10329

[Введите текст]

16.1. Свойства сходящихся последовательностей. Определение пре-

дела последовательности не даёт способа его нахождения. Поэтому мы сейчас изучим основные свойства сходящихся последовательностей, которые значительно упростят задачу нахождения пределов.

1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Действительно, если предположить обратное, т.е. существуют два предела a1 и a2 , и взять непересекающиеся -окрестности этих точек (см. рис.

16.1), то, начиная с некоторого номера, все члены последовательности должны одновременно находиться в обеих -окрестностях, что невозможно.

Рис. 16.1

2. Сходящаяся к конечному пределу последовательность – ограни-

чена. Это следует из того,		что начиная с некоторого N все последующие
члены последовательности		лежат в -окрестности точки a , поэтому
| xn | a	n N , а среди конечного числа первых N членов последова-

тельности, не входящих в эту окрестность, есть наиболее удалённый от

точки	a . Пусть он находится от точки a на расстоянии	M | xk a |. Тогда
все	члены последовательности будут находиться	в промежутке
a M ; a M (см. рис.16.2).

Рис. 16.2

3. В неравенствах для членов двух сходящихся последовательностей можно переходить к пределу, т.е.

lim x a,	lim y b,	x y		a b .
n n	n n	n	n

110

[Введите текст]

Допустим обратное, т.е. a b (см. рис. 16.3). Рассмотрим непересекающиеся -окрестности точек a и b , (a b) / 2 . Тогда, начиная с неко-

торого номера N , члены последовательности xn будут находиться в

-окрестности точки a , а члены последовательности yn будут находиться

в-окрестности точки b , т.е.

		x	a
n N :		n				xn yn ,
		yn
			b

что противоречит предположению xn yn .

Рис. 16.3

Заметим, что из строгого неравенства для членов последовательности следует, вообще говоря, нестрогое неравенство для их пределов: например,

x

1

y

3

,

но lim x

lim y

n

n

n

n

n

n

n n

Следствие для трех последовательностей:

lim x a,

lim y

a,

x

z

y

lim z

a.

n n

n n

n

n

n

n

n

Пример. Рассмотрим последовательность

x n , где

n

n -я цифра

n

n

числа в его десятичном представлении. Предел этой последовательности равен нулю так как

0 n 9 , n n n

т.е. она заключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел равный нулю.

3. Предел суммы (разности) двух сходящихся к конечным пределам последовательностей равен сумме (разности) их пределов

lim(xn yn ) a b.

n

111

[Введите текст]

Действительно, поскольку

lim x

a , то для заданного

2 найдётся

n

n

такой номер N1

последовательности xn , что n N1

xn a

2 .

Аналогично для последовательности

yn N2 : n N2

yn b

2 .

Тогда n N max{N1, N2} выполняется неравенство

| (x y ) (a b) | | (x a) ( y

b) | | x a | | y

b |

,

n

n

n n

n

n

2

2

что и доказывает указанное свойство. Здесь мы применили замечательное неравенство

| x y | | x | | y |,

которое для любого числа слагаемых формулируется так: абсолютная ве-

личина суммы не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых.

Докажем это неравенство для двух слагаемых. Сложив очевидные неравенства

| x | x | x |

| y | y | y | ,

получим

(| x | | y |) x y | x | | y | .

Это двойное неравенство эквивалентно доказываемому неравенству.

4. Предел произведения двух сходящихся к конечным пределам последовательностей равен произведению их пределов

lim xn yn ab .

n

Это свойство следует из неравенств

| xn yn ab | | xn yn xnb xnb ab | | xn ( yn b) b(xn a) |

| xn | | yn b | | b | | xn a | M 2 | b | 2 1 .

5. Предел частного двух сходящихся к конечным пределам последовательностей при условии, что предел делителя отличен от нуля, равен частному их пределов

lim	xn			a	( b 0 ).
				b
n y		n
112

[Введите текст]

Доказательство следует из следующей оценки разности

|

xn

a

| |

xnb yna

| |

xnb ab ab yna

|

yn

b

byn

byn

1

(| x a | |

a

| | y

b |).

n

| yn |

n

b

6. Неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел (см. рис.16.4). Невозрастающая и ограниченная снизу по-

следовательность имеет предел.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

00
	1		2		3		4		5		6		7		8		9		10		11

Рис. 16.4

Это свойство будем считать интуитивно ясным и поэтому ограничимся его геометрической иллюстрацией и простым примером. Например, после-

	довательность x	1	1	возрастает и ограничена сверху, значит
			2n
	n
				lim(1	1	) 1.
					n

n 2

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Пусть последовательность xn ограничена, т.е. n | xn | M , а yn 0 .

