idz4.1_all / idz4.1_v21 / polnoe_reshenie_ryabushko_a_p_variant_21
.pdf1.1,1.21 |
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i = 1, j = 2 |
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-2 |
-4 |
3 |
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M |
1,2 |
= |
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3 |
-1 |
2 |
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= (-2) × (-1) × (-1) - (-2) × 2 × (-2) - (-4) ×3× (-1) + (-4) × 2 × 4 + 3×3× (-2) - 3×(-1) × 4 = -60; A |
= (-1)1+ 2 × M |
1,2 |
= 60 |
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-2 |
-1 |
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1,2 |
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4 |
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1 |
3 |
4 |
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M |
3,2 |
= |
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-2 |
-4 |
3 |
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= 1×(-4) × (-1) -1×3× (-2) - 3× (-2) ×(-1) + 3×3× 4 + 4 ×(-2) × (-2) - 4 × (-4) × 4 = 120; A = (-1)3+ 2 M |
3,2 |
= -120 |
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-2 |
-1 |
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3,2 |
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4 |
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||||||||
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1 |
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2 |
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3 |
4 |
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1 -4 3 |
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-2 -4 3 |
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-2 1 3 |
|
-2 1 -4 |
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-2 1 -4 3 |
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|
|
= 1× |
-4 -1 2 |
- 2 × |
3 -1 2 |
+ 3× |
3 -4 2 |
- 4 × |
3 -4 -1 |
= |
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||||||||||||
|
|
3 |
-4 |
-1 |
2 |
|
|
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|
3 -2 -1 |
|
4 -2 -1 |
|
4 3 -1 |
|
4 3 -2 |
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|||||
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4 |
3 |
|
-2 |
-1 |
|
|
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|
|
|
= 1×(1× (-1) ×(-1) -1× 2 × (-2) - (-4) ×(-4) × (-1) + (-4) × 2 ×3 + 3× (-4) ×(-2) - 3× (-1) ×3) - -2 ×((-2) × (-1) × (-1) - (-2) × 2 × (-2) - (-4) ×3× (-1) + (-4) × 2 × 4 + 3×3× (-2) - 3×(-1) × 4) + 3×((-2) × (-4) ×(-1) - (-2) × 2 ×3 -1×3× (-1) +1× 2 × 4 + 3×3×3 - 3×(-4) × 4) -
-4 ×((-2) × (-4) × (-2) - (-2) × (-1) ×3 -1×3× (-2) +1× (-1) × 4 + (-4) ×3×3 - (-4) × (-4) × 4) = 1×30 - 2 × (-60) + 3×90 - 4 × (-120) = 900
1 |
2 |
3 |
4 |
|
-2 |
-4 |
3 |
|
1 |
3 4 |
|
1 |
3 |
4 |
|
1 |
3 |
4 |
|
|
-2 1 |
-4 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= -2 × |
3 |
-1 2 |
+1× |
3 |
-1 2 |
- (-4) × |
-2 |
-4 |
3 |
+ 3× |
-2 -4 |
3 |
= |
|||||||
3 |
-4 |
-1 |
2 |
|
4 |
|
-2 |
-1 |
|
4 |
-2 -1 |
|
4 |
-2 |
-1 |
|
3 |
-1 |
2 |
|
4 |
3 |
-2 |
-1 |
|
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|||||||||||
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|
|
|
|
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|
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|
|
=-2 ×((-2) ×(-1) ×(-1) - (-2) ×2 ×(-2) - (-4) ×3×(-1) + (-4) × 2 × 4 + 3×3×(-2) - 3× (-1) × 4) +1×(1×(-1) × (-1) -1× 2 × (-2) - 3×3×(-1) + 3× 2 × 4 + 4 ×3×(-2) - 4 × (-1) × 4) - -(-4) ×(1× (-4) ×(-1) -1×3×(-2) - 3× (-2) × (-1) + 3×3× 4 + 4 × (-2) ×(-2) - 4 × (-4) × 4) + 3×(1× (-4) × 2 -1×3× (-1) - 3×(-2) × 2 + 3×3×3 + 4 × (-2) ×(-1) - 4 × (-4) ×3) =
=-2 × (-60) +1×30 - (-4) ×120 + 3×90 = 900
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
1 |
0 |
3 |
4 |
|
1 |
0 |
0 |
4 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
-2 1 |
-4 |
3 |
|
= |
-2 5 |
-4 |
3 |
= |
-2 5 |
2 |
3 |
= |
-2 5 |
2 |
11 |
= |
||||||
3 |
-4 -1 2 |
|
|
3 |
-10 -1 2 |
|
3 |
-10 -10 |
2 |
|
3 |
-10 -10 |
-10 |
|
||||||||
4 |
3 |
-2 |
-1 |
|
4 |
-5 -2 |
-1 |
|
4 |
-5 -14 |
-1 |
|
4 |
-5 -14 |
-17 |
|
||||||
|
5 |
2 |
|
11 |
|
= 1×(5 ×(-10) ×(-17) - 5 × (-10) × (-14) - 2 ×(-10) × (-17) + 2 ×(-10) ×(-5) +11×(-10) × (-14) -11×(-10) ×(-5)) = 900 |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
= 1× |
-10 -10 |
-10 |
|
|||||||||||||||||||
|
