10577

11

Рис 1.2

12

Рис 1.3

13

Для вычисления интегралов в формулах (1.6)и (1.8) можно применять

правило Верещагина

_

m

l

M

0

M

0

m

i ycj

i

j

ds

;

EI

v 1

0

v 1

EI

_

0

0

m

l

M

M

n

p

y

ci

0

i

p

ds

.

(1.9)

EI

EI

v 1

v 1

Для проверки правильности вычисления перемещений существуют следующие проверки:

1. Построчная

	_			_
	m l		0	0
is		Mi		Ms	ds i1 i2 ... in,	(1.10)
	v 1 0		EI

выполняемая для каждой строки системы канонических уравнений (1.5).

Здесь

	_	_		_		_
	Ms0 M10 M20 … Mn0
изгибающий момент	в	основной				системе		от суммарного
Х1=1, Х2=1,… Хn =1.
2. Универсальная
	m l	_
		0	)	2		n		n
ss		(Ms			ds ii		ij ,		(i j) .
		EI
	v 1 0					i 1		j 1

i 1

(1.11)

действия

(1.12)

3. Свободных членов

m l	_
	0	0
sp	Ms	Mp	ds 1p 2p ... np.	(1.13)
v 1 0	EI

1.4.2 Определение перемещения it от изменения

температурного режима

Слагаемое it (1.7) представляет собой перемещение в основной системе по направлению силового фактора Хi от изменения температурного режима,

определяемое по формуле

14

	m	m	t
	it t0 _			_	(1.14)
	v 1 Ni0	v 1	H Mi0

при условии постоянного изменения температуры по длине каждого стержня и однородности материала.

Здесь

– коэффициент линейного расширения материала;

t0		(t1	t2 )	– приращение температуры по оси стержня;
			2

t1 – приращение температуры наружных волокон;

t2 – приращение температуры внутренних волокон;

t t1 –t2 – перепад температур;

Н– высота сечения в плоскости изгиба ώ;

_ – площади эпюр нормальных сил и изгибающих моментов на стержне с

M i0

меняющейся температурой от силового фактора Хi =1;

m – число стержней, по длине которых происходит изменение температурного режима.

Каждое слагаемое в (1.14) считается положительным, если деформации,

вызванные силовым фактором Хi=1 и изменением температурного режима совпадают, и – отрицательным, если эти деформации не совпадают.

1.4.3 Определение перемещение iс от кинематического

воздействия

Слагаемое iс в (1.7) представляет собой перемещение в основной системе по направлению силового фактора Рi от кинематического воздействия,

определяемое по формуле

	w
iс	rvi0cv ,	(1.15)

v 1

где rvi0 – реакция в связи, получившей кинематическое воздействие, от силового

фактора Хi=1; сv – величина кинематического воздействия; w – число опорных связей, получивших кинематические воздействия.

Реакция rvi0 считается положительной, если ее направление совпадает с направлением кинематического воздействия, и – отрицательной, если не совпадает.

15

1.5Построение эпюр усилий в заданной системе от внешних нагрузок и воздействий

Врезультате решения системы канонических уравнений (1.5) находим действительные значения основных неизвестных Х1, Х2,… Хi… Хn. Изгибающие

моменты M p в заданной системе от действующей нагрузки в соответствии с принципом независимости действия сил могут быть вычислены, как сумма

изгибающих моментов в основной системе от заданной нагрузки	M p0 и
действительных значений неизвестных
n _
M p =M p0 + M 0j X j .	(1.17)
j 1

Аналогично может быть построена эпюра изгибающих моментов от температурного Mt

_	_
Mt =M10	X1 ... Mn0 Xn	(1.18)
и кинематического Mс воздействий
_	_
Mс =M10 X1 ... Mn0 Xn .		(1.19)
Здесь Mt0 и Mс0 – изгибающие моменты в основной системе,		вызванные

температурным и кинематическим воздействиями соответственно, которые в частном случае для статически определимой основной системы равны нулю.

