10298

представить в виде суммы многочлена степени m n (целая часть) и правильной рациональной дроби, т.е.

	Qm	(x)	Gm n	(x)	R(x)	,
	Pn (x)				Pn (x)

где степень многочлена R(x) меньше n . Для этого надо разделить числи-

тель на знаменатель по правилу деления многочленов. Это деление осуществим «уголком», причем делим до тех пор, пока показатель степени x в остатке не окажется меньше показателя степени x делителя.

Вид разложения дроби (32.3) определяется корнями многочлена Pn (x) . Если знаменатель Pn (x) имеет только действительные простые

корни, то

Qm (x)		Qm (x)		A1		A2	...	An
Pn (x)		an (x x1)(x x2 ) ... (x xn )		x x1		x x2		x xn

где A1, A2 ,..., An –действительные числа, которые следует найти.

Если действительный корень xi знаменателя дроби имеет кратность ki

,то в разложении правильной дроби на простейшие этому корню соответствует число дробей, равное ki :

	A1		A2			...	Ak		.
	x x		(x x )		2			k
							(x x ) i
	i			i				i
Если знаменатель содержит				множителем				квадратный трехчлен

x2 px q , не имеющий действительных корней, то при разложении на простейшие дроби этому множителю соответствует дробь вида

Mx N

x2 px q .

Если знаменатель дроби имеет кратные комплексные корни,то мно-

жителю	(x2 px q)l с		комплексно сопряженными корнями соответ-
ствуют l	дробей:
		M1x N1			M2 x N2	...	Ml x Nl	.
					x2 px q 2		x2 px q l
		x2 px q

Лекция 33. Определённый интеграл

230

33.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Од-

ной из первых задач, с которой началось формирование понятия интеграла, была задача вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми.

Задача Архимеда. Найдём площадь под параболой y x2 , заданной на отрезке [ 0, a ]. Эту задачу решил в своё время Архимед. Разобьём отрезок [ 0, a ] на n равных частей x a / n . Искомая площадь приближённо равна площади ступенчатой фигуры (см. рис. 33.1).

	y=x2
	h=a/n
0	a

	y=x2
	h=a/2n
0	a
Рис.33.1

Следует ожидать, что с увеличением n её площадь будет приближаться к площади под параболой. Площадь ступенчатой фигуры равна сумме площадей прямоугольников с основанием x и высотой, равной зна-

чению функции в точках дробления y (k x)2 ,		k 1,2,
Итак,
S [( x)2 (2 x)2	(n x)2 ] x (1 22 32

,n .

n2 )( x)3

Для суммы квадратов натуральных чисел известна формула

	1 22 32		n2					n(n 1)(2n 1)
									6
Находя предел, получаем
	n(n 1)(2n 1) a3					a3				1					1			a3
S lim								lim 1				2							.
	6		n	3		6												3
n								n		n					n

Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [ a,b] задана непрерывная положительная функция y f (x) . Фигуру, ограниченную осью Ox , прямыми x a , x b и графиком функции, называют криволи-

231

[ a,b]

нейной трапецией. Для приближенного вычисления площади этой криволинейной трапеции разобьём промежуток [ a,b] произвольным образом на

n частей (см. рис. 33.2)

Рис. 33.2

В каждом интервале длиной xk xk xk 1 произвольно выберем точку pk

. Тогда площадь прямоугольника с основанием xk и высотой f ( pk ) будет равна f ( pk ) xk , а площадь под кривой приближенно равна сумме

n
S Sn f ( pk ) xk .	(33.1)

k1

Сувеличением n точность этого приближения будет возрастать при условии, что длины всех отрезков xk будут уменьшаться. Назовем площадью

криволинейной трапеции предел последовательности Sn , если он существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек.

33.2. Понятие определённого интеграла. Во всех приведенных выше задачах мы осуществляли следующую процедуру: брали некоторую функцию f (x) , разбивали интервал её определения на n частей, в каждой части

выбирали некоторую точку pk , составляли так называемую интегральную

сумму (33.1) и, наконец, находили предел последовательности этих сумм при n , когда длина наибольшего из отрезков дробления стремится к нулю. Получающийся при этом предел носит название определенного интеграла.

Определённым интегралом функции f (x) на промежутке называется конечный предел интегральных сумм

232

	n			b
lim		f ( p ) x			f (x)dx,	( max x		0) ,	(33.2)
n		k k				k	k
	k 1			a

если он существует и не зависит ни от способа разбиения промежутка [ a,b] , ни от выбора точек pk .