-5 -14 |
-17 |
|
|
|
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||||
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2 -1 -4 |
|
0 0 -4 |
|
||||||
|
4 |
-9 |
3 |
|
|
5 |
-6 |
4 |
|
1.1, 2.21 A : |
|
B : |
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||||||
|
2 |
-7 |
-1 |
|
|
7 |
-4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 × 0 + (-1) × 5 + (-4) × 7 2 × 0 + (-1) × (-6) + (-4) × (-4) 2 × (-4) + (-1) × 4 + (-4) ×1 -33 22 -16 |
|
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
4 × 0 + (-9) × 5 + 3 × 7 |
4 × 0 + (-9) × (-6) + 3 × (-4) |
4 × (-4) + (-9) × 4 + 3 ×1 |
|
|
-24 42 |
-49 |
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AB = |
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= |
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||||||||||||||||
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2 × 0 + (-7) × 5 + |
|
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-42 46 |
-37 |
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||||
|
|
|
(-1) × 7 2 × 0 + (-7) × (-6) + (-1) × (-4) 2 × (-4) + (-7) × 4 + (-1) ×1 |
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||||||||||||||||
|
|
|
0 × 2 + 0 × 4 + (-4) × 2 0 × (-1) + 0 × (-9) + (-4) × (-7) 0 × (-4) + 0 × 3 + (-4) × (-1) -8 28 4 |
|
|
|
|
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|
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|
|
|||||||||||||||
|
|
|
5 × 2 + (-6) × 4 + |
4 × 2 5 × (-1) + (-6) × (-9) + 4 × (-7) 5 × (-4) + (-6) × |
3 + |
4 × (-1) |
|
|
-6 21 -42 |
|
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BA = |
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= |
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|
|
|
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|
|
||||||||||||||||
|
|
|
7 × 2 + (-4) × 4 + |
1 × 2 7 × (-1) + (-4) × (-9) + 1× (-7) 7 × (-4) + (-4) × |
3 + |
1× (-1) |
|
|
0 22 -41 |
|
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|
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|
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|||||||||
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|||||||||||||||
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-9 3 |
|
|
- |
|
|
|
4 3 |
|
|
|
|
4 -9 |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
|
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-7 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 -1 |
|
|
|
2 -7 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
27 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( Aij ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 -4 |
|
2 -4 |
|
|
|
|
|
|
2 -1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
−1 |
= A |
−1 |
= |
1 |
T |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
- |
|
= |
1 |
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|
|
||||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-7 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-7 |
|
|
|
|
10 |
6 |
||||||||||||||||
|
|
det A |
|
|
× (-1) - 2 × 3 × (-7) - (-1) × 4 |
× (-1) + (-1) × 3 |
× 2 + (-4) × 4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
90 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 × (-9) |
× (-7) - (-4) × (-9) × 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
12 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 -4 |
|
|
- |
|
|
2 -4 |
|
|
|
|
2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-9 |
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
4 |
-9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-1 |
|
-4 |
30 |
|
|
27 |
-39 |
|
|
|
2 × 30 + (-1) ×10 + (-4) × (-10) |
2 × 27 + (-1) × 6 + (-4) ×12 |
2 × (-39) + (-1) × (-22) + (-4) × (-14) |
|
|
|
|||||||||
AA |
−1 |
= |
|
1 |
|
4 |
-9 |
|
3 |
|
× |
|
10 |
|
|
6 |
-22 |
|
= |
1 |
|
4 × 30 + (-9) ×10 + 3 × (-10) |
4 × 27 + (-9) × 6 + 3 ×12 |
4 × (-39) + (-9) × (-22) + 3 × (-14) |
|
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
-7 |
|
|
|
|
|
|
-10 |
|
12 |
-14 |
|
|
|
2 × 30 + (-7) ×10 + (-1) × (-10) |
2 × 27 + (-7) × 6 + (-1) ×12 |
2 × (-39) + (-7) × (-22) + (-1) × (-14) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
90 |
|
0 |
0 |
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
1 |
|
|
0 |
|
90 |
0 |
|
= |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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0 |