Построенные эпюры изгибающих моментов должны удовлетворять условиям равновесия узлов и кинематической проверке:

_

m l

0

ip

Mp Mi

ds 0

v 1 0

EI

_

m

l

M p

0

или

sp

M s

ds 0

(1.20)

0

EI

v 1

при расчете от нагрузки;

T

T

t

m l

_

t0 _0

0

it

_0

Mi

Mt

ds 0

(1.21)

v 1

Ni

v 1

H Mi

v 1 0

EI

или

T

T

t

_

m

l

0

st

t0 _0

_0

Ms

Mt

ds 0

(1.22)

H

v 1

Ns

v 1

Ms

v 1 0

EI

при расчете от изменения температурного режима;

16

w		l		_
	m			0	Mc
iс rvi0cv				Mi			ds 0
v 1	v 1	0		EI
или
w		l		_
	m			0	Mc
sс rvs0cv				Ms		ds 0
v 1				EI
	v 1	0

при расчете от кинематических воздействий.

(1.23)

(1.24)

Здесь	_	,		_	,	r0	– площади эпюр и реакции в основной системе от
	Ns0			Ms0		vs

суммарного действия Х1=1, Х2=1,… Хn =1.

Поперечные и продольные силы в сечениях заданной рамы Qp и Np могут быть вычислены по принципу независимости действия сил

					n	_
			Qp	Qp0	Q0j		X j ,		(1.25)
					j 1
					n	_
		Np Np0			N0j		X j .		(1.26)
					j 1
Здесь Qp0 ,Np0 и		_	_
		Q0j	,N0j	– поперечные и				продольные	силы в основной
системе от нагрузки и единичного значения неизвестного Хj=1 соответственно.
Эпюру	поперечных		сил	Qp	можно		построить и по		известной эпюре
изгибающих	моментов	М p . Для этого				следует		рассмотреть	равновесие всех

вырезанных из системы стержней. Выделенный стержень или часть его представляется в виде простой двухопорной балки, загруженной местной нагрузкой и концевыми моментами, принятыми в соответствии с эпюрой

изгибающих моментов	М p (рис.1.4).			Ординаты эпюры поперечных сил		будут
определяться зависимостью:
Qp	Qp0		Mпр	M лев	,	(1.27)
				l

где Qp0 – значение поперечной силы от действия местной нагрузки на стержень (балку);

Мпр и Млев – правый и левый концевые моменты, взятые с эпюры М p .

Они считаются положительными, если вызывают растяжение нижних волокон, и

отрицательными – если верхних.

17

Ординаты эпюр поперечных сил от температурных Qt и кинематических Qс

воздействий можно вычислить согласно (1.27), полагая отсутствующими поперечные силы от местного воздействия.

Построение эпюр продольных сил от нагрузки Np, изменения температурного режима Nt и кинематических воздействий Nс выполняется способом последовательного вырезания узлов. Для этого к вырезанному с эпюр

Qp , Qt , Qс узлу прикладывают с учетом знаков (рис.1.5) поперечные силы,

неизвестные продольные силы, принимая их растягивающими, и узловые внешние нагрузки. Начиная с двухстержневого узла, составляют уравнения равновесия в виде

X 0, Y 0, (1.28)

определяют неизвестные продольные силы и выполняют построения

соответствующих эпюр Np , Nt , Nс .

Для оценки правильности полученных эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил выполняется статическая проверка, основанная на рассмотрении равновесия отсеченных частей системы. Разрезая систему произвольным сечением и заменяя действие устраненной части усилиями М,Q,N ,

составляем уравнения равновесия:		М1
X 0,	Y 0,		0,	(1.29)

где 1 – произвольная точка, относительно которой составляется уравнение равновесия. Направление изгибающих моментов, поперечных и продольных сил

устанавливается по эпюрам Мp , Qp , Np . Направление изгибающих моментов принимается в соответствии с растянутыми в сечении волокнами. Поперечные силы прикладываются с учетом знаков (1.4; 1.5). Положительные продольные силы принимаются растягивающими, отрицательные – сжимающими. Условия статической проверки должны выполняться с погрешностью, не превышающей 3%.

