a > b, то в |
|||||
интегральной сумме все разности |
xk будут отрицательными. Поэтому |
|||||
|
|
b |
a |
|||
|
|
∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx |
||||
|
|
a |
b |
a
В качестве определения полагаем также ∫ f (x)dx = 0 .
a
226
Укажем основные свойства определённого интеграла, легко получаемые из его определения:
|
b |
b |
b |
∙ |
∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx |
||
|
a |
a |
a |
|
b |
b |
|
∙ |
∫kf (x)dx = k ∫ f (x)dx, k = const |
||
|
a |
a |
|
|
b |
c |
b |
∙ |
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx, a < c < b |
||
|
a |
a |
c |
|
|
b |
|
∙ m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a), m ≤ f (x) ≤ M |
|||
|
|
a |
|
Последнее свойство проиллюстрируем рисунком (см. рис. 33.4).
y
M |
f ( x) |
|
|
||
|
|
|
m |
|
|
|
|
x |
a |
|
|
b |
||
|
Рис. 33.4 |
Иногда важно не столько найти точное значение интеграла, сколько получить его оценку. Указанное неравенство геометрически соответствует тому факту, что существует прямоугольник весь расположенный внутри криволинейной трапеции и прямоугольник – содержащий эту фигуру.
Среднее значение функции. Если даны n чисел a1, a2 , K, an , то их средним (средним арифметическим) называют число
a = |
a1 + a2 +K+ an |
. |
|
|
|
||
ср |
n |
|
|
|
|
||
Что следует понимать под средним значением функции |
f ( x) на |
||
отрезке [ a, b ] ? Существует, например, понятие средней |
плотности |
неоднородного тела (например, средняя плотность Земли примерно равна
5,5 ). |
Разделим |
отрезок |
[ a, b ] |
на |
n |
равных |
частей |
x1 = |
x2 = K = xn |
= (b − a) / n , |
возьмем в каждой части по точке |
Pk и |
|||
составим сумму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
227 |
|
|
|
|
|
f (P ) + |
f (P ) + K |
+ |
f (P ) |
|
1 |
n |
|||||
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
= |
|
|
∑ f (Pk ) xk |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
b − a |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|||
Перейдём в этой сумме к пределу |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
n |
|
|
|
1 |
b |
|
|||
lim |
∑ f (Pk ) |
xk = |
|
f (x)dx = fср. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
b − a |
|||||||||
|
|
b − a n→∞ |
k =1 |
|
|
∫a |
|
|||||
Таким образом, под |
средним |
значением |
функции на отрезке [ a, b ] |
понимают отношение интеграла функции по этому отрезку к длине этого отрезка. Геометрический смысл среднего значения функции становится ясным, если его определение записать в виде
b
fср. (b − a) = ∫ f (x)dx
a
Поскольку интеграл справа выражает площадь криволинейной трапеции, то левую часть равенства можно трактовать как площадь прямоугольника. Итак, среднее значение функции равно высоте прямоугольника, в основании которого лежит отрезок [ a, b ] , равновеликого по площади криволинейной трапеции (см. рис. 33.5).
y = f ( x)
fср. |
|
f (P) |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
a |
|
|
b |
||
P0 |
|||||
|
|
|
|
Рис. 33.5 |
Особенно важно, что в силу непрерывности функции на отрезке [ a, b ] найдётся такая точка P0 , что fср. = f (P0 ) . Это даёт возможность выразить
значение интеграла через длину промежутка интегрирования и значение подынтегральной функции в некоторой (правда неопределённой) точке этого промежутка.
b |
|
∫ f (x)dx = f (P0 )(b − a), |
P0 [a,b] |
a |
|
Этот результат называют теоремой о среднем в интегральном исчислении.
228
33.4.Существование первообразной функции. В предыдущей
лекции мы отметили, что интеграл непрерывной на [ a, b ] функции существует. Наша цель – связать понятия определённого и неопределённого интегралов и, тем самым, показать, как вычисляется определенный интеграл без вычисления интегральных сумм.
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом
x
F ( x) = ∫ f (t )d t ,
a
где подынтегральная функция f ( x) непрерывна в промежутке [ a, b ] . Напомним, что переменная интегрирования – « немая», т.е. может быть обозначена любой буквой. Написанный нами интеграл – это некоторая функция F ( x) верхнего предела x , и её геометрический смысл ясен из следующего рисунка:
|
|
|
|
|
f (P0 ) |
||
|
f (x) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
F (x) |
P0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
x + x |
|
||||
b |
Рис. 33.6
Применяя теорему о среднем значении функции, запишем приращение
в виде
x+Δx
DF = ∫ f (t)d t = f (P0 (Dx)) × Dx ,
x
где точка |
P0 ( |
x) [x, x + x], |
которое показывает, что |
lim |
F = 0 , т.е. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
функция |
F ( x) |
непрерывна. |
Оказывается, |
что функция |
F ( x) |
не только |
||||||
непрерывна, но и дифференцируема. |
Действительно, |
|
|
|||||||||
lim |
DF |
= lim |
f (P0 (Dx)) × D x |
= lim f (P0 (Dx)) |
= f (lim |
P0 (D x)) = f ( x) . |
||||||
D x |
D x |
|
|
|||||||||
x→0 |
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
x→0 |
|
|
||
В последнем равенстве мы существенно использовали свойство |
||||||||||||
непрерывности |
функции f ( x) , поменяв местами знак предела и знак |
|||||||||||
функции. |
Таким |
образом, |
мы |
|
пришли |
к |
замечательному факту: |
производная от интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции от этого предела
229