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0 |
90 |
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0 |
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0 |
1 |
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|||||||||
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30 |
27 |
|
-39 |
2 |
-1 |
-4 |
|
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30 × 2 + 27 × 4 + (-39) × 2 |
30 × (-1) + 27 × (-9) + (-39) × (-7) |
30 × (-4) + 27 × 3 + (-39) × (-1) |
|
|
||||||||||||
A−1 A = |
1 |
|
10 |
|
6 |
|
|
-22 |
|
× |
4 |
-9 |
3 |
|
= |
1 |
|
10 × 2 + 6 × 4 + (-22) × 2 |
10 × (-1) + 6 × (-9) + (-22) × (-7) |
10 × (-4) + 6 × 3 + (-22) × (-1) |
|
= |
||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
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90 |
|
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90 |
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||||||
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-10 12 |
|
-14 |
|
|
2 |
-7 |
-1 |
|
|
|
(-10) × 2 + 12 × 4 + (-14) × 2 (-10) × (-1) + 12 × (-9) + (-14) × (-7) |
(-10) × (-4) + 12 × 3 + (-14) × (-1) |
|
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||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||
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90 |
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0 |
0 |
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1 |
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0 |
0 |
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||||||||
= |
1 |
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0 |
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90 |
0 |
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= |
|
0 |
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1 |
0 |
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90 |
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|||||||||||||||||
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||||||
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0 |
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0 |
90 |
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0 |
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0 |
1 |
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-39 -22
-14
1.2,1.21 |
|
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|
|
|
|
|
|
|||
3 -1 1 |
|
9 |
3 -1 1 |
|
9 |
3 -1 1 |
|
9 |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
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-8 |
-1 |
|
|
|
|
|
-8 |
-1 |
|
|
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5 |
1 |
2 |
|
11 |
|
~ |
0 |
|
12 |
|
~ |
0 |
|
12 |
|
||||
|
1 |
2 |
4 |
|
19 |
|
|
0 |
-7 |
-11 |
|
-48 |
|
|
0 |
0 |
-81 |
|
-468 |
|
|
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|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы, поэтому система совместна и имеет единственное решение
1. формулы Крамера |
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|||||||||||||||||||||||||||
D = |
|
3 |
|
|
-1 |
|
1 |
|
= 3 ×1× 4 - 3× 2 × 2 - (-1) ×5 × 4 + (-1) × 2 ×1 +1×5 × 2 -1×1×1 = 27 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
5 1 2 |
|
|
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1 |
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2 |
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|
|
4 |
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|
|||||||
D1 = |
|
9 |
|
-1 1 |
|
= 9 ×1× 4 - 9 × 2 × 2 - (-1) ×11× 4 + (-1) × 2 ×19 +1×11× 2 -1×1×19 = 9 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11 1 2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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19 |
2 |
4 |
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|
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|
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|||||||||||||
x1 |
= |
|
|
D1 |
|
= |
9 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||
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|
D |
|
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|||||||||||||||||
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27 |
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|
||||||||||
D2 = |
|
|
3 |
|
9 |
|
1 |
|
= 3 ×11× 4 - 3 × 2 ×19 - 9 ×5 × 4 + 9 × 2 ×1 +1×5 ×19 -1×11×1 = -60 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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5 11 2 |
