TV_2013_biznes-informatika

б) Вероятность того, что обрыв произойдет хотя бы на двух веретенах,

можно вычислить как сумму вероятностей большого числа несовместных событий:

P	m 2 P	P	... P	.
1000	2,1000	3,1000	1000,1000

Однако, очевидно, что такого типа вероятности проще вычислять через вероятность противоположного события, состоящего в том, что обрыва нити либо не будет ( m 0), либо обрыв произойдет только на одном веретене ( m 1).

Используя формулу для вероятностей противоположных событий и теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим:

P	m 2 1 P	m 2 1	P	m 0	P	m 1
1000	1000		1000		1000
		1	0,0183 0,0733 0,9084.

Замечание. Последнюю вероятность нельзя вычислить по интегральной теореме Муавра-Лапласа, так как не выполнено одно из условий ее применимости, а именно npq 1000 0,004 0,996 3,984 20.□

Пример 3.8. В экзаменационном билете три задачи. Вероятность того,

что студент правильно решит первую задачу, равна 0,9, вторую – 0,8,

третью – 0,7.

1.Составить закон распределения случайной величины – числа правильно решенных задач в билете. Построить полигон распределения.

2.Найти функцию распределения и построить ее график.

3.Найти вероятность того, что случайная величина примет значение:

а) в промежутке [1; 3) ;

б) не менее чем 0,5;

в) в промежутке 1,5; 3 .

4.Определить числовые характеристики случайной величины:

математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

20

Решение. 1. Рассмотрим случайную величину – число правильно

решенных задач в билете. Очевидно, что такая случайная величина может принимать следующие возможные значения: 0, 1, 2, 3.

Для составления закона распределения вычислим соответствующие возможным значениям вероятности. Для этого введем следующие события.

Пусть	Ak – событие, состоящее в том, что				студент правильно решит k-ую
задачу	k 1,2,3 . Все		эти	три события являются независимыми в
совокупности,		вероятности		которых по	условию равны P A1 0,9 ,
P A2 0,8 и		P A3 0,7 .	Соответственно,		вероятности противоположных

событий будут равны:

P A1 1 P A1 1 0,9 0,1 ,

P A2 1 P A2 1 0,8 0,2 ,

P A3 1 P A3 1 0,7 0,3 .

Представим вероятности событий, состоящих в том, что случайная величина принимает свои возможные значения, через введенные события

следующим образом:

Событие 0 означает, что студент все три задачи решил

неправильно. Такое событие равносильно совместному наступлению трех

3 , т.е. 0

событий A1 , A2

и

A

A1 A2 A3 . Учитывая независимость событий,

получим:

P 0 P

A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 0,1 0,2 0,3 0,006 .

Событие

1 соответствует тому, что студент правильно решил

только одну (неважно какую) из трех предложенных задач. Это означает, что он правильно решил либо только первую задачу, либо только вторую, либо только третью, т.е. это событие можно представить в виде суммы трех несовместных событий:

1 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 .

21

На основании теоремы сложения несовместных событий и теоремы

умножения независимых событий, найдем вероятность этого события:

P 1 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3

P A1 P A2 P A3 P A1 P A2 P A3 P A1 P A2 P A3

0,9 0,2 0,3 0,1 0,8 0,3 0,1 0,2 0,7 0,092.

Аналогично вычисляем вероятность события 2 :

P 2 P A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3

P A1 P A2 P A3 P A1 P A2 P A3 P A1 P A2 P A3

0,9 0,8 0,3 0,9 0,2 0,7 0,1 0,8 0,7 0,398 .

И, наконец, вероятность события 3 будет равна:

P 3 P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 0,9 0,8 0,7 0,504 .

Итак, запишем закон распределения в виде таблицы:

:
	xi	0	1	2	3
	pi	0,006	0,092	0,398	0,504

Проверим выполнение основного свойства закона распределения:

0,006 0,092 0,398 0,504 1 .

Для построения полигона распределения вероятностей дискретной

случайной величины, соответствующего полученному закону распределения,

в прямоугольной системе координат Oxp отмечаем			четыре точки с
координатами xi , pi	(рис. 3.2).
2. Построим функцию распределения. Из вида закона распределения
дискретной случайной	величины	вытекает, что ее	четыре возможных
значения разбивают числовую ось на		пять промежутков (Рис. 3.3). Найдем
функцию распределения на каждом из них.

