Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

idz4.1_all / idz4.1_v21 / polnoe_reshenie_ryabushko_a_p_variant_21

.pdf
Скачиваний:
25
Добавлен:
13.03.2015
Размер:
926.1 Кб
Скачать

1.1,1.21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 1, j = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

-4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

1,2

=

 

3

-1

2

 

 

= (-2) × (-1) × (-1) - (-2) × 2 × (-2) - (-4) ×3× (-1) + (-4) × 2 × 4 + 3×3× (-2) - 3×(-1) × 4 = -60; A

= (-1)1+ 2 × M

1,2

= 60

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

3,2

=

 

-2

-4

3

 

 

= 1×(-4) × (-1) -1×3× (-2) - 3× (-2) ×(-1) + 3×3× 4 + 4 ×(-2) × (-2) - 4 × (-4) × 4 = 120; A = (-1)3+ 2 M

3,2

= -120

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

-1

 

 

 

 

 

 

3,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

3

4

 

 

 

 

 

1 -4 3

 

-2 -4 3

 

-2 1 3

 

-2 1 -4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2 1 -4 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1×

-4 -1 2

- 2 ×

3 -1 2

+ 3×

3 -4 2

- 4 ×

3 -4 -1

=

 

 

 

 

 

 

 

3

-4

-1

2

 

 

 

 

 

3 -2 -1

 

4 -2 -1

 

4 3 -1

 

4 3 -2

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

 

-2

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1×(1× (-1) ×(-1) -1× 2 × (-2) - (-4) ×(-4) × (-1) + (-4) × 2 ×3 + 3× (-4) ×(-2) - 3× (-1) ×3) - -2 ×((-2) × (-1) × (-1) - (-2) × 2 × (-2) - (-4) ×3× (-1) + (-4) × 2 × 4 + 3×3× (-2) - 3×(-1) × 4) + 3×((-2) × (-4) ×(-1) - (-2) × 2 ×3 -1×3× (-1) +1× 2 × 4 + 3×3×3 - 3×(-4) × 4) -

-4 ×((-2) × (-4) × (-2) - (-2) × (-1) ×3 -1×3× (-2) +1× (-1) × 4 + (-4) ×3×3 - (-4) × (-4) × 4) = 1×30 - 2 × (-60) + 3×90 - 4 × (-120) = 900

1

2

3

4

 

-2

-4

3

 

1

3 4

 

1

3

4

 

1

3

4

 

-2 1

-4

3

 

 

 

 

 

= -2 ×

3

-1 2

+1×

3

-1 2

- (-4) ×

-2

-4

3

+ 3×

-2 -4

3

=

3

-4

-1

2

 

4

 

-2

-1

 

4

-2 -1

 

4

-2

-1

 

3

-1

2

 

4

3

-2

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=-2 ×((-2) ×(-1) ×(-1) - (-2) ×2 ×(-2) - (-4) ×3×(-1) + (-4) × 2 × 4 + 3×3×(-2) - 3× (-1) × 4) +1×(1×(-1) × (-1) -1× 2 × (-2) - 3×3×(-1) + 3× 2 × 4 + 4 ×3×(-2) - 4 × (-1) × 4) - -(-4) ×(1× (-4) ×(-1) -1×3×(-2) - 3× (-2) × (-1) + 3×3× 4 + 4 × (-2) ×(-2) - 4 × (-4) × 4) + 3×(1× (-4) × 2 -1×3× (-1) - 3×(-2) × 2 + 3×3×3 + 4 × (-2) ×(-1) - 4 × (-4) ×3) =

=-2 × (-60) +1×30 - (-4) ×120 + 3×90 = 900

1

2

3

 

4

 

 

1

0

3

4

 

1

0

0

4

 

1

0

0

0

 

-2 1

-4

3

 

=

-2 5

-4

3

=

-2 5

2

3

=

-2 5

2

11

=

3

-4 -1 2

 

 

3

-10 -1 2

 

3

-10 -10

2

 

3

-10 -10

-10

 

4

3

-2

-1

 

4

-5 -2

-1

 

4

-5 -14

-1

 

4

-5 -14

-17

 

 

5

2

 

11

 

= 1×(5 ×(-10) ×(-17) - 5 × (-10) × (-14) - 2 ×(-10) × (-17) + 2 ×(-10) ×(-5) +11×(-10) × (-14) -11×(-10) ×(-5)) = 900

 

 

 

= 1×

-10 -10

-10

 

 

-5 -14

-17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 -1 -4

 

0 0 -4

 

 

4

-9

3

 

 

5

-6

4

 

1.1, 2.21 A :

 

B :

 

 

2

-7

-1

 

 

7

-4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2 × 0 + (-1) × 5 + (-4) × 7 2 × 0 + (-1) × (-6) + (-4) × (-4) 2 × (-4) + (-1) × 4 + (-4) ×1 -33 22 -16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 × 0 + (-9) × 5 + 3 × 7