1.6 Примеры расчета статически неопределимых рам

методом сил

Пример 1.6.1. Выполнить расчет статически неопределимой рамы (рис.1.6),

вычислить усилия и построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил от нагрузки, изменения температурного режима и

кинематического воздействия при I1 : I2 1:3, EI 2 105 (кНм2), 10 5 . 1.6.1 Расчет от нагрузки 1. Определяем степень статической неопределимости рамы.

Л=3*К – Ш=3*2 – 4=2.

2. Выбираем основную систему (рис.1.7).

18

Рис 1.4

Рис 1.5

3. Составляем канонические уравнения метода сил (1.5).

		X	1		12		X	2		1p		0
	11
		X					X					0
			1			22		2			2p
	21

4. Строим эпюры изгибающих моментов в основной системе от неизвестных Х1=1,

Х2=1 и от заданной нагрузки (рис.1.8 – 1.10).

5. Определяем перемещения в основной системе по правилу Верещагина (1.9).

				_		2
m 7	l			0
		M1																	1						2
11	0							ds 7 9 7/3EI1 2														7 7					7/EI1 7 3 7/3EI1
				EI															2						3
v 1
2				1	7 6				2	7/3ЕI						1		7 7		2		7/ ЕI					604,333/ ЕI				(м/кН);
				2									1			2			3							1				1
							3
				_		2
m 7	l			0
			M2								1				2								1					2		1		2
22	0							ds				9 9					9/3EI1							3 3					3/3EI1		3 6		3/3EI1
				EI																										2
v 1							2							3					2								3				3

19

	1	7 9	2	9/ EI			1	6 9	2	9/3EI		333/ EI		(м/кН);
					1						1		1
2		3				2		3
		_		_

								m 7	l		0					M			0										1																							1																							1									2
21 12									0	M1									2		ds										9 9 7/3EI1																									3 3 7/3EI1																					3 6									7/3EI1
								v 1			EI																2																						2																										2							3
				1				9 7			2		7/ EI														1	9 6									2		7/3EI										119/ EI															(м/кН);
				2							3												1				2										3										1															1
								_
	m 7 l							M10 Mp0																																			1															3													1											3
1p				0									ds 147 9 7/3EI1																																7 147															7/ EI1														7 147													7/ EI1
								EI																																			3															4													3											4
	v 1
	147 3 7/3EI																			1					1	147 6											2		7/3EI																1		177 7									2			7/ EI												1		177 3 (								2		7
																									2												3											1																															1		2										3
																																																	2																3
				1				3,5)/3EI														1		103,5 5 3 (																2		3,5								1				7)/3EI														1		103,5 3												2			3,5/3EI
				3													1					2																											3														1				2															3										1
																																					3
	2397,5/EI1 (м);
								_
	m 7 l							M20 Mp0																									1																											1															1														2
2p				0										ds					147 9																9/3EI1													147 3													3/3EI1																		147 6											3/3EI1
								EI																									2																											2															2														3
	v 1
				1			177 7								2			9/ EI												1		177 3(										2			9						1			4,5)/3EI																	1		103,5 3(												2			4,5
				2										3												1	2																3						3																1						2											3
				1		9)/3EI														1		103,5 3												2		4,5/3EI													7345,5/EI																				1		(м).
				3										1						2														3												1
																																																																					_											_							_

6. Строим суммарную эпюру изгибающих моментов Ms0 M10 M20 (рис.1.11) и

выполняем проверки правильности определения перемещений. Построчная (1.10)