|
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|
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|
|
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1 |
|
19 |
|
4 |
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|||||||
x2 = |
|
D2 |
= -60 = -2 |
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|
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|
D |
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|
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|
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||||||||||||||||||||
|
|
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27 |
|
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|||||||
D3 |
|
|
|
= |
|
3 |
|
-1 |
9 |
|
|
= 3 ×1×19 - 3 ×11× 2 - (-1) ×5 ×19 + (-1) ×11×1+ 9 ×5 × 2 - 9 ×1×1 = 156 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
1 |
|
11 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
19 |
|
|
|
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|||||||||||
x3 |
= |
|
|
D3 |
= |
156 |
= 5 |
|
|
|
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|
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|
D |
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|
|
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|||||||||||||||
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27 |
|
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|||||||
2. матричный метод |
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|
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|
1 |
2 |
|
|
|
- |
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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2 |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
-1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 -1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
1 |
|
|
|
T |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
X = |
|
A |
|
|
× B = A |
|
|
|
= |
|
|
( Aij ) |
× B = |
|
|
|
- |
|
2 |
4 |
|
1 |
|
4 |
|
|
|
- |
1 |
|
2 |
|
|
× 11 |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
det A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
-1 |
|
|
|
19 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
- |
|
|
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|
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|||||||||||||||||
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|
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|
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1 |
2 |
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
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|
|
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|||
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|
|
|
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|
|
0 |
|
|
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6 -3 |
9 |
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|
0 ×9 + 6 ×11 + (-3) ×19 |
|
|
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|
9 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
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1 |
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1 |
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|
|||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
-18 |
|
|
11 |
|
|
|
-1 × |
11 |
= |
|
|
|
|
(-18) |
×9 |
+11×11 + (-1) ×19 |
= |
|
|
|
|
-60 |
|
= |
-2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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27 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
27 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
-7 |
|
|
|
8 |
|
27 |
|
|
|
9 ×9 + |
(-7) ×11+ 8 ×19 |
|
|
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156 |
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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19 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. метод Гаусса |
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||||||||||||||||||||||||||
3 -1 1 |
|
9 3 -1 1 |
|
|
9 3 -1 1 |
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|
9 |
|
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x1 = 0 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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-8 |