4 × 0 + (-9) × (-6) + 3 × (-4)

4 × (-4) + (-9) × 4 + 3 ×1

 

 

-24 42

-49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB =

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 × 0 + (-7) × 5 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-42 46

-37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(-1) × 7 2 × 0 + (-7) × (-6) + (-1) × (-4) 2 × (-4) + (-7) × 4 + (-1) ×1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 × 2 + 0 × 4 + (-4) × 2 0 × (-1) + 0 × (-9) + (-4) × (-7) 0 × (-4) + 0 × 3 + (-4) × (-1) -8 28 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 × 2 + (-6) × 4 +

4 × 2 5 × (-1) + (-6) × (-9) + 4 × (-7) 5 × (-4) + (-6) ×

3 +

4 × (-1)

 

 

-6 21 -42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BA =

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 × 2 + (-4) × 4 +

1 × 2 7 × (-1) + (-4) × (-9) + 1× (-7) 7 × (-4) + (-4) ×

3 +

1× (-1)

 

 

0 22 -41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-9 3

 

 

-

 

 

 

4 3

 

 

 

 

4 -9

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-7 -1

 

 

 

 

 

 

 

2 -1

 

 

 

2 -7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

27

 

 

 

 

 

 

 

( Aij )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1 -4

 

2 -4

 

 

 

 

 

 

2 -1

 

 

 

 

 

−1

= A

−1

=

1

T

=

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

-

 

=

1

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-7

-1

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

-7

 

 

 

 

10

6

 

 

det A

 

 

× (-1) - 2 × 3 × (-7) - (-1) × 4

× (-1) + (-1) × 3

× 2 + (-4) × 4

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

90

 

 

 

 

 

 

 

 

2 × (-9)

× (-7) - (-4) × (-9) × 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-10

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1 -4

 

 

-

 

 

2 -4

 

 

 

 

2 -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-9

3

 

 

 

 

 

 

4

3

 

 

 

 

 

4

-9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

-1

 

-4

30

 

 

27

-39

 

 

 

2 × 30 + (-1) ×10 + (-4) × (-10)

2 × 27 + (-1) × 6 + (-4) ×12

2 × (-39) + (-1) × (-22) + (-4) × (-14)

 

 

 

AA

−1

=

 

1

 

4

-9

 

3

 

×

 

10

 

 

6

-22

 

=

1

 

4 × 30 + (-9) ×10 + 3 × (-10)

4 × 27 + (-9) × 6 + 3 ×12

4 × (-39) + (-9) × (-22) + 3 × (-14)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

-7

 

 

 

 

 

 

-10

 

12

-14

 

 

 

2 × 30 + (-7) ×10 + (-1) × (-10)

2 × 27 + (-7) × 6 + (-1) ×12

2 × (-39) + (-7) × (-22) + (-1) × (-14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

 

0

0

 

1

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

0

 

90

0

 

=

 

0

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

90

 

 

 

0

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

27

 

-39

2

-1

-4

 

 

 

30 × 2 + 27 × 4 + (-39) × 2

30 × (-1) + 27 × (-9) + (-39) × (-7)

30 × (-4) + 27 × 3 + (-39) × (-1)

 

 

A−1 A =

1

 

10

 

6

 

 

-22

 

×

4

-9

3

 

=

1

 

10 × 2 + 6 × 4 + (-22) × 2

10 × (-1) + 6 × (-9) + (-22) × (-7)

10 × (-4) + 6 × 3 + (-22) × (-1)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-10 12

 

-14

 

 

2

-7

-1

 

 

 

(-10) × 2 + 12 × 4 + (-14) × 2 (-10) × (-1) + 12 × (-9) + (-14) × (-7)

(-10) × (-4) + 12 × 3 + (-14) × (-1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

 

0

0

 

1

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

0

 

90

0

 

=

 

0

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

90

 

 

 

0

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-39 -22

-14

1.2,1.21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 -1 1

 

9

3 -1 1

 

9

3 -1 1

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-8

-1

 

 

 

 

 

-8

-1

 

 

 

 

5

1

2

 

11

 

~

0

 

12

 

~

0

 

12

 

 

1

2

4

 

19

 

 

0

-7

-11

 

-48

 

 

0

0

-81

 

-468

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы, поэтому система совместна и имеет единственное решение

1. формулы Крамера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D =

 

3

 

 

-1

 

1

 

= 3 ×1× 4 - 3× 2 × 2 - (-1) ×5 × 4 + (-1) × 2 ×1 +1×5 × 2 -1×1×1 = 27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D1 =

 

9

 

-1 1

 

= 9 ×1× 4 - 9 × 2 × 2 - (-1) ×11× 4 + (-1) × 2 ×19 +1×11× 2 -1×1×19 = 9

 