Тогда неравенство

0 | xn yn | M | yn | 0,

и следствие из свойства 3 всё и доказывают.

113

[Введите текст]

16.2. Второй замечательный предел. Применим понятие предела по-

следовательности для определения одного замечательного числа. Рассмотрим последовательность

				1 n
xn		1			.
				n

Непосредственные вычисления нескольких первых членов последовательности показывают их рост с увеличением номера:

x1 2;	x2 2.25; x3	2.37;	x4 2.44;	x5 2.49;	x6 2.52;
Можно доказать, что		xn – возрастающая последовательность и огра-

ничена сверху, например, xn 3, n . Согласно свойству 7 она имеет пре-

дел при n . Предел этой последовательности оказался числом иррациональным, но настолько важным для математики и её приложений, что получил собственное имя

e 2.718281828459045

По традиции предел

				1 n
	lim 1					e			(16.1)
	n			n
	называют вторым замечательным пределом. Из (16.1)							следует, что
			1
	lim 1 n				e ,				(16.2)
			n
	n
	где n – последовательность, стремящаяся к нулю						( n	1	0 ).
								n
	Покажем одну из задач, в которой возникает столь необычный предел.
	Пусть в банк помещён вклад a0 и по нему выплачивается								k % в год. Через

год величина вклада с учетом начисленных процентов будет следующей:

					k									k			,
a1 a0	a0								a0	1
				100
													100
																			k
т.е. через один год каждая денежная единица возрастает в 1																					раз, по-
																			100
этому через два года вклад примет вид
					k									k			2
a2 a1	1								a0		1						,
		100
													100
				114

	[Введите текст]
								k	n
	а через n лет	an	a0		1				.
							100

Это формула сложных процентов, её название сложилось исторически, а в самой формуле нет ничего «сложного». Однако начисление процентов по этой формуле имеет определённые неудобства: начисление процентов по вкладу производится только в конце года. А если вкладчик потребует свой вклад через полгода или через месяц? Нужно чаще начислять проценты. Так, если проценты начислять ежеквартально, то в конце года величина вклада будет равна

						k 1			4
	a0		1						.
					100 4

Было замечено, что в этом случае вклад растёт быстрее. Рассмотрим упрощённый пример. Пусть начальный вклад равен 100 р. при 100% годовых. Если процентные деньги прибавлять один раз в конце года, то вклад превратится в 200 р. Если это делать поквартально, то в конце первого квар-

тала вклад будет равен 100(1+0.25)=125 р., через полгода 125(1.25)=156.25

р., а в конце года 244.14 p . А если начисление процентов производить ещё

чаще? Например, при ежедневном начислении процентов каждая денежная единица будет умножаться на величину

		1		1	365	2.715 .
				365

При непрерывном начислении процентов, т.е. при n мы получаем

			1 n
lim	1				e .
n			n

Таким образом, даже при таком «фантастическом» проценте (к =100%) в конце года вклад увеличится приблизительно в 2.7 раза.

16.3. Раскрытие неопределённостей. Приведенные выше свой-

ства пределов последовательностей позволяют находить предел, минуя обращение к его определению. Однако на этом пути возникают трудности, связанные с невозможностью непосредственного применения этих свойств. Поясним на примерах. Пусть требуется найти предел отношения двух последовательностей, сходящихся к бесконечности

lim	xn	.	(16.3)

n yn

115

[Введите текст]

Мы не можем непосредственно применить свойство о пределе частного двух последовательностей. Предварительно необходимо преобразовать это выражение к виду, допускающему применение указанных свойств. В связи

с этим выражение типа (16.3) называется неопределенностью			, а его

преобразование к виду, позволяющему найти предел, – раскрытием не-

определенности.

Заметим, что предел (16.3) может оказаться равным 0 (например, когда

x

n

n , y

n

n2 ), равным конечному числу (например, когда x

n

n ,

y

n

7n )

и равным

(например, когда x

n3 , y

n

7n ), а также этот предел может

n

вообще не существовать (например, когда

x ( 1)n n , y

n

n ).

n

Самым распространенным

приемом

раскрытия

неопределенности

, когда числитель и знаменатель представляют собой комбинации сте-



пенных функций, является деление того и другого на такую степень n , чтобы неопределенность исчезла. Например,

1

n2 1

1

1

lim

lim

n2

.

n

3n 2

n

2

3

3

n

Неопределенность

0

обозначает выражение типа (16.3), когда по-

0

следовательности в числителе и знаменателе стремятся к нулю.