-1 |
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-8 |
-1 |
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= -2 |
|
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||||||||||||||||||||||
|
5 1 2 |
|
11 |
|
~ |
0 |
12 |
|
~ |
|
0 |
|
12 |
|
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
4 |
|
19 |
|
|
0 |
-7 |
-11 |
|
|
-48 |
|
|
|
0 |
0 |
|
-81 |
|
-468 |
|
|
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= 5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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x3 |
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|
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1.2, 2.21 |
|
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||
1 |
−2 |
−3 |
|
3 |
1 |
−2 |
−3 |
|
3 |
1 |
−2 |
−3 |
|
3 |
|||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
3 |
−5 |
|
0 |
|
|
0 |
−5 |
2 |
|
3 |
|
|
0 |
−5 |
2 |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
3 |
|||||||||||
|
2 1 |
−8 |
|
4 |
|
|
0 |
−5 |
2 |
|
2 |
|
|
0 0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
т.к. ранг расширенной матрицы не равен рангу матрицы, то по теореме Кронекера − Капелли следует несовместностьисходной системы
1.2, 3.21 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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||
1 −3 |
−4 |
|
0 |
1 −3 −4 |
|
0 |
1 −3 |
−4 |
|
0 |
x = 0 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
−8 |
−2 |
|
|
|
|
|
−7 |
−18 |
|
|
|
|
|
−7 |
−18 |
|
|
|
3 |
|
5 |
|
0 |
|
~ |
0 |
|
0 |
|
~ |
0 |
|
0 |
|
x2 = 0 |
||||||
|
2 |
1 −1 |
|
0 |
|
0 |
−7 |
−7 |
|
0 |
|
|
0 |
0 11 |
|
0 |
|
x = 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2, 4.21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 5 |
1 |
|
0 |
1 |
5 |
1 |
|
0 |
1 |
5 |
1 |
|
0 |
x2 = -9 × x3 / 13 |
||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
-3 |
-7 |
|
0 |
|
0 |
13 |
9 |
|
0 |
|
0 |
13 9 |
|
0 |
|
|||
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
= 32 × x3 / 13 |
||||||||||||
|
3 |
2 |
-6 |
|
0 |
|
0 |
13 |
9 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
2.1 1.21
a= -5m - 6n
b= 2m + 7n
1) - 2a =10m + 12n |
|
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||||||||||||||||||
5b =10m + 35n |
|
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||||||||||||||||||
-2a + 5b = 20m + 47n |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = -5m - 6n |
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||||||||||||||||||
3b = 6m + 21n |
|
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|
|
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|
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|
|
||||||||||||||||||
a + 3b = m + 15n |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(-2a + 5b) × (a + 3b) = (20m + 47n) × (m + 15n) = 20m2 |
+ 300 |
|
|
m |
|
× |
|
n |
|
|
cosϕ + 47 |
|
n |
|
× |
|
m |
|
|
cosϕ + 705n2 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 20 × 4 + 300 × 2 × 7 × (-1) + 47 × 7 × 2 × (-1) + 705 × 49 = 29767 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) (a + 3b) × b = (m + 15n) × (2m + 7n) = 2m2 + 7 |
|
m |
|
× |
|
n |
|
cosϕ + 30 |
|
n |
|
× |
|
m |
|
cosϕ + 105n2 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2 × 4 + 7 × 2 × 7 × (-1) + 30 × 7 × 2 × (-1) + 105 × 49 = 4635 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
(2m + 7n)2 = |
4m2 + 28 |
|
|
× |
|
|
|
cos ϕ + 49n2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= 45 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
m |
n |
4 × 4 + 28 × 2 × 7 × (-1) + 49 × 49 |
2025 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прb (a + 3b) = |
(a + |
|
3 |
b) × b |
= |
4635 |
=103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||
3) cos(a, 3b) = |
|
|
a |
|
× |
|
3b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
a |
|
× |
|
3b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||
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|||||||||||||||
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|
||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
(-5m - 6n)2 = |
25m2 + 60 |
|
|
× |
|
|
|
|
cosϕ + 36n2 |
= |
|
|
|
= |
|
|
= 32 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
m |
|
|
n |
|
25 × 4 + 60 × 2 × 7 × (-1) + 36 × 49 |
1024 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