 

 

 

 

 

 

11 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

=

 

 

D1

 

=

9

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D2 =

 

 

3

 

9

 

1

 

= 3 ×11× 4 - 3 × 2 ×19 - 9 ×5 × 4 + 9 × 2 ×1 +1×5 ×19 -1×11×1 = -60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 11 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

19

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 =

 

D2

= -60 = -2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D3

 

 

 

=

 

3

 

-1

9

 

 

= 3 ×1×19 - 3 ×11× 2 - (-1) ×5 ×19 + (-1) ×11×1+ 9 ×5 × 2 - 9 ×1×1 = 156

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

1

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

=

 

 

D3

=

156

= 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. матричный метод

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

-

 

5

 

2

 

 

 

 

 

5

 

1

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

1

 

4

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

1

 

 

 

T

 

 

 

1

 

 

 

 

3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

 

A

 

 

× B = A

 

 

 

=

 

 

( Aij )

× B =

 

 

 

-

 

2

4

 

1

 

4

 

 

 

-

1

 

2

 

 

× 11

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

1

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

 

3

-1

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

5

 

2

 

 

 

 

5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

6 -3

9

 

 

 

 

0 ×9 + 6 ×11 + (-3) ×19

 

 

 

 

 

9

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

-18

 

 

11

 

 

 

-1 ×

11

=

 

 

 

 

(-18)

×9

+11×11 + (-1) ×19

=

 

 

 

 

-60

 

=

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

27

 

 

 

 

 

9

 

 

 

-7

 

 

 

8

 

27

 

 

 

9 ×9 +

(-7) ×11+ 8 ×19

 

 

 

 

156

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. метод Гаусса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 -1 1

 

9 3 -1 1

 

 

9 3 -1 1

 

 

 

9

 

 

 

 

x1 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-8

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-8

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -2

 

 

 

5 1 2

 

11

 

~

0

12

 

~

 

0

 

12

 

x2

 

 

 

 

1

 

 

2

 

4

 

19

 

 

0

-7

-11

 

 

-48

 

 

 

0

0

 

-81

 

-468

 

 

 

 

 

= 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2, 2.21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

−2

−3

 

3

1

−2

−3

 

3

1

−2

−3

 

3

 

 

 

 

1

3

−5

 

0

 

 

0

−5

2

 

3

 

 

0

−5

2

 

 

 

 

 

~

 

 

~

 

3

 

2 1

−8

 

4

 

 

0

−5

2

 

2

 

 

0 0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.к. ранг расширенной матрицы не равен рангу матрицы, то по теореме Кронекера Капелли следует несовместностьисходной системы

1.2, 3.21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −3

−4

 

0

1 −3 −4

 

0

1 −3

−4

 

0

x = 0

 

 

 

 

 

−8

−2

 

 

 

 

 

−7

−18

 

 

 

 

 

−7

−18

 

 

 

3

 

5

 

0

 

~

0

 

0

 

~

0

 

0

 

x2 = 0

 

2

1 −1

 

0

 

0

−7

−7

 

0

 

 

0

0 11

 

0

 

x = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2, 4.21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 5

1

 

0

1

5

1

 

0

1

5

1

 

0

x2 = -9 × x3 / 13

 

 

 

 

2

-3

-7

 

0

 

0

13

9

 

0

 

0

13 9

 

0

 

 

 

~

 

~

 

 

 

= 32 × x3 / 13

 

3

2

-6

 

0

 

0

13

9

 

0

 

0

0

0

 

0

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1 1.21

a= -5m - 6n

b= 2m + 7n

1) - 2a =10m + 12n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5b =10m + 35n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2a + 5b = 20m + 47n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = -5m - 6n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3b = 6m + 21n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a + 3b = m + 15n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(-2a + 5b) × (a + 3b) = (20m + 47n) × (m + 15n) = 20m2

+ 300

 

 

m

 

×

 

n

 

 

cosϕ + 47

 

n

 

×

 

m

 

 

cosϕ + 705n2 =

 

 

 

 

 

 

 

 

= 20 × 4 + 300 × 2 × 7 × (-1) + 47 × 7 × 2 × (-1) + 705 × 49 = 29767

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) (a + 3b) × b = (m + 15n) × (2m + 7n) = 2m2 + 7

 

m

 

×

 

n

 

cosϕ + 30

 

n

 

×

 

m

 

cosϕ + 105n2 =

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2 × 4 + 7 × 2 × 7 × (-1) + 30 × 7 × 2 × (-1) + 105 × 49 = 4635

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(2m + 7n)2 =

4m2 + 28

 

 

×

 

 

 

cos ϕ + 49n2

 

 

 

 

=

 

 

 

 

= 45

 

 

b

m

n

4 × 4 + 28 × 2 × 7 × (-1) + 49 × 49

2025

прb (a + 3b) =

(a +

 