				l	_						_
			m		0						0											1																		1										2
1s				0	M1					Ms				ds 7 9									(7 1)/3EI1															2			7 7										7/ EI1 7 3											1		(7 10)/3EI1
			v 1						EI									2																					2											3							2
		1	7 6				2		10/3EI										1		7 7							2			16/ EI							1	7 6							2			16/3EI								723,333/ EI										(м/кН),
2					3										1			2										3								1		2	3																	1										1
				l	_						_
			m		0						0							1										2						1									1										2							1
2s				0			M2			Ms				ds						9 9 (										2					7)/3EI1												3 3 (								10						7)/3EI1
																		2										3
			v 1						EI																							3							2											3							3
	1		3 6				2	10/3EI											1		9 7							2		16/ EI								1	9 6						2			16/3EI									452/ EI								(м/кН),
2					3										1			2										3								1		2	3																	1							1
1s			11	12						604,333/EI1 119/EI1 723,333/EI1 (м/кН),
2s			21 22							119/EI1 333/EI1																						452/EI1 (м/кН).
Универсальная (1.12)
				l	_
			m		0					)	2					1								2									1									1										2						1
ss				0	(Ms							ds						7 9 (									7							2)/3EI1										2 9 (										2					7)/3EI1
																2
			v 1						EI									3														3							2											3							3

20

		1			7 7					2						7 2/ EI														2 7 3 (									2		7					1	10)/3EI													1		10 3 (								2	10								1	7)/3EI
	2							3																1														3						3													1			2							3												3								1
		1		10 6											2		10/3EI														1	16 7								2		16/ EI									1			16 6								2			16/3EI								1175,333/ EI																(м/кН),
																									1																								1																							1																1
	2												3																	2										3											2									3
ss 11 22 2 12																								604,333/EI1 333/ EI1																											2 119/EI1																1175,333/EI1 (м/кН).
Проверка свободных членов (1.13)
													_
	0					m 7 l							Ms0 Mp0																							1															1															3									1										3
sp																					ds 147 9																	(7 2)/3EI1																		147 7											7/ EI1											147 4									7/ EI1
							0										EI																			2															3															4									3										4
						v 1
147 3								1						(7 10)/3EI																				1	147 6									2	10/3EI													1	177 7									2	16/ EI												1	177 3
								2																				1																3									1					2																			1				2
																														2																																					3
(		2	16						1					8)/3EI													1		103,5 3 (													2	8					1	16)/3EI														1		103,5 3									2		8/3EI
	3							3														1				2														3				3															1	2													3										1
9743/EI1 (м),
0sp					1p										2 p					2397,5/ EI1																				7345,3/ EI1															9743/EI1 (м).
7. Решаем систему канонических уравнений и определяем действительные
значения лишних неизвестных.
604,333									X1									119				X2								2397,5								0
					EI1														EI1													EI1
													333										7345,5
	119					X1												X2															0
														EI1												EI1
EI1
																											X1= – 0,4046(кН);																															X2= 22,2032(кН).

8.Строим эпюры изгибающих моментов в основной системе от вычисленных значений неизвестных (рис.1.12, 1.13).

9.Строим эпюру изгибающих моментов М p в заданной раме от нагрузки (1.17)

(рис.1.14.).

10. Выполняем кинематическую проверку решения (1.20).

											_
					m 7 l Mp						Ms0									1													2								1										1																	2					1
sp																	ds						9 55,661 (											2									7)/3EI1													9 144,1678 (													7						2)/3EI1
																				2													3								3										2																	3					3
					v 1 0					EI
		2			7 6 72					/8				1		7/ EI											1	144,1678 7												2		7/ EI								2		7 6 72 /8											1			7/ EI
		3																					1																	3						1			3														2								1
											2													2
7 149,8322											2		7/ EI												1	149,8322 3(										2			7					1	10)/3EI													1	83,2226 3(											2	10
											3									1				2												3								3												1		2											3
			1		7)/3EI							1			6 83,2226														2	10/3EI											1		19,9966 7												2		16/ EI							1			19,9966 3
		3							1		2																		3						1						2										3									1			2
(		2			16	1		8)/3EI												1		5,0017 3(									2	8					1		16)/3EI												1			5,0017 3									2		8/3EI
		3			3													1		2									3							3											1				2												3									1
		(4099,5978 4099,412)/ EI1																											0,1899/ EI1															0,1%.

11. Определяем поперечные силы в каждом стержне рамы (1.27) (рис.1.15 – 1.18).