(6m + 21n)2 = |
|
36m2 + 252 |
|
|
× |
|
cosϕ + 441n2 |
= |
|
= |
|
=135 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3b |
|
|
|
m |
|
n |
36 × 4 + 252 × 2 × 7 × (-1) + 441× 49 |
18225 |
a × 3b = (-5m - 6n) × |
(6m + 21n) = -30m2 -105 |
|
m |
|
× |
|
n |
|
cos ϕ - 36 |
|
n |
|
× |
|
m |
|
cosϕ -126n2 = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= -30 × 4 -105 × 2 |
× 7 |
× (-1) - 36 × 7 × 2 × (-1) -126 × 49 = (-4320) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
cos(a, 3b) = |
(-4320) |
= -1 |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
135 × |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.1 2.21
A (3, 4, 6), B (-4, 6, 4), C (5, - 2, - 3)
1)BC = (9, - 8, - 7), - 7 × BC = (-63, 56, 49)
CA = (-2, 6, 9), 4 × CA = (-8, 24, 36) a = -7BC + 4CA = (-71, 80, 85)
-7BC + 4CA = (-71)2 + 802 + 852 = 18666 2)b = BA = (7, - 2, 2)
a × b = (-71) × 7 + 80 × (-2) + 85 × 2 = -487 3)c = CA = (-2, 6, 9)
d = BC = (9, - 8, - 7)
прd c = |
c |
× d |
= |
(-2) |
× 9 + 6 × (-8) + 9 × (-7) |
= |
-129 |
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d |
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|
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92 + (-8)2 + (-7)2 |
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194 |
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xB + |
5 |
xA |
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-4 + 5 / 3 × 3 |
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|
3 |
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4)xM = |
3 |
= |
= |
|
|
|
|
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|
1 + 5 / 3 |
|
1 + 5 / 3 |
|
|
8 |
|
|
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|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
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|
yB |
+ |
|
5 |
yA |
|
|
|
6 + 5 / 3 × 4 |
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|
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||||||||||||
|
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|
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38 |
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|
19 |
|
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||||||||||||||||||||||||
yM |
= |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
= |
= |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
5 / 3 |
|
|
|
|
1 + 5 / 3 |
|
|
|
8 |
|
|
4 |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
zB |
|
+ |
5 |
zA |
|
|
4 + 5 / 3 × 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
zM |
= |
|
|
3 |
= |
|
= |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ 5 / 3 |
|
|
|
|
1 + 5 / 3 |
|
8 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (3 / 8,19 / 4, 21 / 4)
2.1, 3.21
a = (9, 5, 3); b = (-3, 2,1); c = (4, - 7, 4); d = (-10, -13, 8);
|
9 |
5 |
3 |
|
D = |
-3 |
2 |
1 |
= 9 × 2 × 4 - 9 ×1× (-7) - 5 × (-3) × 4 + 5 ×1× 4 + 3 × (-3) ×(-7) - 3× 2 × 4 = 254 ¹ 0 |
|
4 |
-7 |
4 |
|
т.к. D ¹ 0, то векторы a, b, c образуют базис и вектор d линейно выражается через базисные векторы: |
||||||||||||||||
d = α × a + β ×b + γ × c |
||||||||||||||||
9 ×α - 3 × β + 4 ×γ = -10 |
||||||||||||||||
|
×α + 2 × β - 7 ×γ |
= -13 |
||||||||||||||
5 |
||||||||||||||||
|
×α +1× β + 4 ×γ |
= 8 |
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||
D(α ) = |
|
|
-10 |
-3 |
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
-13 |
2 |
-7 |
|
= (-10) × 2 × 4 - (-10) × (-7) ×1 - (-3) × (-13) × 4 + (-3) × (-7) ×8 + 4 × (-13) ×1 - 4 × 2 ×8 = -254 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
1 |
4 |
|
|
|||||
α = D(α ) / D = -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D(β ) = |
|
9 |
-10 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
5 |
-13 |
-7 |
|
= 9 ×(-13) × 4 - 9 × (-7) ×8 - (-10) ×5 × 4 + (-10) × (-7) ×3 + 4 ×5 ×8 - 4 ×(-13) ×3 = 762 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
8 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
β = D(β ) / D = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D(γ ) = |
|
9 |
-3 |
-10 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
2 |
-13 |
|
= 9 × 2 ×8 - 9 × (-13) ×1 - (-3) ×5 ×8 + (-3) ×(-13) ×3 + (-10) ×5 ×1 - (-10) × 2 ×3 = 508 |
|||||||||||
|
|
|
3 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
γ = D(γ ) / D = 2
d = -1× a + 3 ×b + 2 ×c