3

b) × b

=

4635

=103

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) cos(a, 3b) =

 

 

a

 

×

 

3b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

×

 

3b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(-5m - 6n)2 =

25m2 + 60

 

 

×

 

 

 

 

cosϕ + 36n2

=

 

 

 

=

 

 

= 32

 

 

a

 

m

 

 

n

 

25 × 4 + 60 × 2 × 7 × (-1) + 36 × 49

1024

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

(6m + 21n)2 =

 

36m2 + 252

 

 

×

 

cosϕ + 441n2

=

 

=

 

=135

 

3b

 

 

 

m

 

n

36 × 4 + 252 × 2 × 7 × (-1) + 441× 49

18225

a × 3b = (-5m - 6n) ×

(6m + 21n) = -30m2 -105

 

m

 

×

 

n

 

cos ϕ - 36

 

n

 

×

 

m

 

cosϕ -126n2 =

 

 

 

 

 

 

 

 

= -30 × 4 -105 × 2

× 7

× (-1) - 36 × 7 × 2 × (-1) -126 × 49 = (-4320)

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(a, 3b) =

(-4320)

= -1

 

135 ×

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1 2.21

A (3, 4, 6), B (-4, 6, 4), C (5, - 2, - 3)

1)BC = (9, - 8, - 7), - 7 × BC = (-63, 56, 49)

CA = (-2, 6, 9), 4 × CA = (-8, 24, 36) a = -7BC + 4CA = (-71, 80, 85)

-7BC + 4CA = (-71)2 + 802 + 852 = 18666 2)b = BA = (7, - 2, 2)

a × b = (-71) × 7 + 80 × (-2) + 85 × 2 = -487 3)c = CA = (-2, 6, 9)

d = BC = (9, - 8, - 7)

прd c =

c

× d

=

(-2)

× 9 + 6 × (-8) + 9 × (-7)

=

-129

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

92 + (-8)2 + (-7)2

 

 

 

 

194

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xB +

5

xA

 

 

 

 

 

-4 + 5 / 3 × 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)xM =

3

=

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 5 / 3

 

1 + 5 / 3

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yB

+

 

5

yA

 

 

 

6 + 5 / 3 × 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

 

 

 

19

 

 

 

 

yM

=

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

=

=

=

 

 

 

 

 

 

 

 

+

5 / 3

 

 

 

 

1 + 5 / 3

 

 

 

8

 

 

4

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zB

 

+

5

zA

 

 

4 + 5 / 3 × 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

 

 

 

 

21

 

 

 

 

zM

=

 

 

3

=

 

=

=

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 5 / 3

 

 

 

 

1 + 5 / 3

 

8

 

 

4

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (3 / 8,19 / 4, 21 / 4)

2.1, 3.21

a = (9, 5, 3); b = (-3, 2,1); c = (4, - 7, 4); d = (-10, -13, 8);

 

9

5

3

 

D =

-3

2

1

= 9 × 2 × 4 - 9 ×1× (-7) - 5 × (-3) × 4 + 5 ×1× 4 + 3 × (-3) ×(-7) - 3× 2 × 4 = 254 ¹ 0

 

4

-7

4

 

т.к. D ¹ 0, то векторы a, b, c образуют базис и вектор d линейно выражается через базисные векторы:

d = α × a + β ×b + γ × c

9 ×α - 3 × β + 4 ×γ = -10

 

×α + 2 × β - 7 ×γ

= -13

5

 

×α +1× β + 4 ×γ

= 8

 

 

3

 

 

D(α ) =

 

 

-10

-3

4

 

 

 

 

 

 

 

-13

2

-7

 

= (-10) × 2 × 4 - (-10) × (-7) ×1 - (-3) × (-13) × 4 + (-3) × (-7) ×8 + 4 × (-13) ×1 - 4 × 2 ×8 = -254

 

 

 

 

 

 

8

 

1

4

 

 

α = D(α ) / D = -1

 

 

 

 

 

 

 

D(β ) =

 

9

-10

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

-13

-7

 

= 9 ×(-13) × 4 - 9 × (-7) ×8 - (-10) ×5 × 4 + (-10) × (-7) ×3 + 4 ×5 ×8 - 4 ×(-13) ×3 = 762

 

 

 

 

 

3

8

 

4

 

 

 

 

 

 

β = D(β ) / D = 3

 

 

 

 

 

 

 

D(γ ) =

 

9

-3

-10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2

-13

 

= 9 × 2 ×8 - 9 × (-13) ×1 - (-3) ×5 ×8 + (-3) ×(-13) ×3 + (-10) ×5 ×1 - (-10) × 2 ×3 = 508

 

 

 

3

1

8

 

 

 

 

 

 

γ = D(γ ) / D = 2

d = -1× a + 3 ×b + 2 ×c