Ценность этого математического понятия состоит в том, что функцию f (x) можно «наполнять» разным содержанием: это может быть функция,

определяющая границу криволинейной трапеции, и тогда определенный интеграл выражает площадь трапеции, или это может быть функция, определяющая линейную плотность неоднородного стержня, и тогда определенный интеграл выражает массу стержня.

Для существования определенного интеграла функция f (x) должна

обладать некоторыми свойствами. Например, она должна быть ограниченной на [ a,b] . В противном случае интегральную сумму за счёт выбора точек

pk можно сделать как угодно большой. Оказывается, что достаточным

условием существования определённого интеграла служит непрерывность f (x) на [ a,b] .

Теорема.Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a,b] , то опреде-

ленный интеграл существует.

Примем эту теорему без доказательства.

33.3. Основные свойства определённого интеграла. Обозначение определённого интеграла было введено Лейбницем. Знак интеграла – это стилизация первой буквы латинского слова summa.

Если подынтегральная функция отрицательна на всем промежутке интегрирования или на его части, то соответствующий множитель, входящий в интегральную сумму будет отрицательным. Если интеграл интерпретировать как площадь, то части кривой, расположенной под осью абсцисс будем приписывать отрицательную площадь (см. рис. 33.3).

Рис. 33.3

Если отказаться от допущения a b и принять a b , то в интегральной сумме все разности xk будут отрицательными. Поэтому

b	f (x)dx a	f (x)dx
a	b
	233

, an , то их

В качестве определения полагаем также a	f (x)dx 0 .
a

Укажем основные свойства определённого интеграла, легко получаемые из его определения:

	b [ f (x) g(x)]dx b				f (x)dx b g(x)dx
	a			a		a
	b kf (x)dx k b			f (x)dx,		k const
	a		a
	b	f (x)dx c	f (x)dx b g(x)dx,				a c b
	a	a			c
	m(b a) b		f (x)dx M (b a),				m f (x) M
		a

Последнее свойство проиллюстрируем рисунком (см. рис. 33.4).

Рис. 33.4

Иногда важно не столько найти точное значение интеграла, сколько получить его оценку. Указанное неравенство геометрически соответствует тому факту, что существует прямоугольник весь расположенный внутри криволинейной трапеции и прямоугольник – содержащий эту фигуру.

Среднее значение функции. Если даны n чисел a1, a2 ,

средним (средним арифметическим) называют число

a	a1 a2	an	.
ср	n

Что следует понимать под средним значением функции f (x) на отрезке [ a,b] ? Существует, например, понятие средней плотности неоднородного тела (например, средняя плотность Земли примерно равна 5,5 ). Раз-

делим отрезок [ a,b] на n равных частей x1 x2	xn (b a) / n ,
возьмем в каждой части по точке Pk и составим сумму
234

f (P ) f (P )		f (P )		1	n
					f (Pk ) xk
1	2	1
	n			b a
					k 1

Перейдём в этой сумме к пределу

1		n				1	b
	lim		f (P ) x					f (x)dx f
b a	n		k	k		b a			ср.
		k 1					a

Таким образом, под средним значением функции на отрезке [ a,b] пони-

мают отношение интеграла функции по этому отрезку к длине этого отрезка. Геометрический смысл среднего значения функции становится ясным, если его определение записать в виде

fср. (b a) b f (x)dx

a

Поскольку интеграл справа выражает площадь криволинейной трапеции, то левую часть равенства можно трактовать как площадь прямоугольника. Итак, среднее значение функции равно высоте прямоугольника, в основании которого лежит отрезок [ a,b] , равновеликого по площади криволи-

нейной трапеции (см. рис. 33.5).

Рис. 33.5

Особенно важно, что в силу непрерывности функции на отрезке [ a,b] найдётся такая точка P0 , что fср. f (P0 ) . Это даёт возможность выразить

значение интеграла через длину промежутка интегрирования и значение подынтегральной функции в некоторой (правда неопределённой) точке этого промежутка.

b
f (x)dx f (P0 )(b a),	P0 [a,b]
a

Этот результат называют теоремой о среднем в интегральном исчислении.

235

33.4. Существование первообразной функции. В предыдущей лек-

ции мы отметили, что интеграл непрерывной на [ a,b] функции суще-

ствует. Наша цель – связать понятия определённого и неопределённого интегралов и, тем самым, показать, как вычисляется определенный интеграл без вычисления интегральных сумм.

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом

F (x) x f (t)d t ,

a

где подынтегральная функция f (x) непрерывна в промежутке [ a,b] .