•Для любого х, принадлежащему промежутку ( , 0] , по

определению функции распределения следует, что

F x P x 0,

22

x 0

ибо событие является невозможным, так как строго левее

произвольного числа х (даже для самого большого из рассматриваемого промежутка, равного нулю) нет ни одного возможного значения случайной величины .

р

0,504

0,398

0,092
0,006
0	1	2			3		х
	Рис. 3.2.
• Далее берем следующий промежуток.				Если	0 x 1,		то для таких
значений аргумента х	неравенству	x		удовлетворяет			только	одно
возможное значение 0 . Следовательно,			событие x			состоит в том,
что случайная величина	принимает	значение,			равное	нулю и,		таким
образом, справедливо соотношение

F x P x P 0 0,006 .

	0		1		2	3		х
						Рис. 3.3.
• Если	1 x 2 ,	то левее			произвольного		числа х из данного
промежутка	на числовой оси окажутся уже два						возможных			значений
случайной величины ,		равные 0			и 1. Поэтому событие x					наступает,
если произойдет любое из событий:						0 или 1 . Так как эти события
						23

несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий получим

F x P x P 0 P 1 0,006 0,092 0,098.

• При 2 x 3 неравенству x удовлетворяют уже три возможных значения случайной величины , равные 0, 1 и 2, поэтому:

F x P x P 0 P 1 P 2 0,006 0,092 0,398 0,496

• На последнем промежутке x 3 все возможные значения случайной величины , будут меньше любого х, и, таким образом, событие x

будет достоверным событием . На основании этого, можно записать:

F x P x P 1.

Итак, резюмируя все вышесказанное, функцию распределения запишем в следующем виде:

0	при	x 0,
	при	0 x 1,
0,006
	при	1 x 2,
F x 0,098
0,496	при	2 x 3,
		x 3.
1	при

Функция распределения, соответствующая условиям рассмотренного примера, представляет собой кусочно-непрерывную функцию, а ее график имеет ступенчатый вид (рис. 3.4). Из вида функции распределения и ее графика видно, что функция распределения дискретной случайной величины в промежутках между ее возможными значениями не изменяется. В точках,

отвечающих возможным значениям, данная функция имеет разрывы первого рода, совершая скачки, которые равны вероятностям соответствующих возможных значений.

3. а) Вероятность события 1 3 найдем на основании свойства функции распределения, заключающегося в том, что:

P a b F b F a .

24

F(x)

1

0,496

0,098
0,006
	0		1	2	3	х
				Рис. 3.4.
Следовательно,			P 1 3 F 3 F 1 0,496 0,006 0,49 .
Действительно,			двойному неравенству 1 3 удовлетворяют только
два возможных		значения		случайной	величины: 1 и 2.		Следовательно,
событие 1 3		равносильно тому, что случайная величина принимает
возможные	значения либо 1, либо 2,				сумма вероятностей которых равна
0,49.
б) Так	как	x и		x	– противоположные		события, то их
вероятности связаны соотношением:
				P x 1 P x .
Далее,	используя			определение		функции	распределения

F x P x , получим:

P 0,5 1 P 0,5 1 F 0,5 1 0,006 0,994 .

в) Обратим внимание на то, что для дискретной случайной величины

непосредственно применить формулу, используемую в пункте а),						к
промежутку	1,5 3	нельзя,	ибо правая	граница входит	в данный
промежуток.	Поэтому,	событие	1,5 3	представим как	сумму	двух

25

несовместных событий 1,5 3 и 3 . Тогда по теореме сложения

вероятностей несовместных событий и указанного выше свойства функции распределения, получим:

P 1,5 3 P 1,5 3 P 3 F 3 F 1,5 P 3

0,496 0,098 0,504 0,902.

4.Найдем числовые характеристики случайной величины:

математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, получим:

n

M xi pi 0 0,006 1 0,092 2 0,398 3 0,504 2,4 .

i 1

Для вычисления дисперсии воспользуемся свойством дисперсии:

D M 2 M 2 .

Таким образом, необходимо найти математическое ожидание квадрата случайной величины M 2 , которое определяем по формуле:

	n
M 2	xi2 pi 02 0,006 12	0,092 22 0,398 32 0,504 6,22 .
	i 1
Тогда	D M 2 M 2 6,22 2,42 0,46 .
Среднее квадратическое		отклонение представляет собой корень
квадратный из дисперсии, т.е.:

D 0,46 0,678 . □

Пример 3.9. При каком значении параметра функция

0

F x x2

1

при x 0, при 0 x 4, при x 4.