Неопределенность раскрывается, например, следующим обра-

зом:

n 1 n

0 .

lim(

n 1

n ) lim

( n 1

n )

n

n

Неопределенность

(0 )легко сводится к неопределённостям вида

0

или

, так как произведение можно представить в виде частного

0

x y

xn

yn

.

n

n

1

1

yn

xn

Неопределенность

1

связана со вторым замечательным пределом,

она появляется, когда нужно найти предел выражения xn yn , в котором по-

116

[Введите текст]

следовательность xn 1 (но не тождественно равна 1!), а последовательность yn стремится к . Приведем пример раскрытия такой неопределенности:

1 4n

1

2n 2

2

lim

1

lim

1

e

,

n

2n

n

2n

где применён предел (16.1).

Заметим, что неопределенность 1 может быть сведена к неопределенности ( 0)путем логарифмирования: сначала находим

			a limln(x		yn	) lim( y	n	ln x ) ,
			n	n		n		n
затем сводим неопределенность (0 )к неопределенности вида											или
	0		, затем, раскрывая их, находим a , и, наконец, получаем
	0
				lim (x		yn ) ea .
				n	n

Неопределенности 00	и 0 раскрывается также путем предвари-
тельного логарифмирования.

117

[Введите текст]

Лекция 17. Предел функции. Непрерывность

17.1. Предел функции. Понятие предела функции служит для исследования функции в окрестностях точек, в которых непосредственное вычисление значения функции вызывает трудности, а также при больших значениях аргумента (в окрестности бесконечности). Интуитивно, предел функции – это определенное число (или бесконечность), к которому неограниченно приближается последовательность значений функции, когда последовательность значений аргумента стремится к некоторому числу или к бесконечности. Поэтому предел функции определим через уже изученное понятие предела последовательности.

Пределом функции y f (x) , когда x стремится к x0 , называется число A , если для любой последовательности значений аргумента {xn} , сходящейся к x0 , последовательность соответствующих значений функции yn f (xn ) стремится к A . Это определение как частный случай включает в себя возможность каждому из чисел x0 и A быть бесконечностью.

Согласно определению для вычисления предела функции требуется найти предел последовательности

lim f (xn ) ,

n

когда {x } – любая последовательность, lim x

x . Например,

lim

1

,

n

n n

0

x 0

x

т.к.

lim

1

для любой последовательности

x

такой,

что lim x 0 .

n x n

n

n

n

Функция может быть не определена в точке x0 . Например,

lim

x2

4

lim(x 2) 4.

x

2

x 2

x 2

Если найдутся две последовательности x (1)

и x (2)

, обе стремящиеся

n

n

к x

, такие, что соответствующие им последовательности

f (x (1) ) и

f (x (2) )

0

n

n

сходятся к разным пределам (включая случай, когда один из них не существует), то функция не имеет предела в данной точке. Например, для функ-

ции y | xx | (см. рис. 17.1) не существует предела в точке x0 =0, т.к. для стре-

мящихся к нулю последовательностей xn(1) 1n и xn(2) 1n получим

118

[Введите текст]

lim	1	1, lim	1	1.
n x(1)		n x (2)
	1		n

Рис. 17.1

В последнем примере видно, что для любой положительной последовательности xn 0 , стремящейся к нулю, соответствующая последователь-

ность значений функции стремится к 1, а для любой отрицательной последовательности xn 0 , стремящейся к нулю, соответствующая последова-

тельность значений функции сходится к -1. Это наводит на мысль определить так называемые односторонние пределы функции, а именно предел слева и предел справа.

Пределом функции y f (x) слева (справа) в точке x0 , называется
число A (число	B ), если для любой последовательности значений аргу-
мента xn x0 (xn	x0 ) , сходящейся к x0 , последовательность соответству-

ющих значений функции yn f (xn ) стремится к A (к B ). Обозначаются эти пределы так:

lim f (x) A ,	lim f (x) B .
x x0 0	x x0 0
В соответствии с этим определением имеем

lim

x

1,

lim

x

1,

lim

1

,

lim

1

.

| x |

| x |

x

x

x 0 0

x 0 0

x 0 0

x 0 0

Непосредственное вычисление пределов функций осуществляется на основе свойств пределов последовательностей, подробно изложенных в предыдущей лекции. В частности, предел суммы, разности, произведения, частного двух функций равен сумме, разности, произведению, частному их пределов (в случае частного предел знаменателя должен быть отличен от

119