Напомним, что переменная интегрирования – «немая», т.е. может быть обозначена любой буквой. Написанный нами интеграл – это некоторая функция F (x) верхнего предела x , и её геометрический смысл ясен из следующего

рисунка:

Рис. 33.6

Применяя теорему о среднем значении функции, запишем приращение в виде

			x x
			F		f (t)d t		f (P0 ( x)) x ,
				x
где точка	P0 ( x) [x, x x],			которое показывает,				что	lim F 0, т.е.
									x 0
функция	F (x) непрерывна. Оказывается, что функция F (x) не только не-
прерывна, но и дифференцируема. Действительно,
lim	F	lim	f (P0 ( x)) x			lim f (P ( x)) f		lim P ( x)			f (x) .
x 0	x	x 0	x			x 0	0	x 0	0
В последнем равенстве мы существенно использовали свойство непре-
рывности	функции f (x) , поменяв местами знак предела и знак функции.

Таким образом, мы пришли к замечательному факту: производная от

интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции от этого предела

236

	x
		f (t)d t	f (x)
a		x

Другими словами: это означает, что интеграл с переменным верхним пределом интегрирования является первообразной для подынтегральной функции. Этот, казалось бы, частный факт имеет принципиальное значение. Во-первых, отсюда следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную, а во-вторых, даже для «неберущихся» интегралов мы имеем те-

перь инструмент для её представления. Например, для функции f (x) e x2

среди элементарных функций нет первообразной. Теперь мы можем представить её первообразную через определённый интеграл

x

e t2 d t .

0

33.5. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённого интеграла как предела интегральной суммы, т.е. по формуле (33.2), – довольно сложная задача. Оказывается, что ее можно легко решить, имея одну из первообразных подынтегральной функции. Этот факт выражается основной формулой интегрального исчисления – формулой Ньютона – Лейбница

b

f (x)d x F (x) ba

a

F (b) F (a) ,

в которой F (x) означает одну из первообразных функции f (x) .

Действительно, ранее мы выяснили, что интеграл с переменным верхним пределом

x

(x) f (t)d t

a

является первообразной подынтегральной функции f (x) , непрерывной в

промежутке	a x b . Пусть F (x) любая другая первообразная	f (x) .
	x
Поскольку	(x) f (t)d t F (x) C и (a) 0 ,то C F (a) .	Поэтому
	a
x
имеем f (t)d t F (x) F (a) . Полагая в последнем равенстве x b ,полу-

a

чаем

b

f (t)d t F (b) F (a) .

a

Лекция 34. Вычисление определённого интеграла

237

34.1. Интегрирование по частям и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) – функции, непрерывные вместе со своими производными в промежутке [ a,b] . Тогда функция F (x) u(x) v(x) является первообразной для своей производной

F (x) u (x) v(x) v (x) u(x) .
По формуле Ньютона – Лейбница имеем
b (u (x)v(x) v (x)u(x))d x u(x)v(x)					ba
a
откуда
b			b
u(x)v (x)d x u(x)v(x)			ba v(x)u (x)d x .
a			a
Учитывая, что v (x)d x d v и	u (x)d x d u , полученную формулу запи-

шем более компактно, помня, что u и	v функции переменной x , изменяю-
щейся в промежутке [ a,b] :
b			b
udv uv			ba vdu .
a			a

Это и есть формула интегрирования по частям в определённом инте-

грале. Как и в случае неопределённого интеграла, её целесообразно применять, если интеграл справа будет «проще», чем исходный интеграл.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y ln x ,

осью абсцисс и прямой x e . Искомая площадь (см. рис. 34.1) выражается

e

интегралом S ln x d x

1

			Рис. 34.1
Интегрируем по частям u ln x,		du		1	dx,		dv dx,			v x
				x
		238

		e	1
S x ln x		1e x		d x e x		1e e e 1 1.
			x
1

Формула Ньютона – Лейбница даёт возможность установить правило замены переменной в определённом интеграле. Пусть требуется вычис-

лить интеграл

b

f (x)d x ,

a

где функция f (x) непрерывна в промежутке [ a,b] . Пусть функция x (t) удовлетворяет следующим условиям: 1) (t) непрерывна вместе со своей производной (t) в некотором промежутке [ , ]; 2) сложная функция f ( (t)) должна быть определена в этом промежутке (для этого достаточно, например, потребовать, чтобы (t) была монотонна); 3) концам промежутка [ , ] соответствуют концы промежутка [ a,b] ,т.е. ( ) a,( ) b или ( ) b , ( ) a (см. рис. 34.2).

Рис. 34.2

При этих условиях имеют место формулы

b
f (x)d x f ( (t)) (t)d t
a
	(34.1)
b
f (x)d x f ( (t)) (t)d t
a
Приведём доказательство первой из них. Пусть F (x) – одна из перво-
образных функции f (x) .	Тогда F ( (t)) – первообразная функции
f ( (t)) (t) . Действительно,
	239