будет функцией распределения непрерывной случайной величины.

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

26

Решение. Значение параметра

можно найти несколькими

способами.

Первый способ. Воспользуемся свойством непрерывности функции

F x . В частности, функция непрерывна в точке x 4. Поэтому, предел функции при х стремящимся к 4 слева должен быть равен пределу функции при х стремящимся к 4 справа, то есть

	lim F x lim x2 42 16 ,		lim F x	lim 1 1.
	x 4 0	x 4 0	x 4 0			x 4 0
	Из равенства пределов вытекает, что 16 1. Откуда				1	.
				16

Второй способ. Определим параметр распределения , используя функцию плотности. Функция плотности распределения представляет собой первую производную от функции распределения:

0 при x 0,

x F x 2 x при 0 x 4,0 при x 4.

Вычислим параметр из условия нормировки функции плотности – несобственный интеграл от функции плотности на всей числовой оси должен быть равен единице. Так как рассматриваемая функция плотности отлична от нуля только на конечном промежутке, то несобственный интеграл от нее преобразуется к определенному интегралу на конечном промежутке 0; 4 .

Следовательно,

4

2 xdx 1.

0

Вычисляя последний интеграл, имеем:

2 x2 4 42 02 16 1. 2 0

Разрешая последнее соотношение относительно параметра ,

получим:

27

161 .

Определим числовые характеристики данной случайной величины.

Случайная величина распределена на конечном промежутке (имеет функцию плотности, отличную от нуля на конечном промежутке), то согласно определению математического ожидания непрерывной случайной величины, получим:

b	3	2		2 x3					3	2			33 03 2 .
M x x dx	x		xdx
		9		9 3							9 3
a	0								0
Для вычисления		дисперсии,								сначала									найдем				математическое
ожидание квадрата случайной величины:
b				3				2					2 x			4			3		1	34	04	9
M 2 x2		x dx x2								xdx															.
								9					9 4							18				2
a				0															0

Тогда по свойству дисперсии, получим:

D M 2 M 2

9

22

1

0,5.

2

2

Среднее квадратическое отклонение равно:

D

0,5 0,707 .□

Пример 3.10. Коробки с конфетами

упаковываются автоматически.

Их средний вес равен 300 г. Известно, что

вес

коробок с конфетами имеет

нормальное распределение. При этом

5% коробок имеют вес,

меньший 290

г. Записать функцию плотности распределения.

Каков процент

коробок, вес

которых более 305 г?

Решение. Пусть случайная величина

–

вес коробки конфет. По

условию задачи случайная величина

имеет нормальное распределение.

Найдем

параметры

этого

распределения.

Математическое ожидание

случайной величины –

это

средний

вес коробки, т.е. M 300 . Второй

параметр распределения – среднее квадратическое

отклонение

случайной

величины

– найдем из условия, что

5% коробок с конфетами имеют вес,

28

меньший 290 г. Последнее означает, что вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее 290, будет равна 0,05, т.е.

P 290 0,05 .

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее функцию распределения можно представить через функцию Лапласа [1,

стр. 105]:

							F x					1			1		x a
																	Ф					.
												2			2
Далее,	используя			определения										функции						распределения случайной
величины и свойства нечетности функции																				Лапласа							Ф x Ф x ,
вероятность P 290 можно записать в виде:
P 290 F 290					1			1		290 300										1			1		10
									Ф															Ф			0,05 .
					2			2												2			2
Разрешая			последнее		соотношение												относительно								функции Лапласа,
	10
получим: Ф			0,9 .	Используя таблицу значений функции Лапласа [1,
Приложение II,			стр. 200],		найдем							аргумент функции Лапласа:																10	1,96 .

Откуда, 110,96 5,1 .

Таким образом, функция плотности распределения данной случайной величины имеет следующий вид:

x	1				x 300 2		1					x 300 2
					2
				e 2 5,1						e		52,02 .
	5,1	2					5,1 2

Зная параметры распределения, можно найти вероятность того, что вес коробки конфет будет составлять более 305 г.:

P 305 1 P 305 1 F 305 1						1		1		305 300
									Ф
						2		2		5,1
	1		1	Ф 0,98 0,5 0,5 0,6729 0,16355.
	2		2

29