Вопросы и задачи по дисциплине МОР_2011-2012

s0 = 4

	6	3	9	5
	5	6	7	15
					.
		10	8	15
13
	4	7	5	11

31. Планируется работа двух предприятий на 4 года. Начальные ресурсы равны s0 =10000. Средства x , вложенные в 1-е предприятие в начале

года, дают в конце года прибыль f1 (x)= 0,3x , и возвращаются в размере ϕ1 (x)= 0,1x . Средства y , вложенные в 2-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль f2 (y)= 0,2y и возвращаются в размере ϕ2 (y)= 0,3y .

В конце года возвращенные средства заново перераспределяются между отраслями. Определить оптимальный план распределения средств и найти максимальную прибыль.

32. Планируется работа трех предприятий на 1 год. Начальные средства равны тыс. у.е., а вложения кратны 1 тыс. у.е. При этом x тыс.

у.е., вложенные в k -е предприятие в начале года, дают в конце года при-

	x	f1 (x)	f2 (x)	f3 (x)
быль fk (x), где функции fk (x) заданы таблицей	1	2	3	1
					.
	2	7	6	6
	3	13	12	14
	4	17	19	18

Определить оптимальный план распределения средств и найти максимальную прибыль.

	2		1
33. Даны производственная функция Кобба-Дугласа	Q(K, L)= 5K		L3
		3

и цены на ресурсы pK =1, pL = 4. С помощью теоремы Куна-Таккера най-

дите объемы ресурсов K и L , при которых затраты на производство не менее 960 единиц продукции минимальны.

34. Фирма, производящая продукцию на двух заводах, решила выпускать в месяц не менее 180 ед. продукции при наименьших суммарных затратах. Сколько продукции ежемесячно целесообразно выпускать на каждом заводе, если затраты на выпуск x единиц продукции в месяц на пер-

вом заводе равны C1(x) = x +		1	x2 , а на втором заводе	C2	(x) = x +	1	x2 ?
	20				40
	5				1
35.	Для функции полезности U (x1, x2 ) = (x1 −10)7			(x2	−15)3 и при бюджете
I =1853	найдите оптимальное потребление, если известны цены на бла-

га: p1 =13, p2 =10 .

11

Образцы экзаменационных билетов Билет № 1

1. Пусть функция спроса имеет вид D(p)=12 −3p , а функция предложения равна S (p)= 4 + p . Найти эластичность спроса в точке рыночного равновесия. Эластичен ли спрос в этой точке?

2. Для функции полезности U (x, y)=5x13 y23 выяснить, являются ли наборы товаров а) (4,9), б) (5,28), самыми полезными из всех наборов, имеющих равную с ними

стоимость, если p1 = 27 ; p2 = 24 .
		B1	B2	B3	B4
	A1	6	8	15	4	70
3. Для заданной транспортной задачи	A2	9	15	2	3	150	(открытая
	A3	6	12	7	1	90
		30	80	60	110

модель) найти оптимальный план и стоимость перевозок.
4. Решить задачу целочисленного	программирования с целевой функцией
	y − x −5 ≤ 0,
z = 2x +5y +12 → max и ограничениями:	y + x −10 ≤ 0,		а) графическим способом; б)
	x Z, y	Z,
	x ≥ 0, y ≥ 0.

методом Гомори; в) дать геометрическую интерпретацию введения дополнительного

ограничения.
5. Планируется работа трех предприятий на 1 год.							Начальные средства равны
s0 = 4 тыс. у.е., а вложения кратны 1 тыс. у.е. При этом x							тыс. у.е., вложенные в k -е
предприятие в начале года,				дают в конце года прибыль fk (x), где функции fk (x) за-
	x	f1 (x)		f2 (x)	f3 (x)
	1	7		6	5
даны таблицей
	2	12		10	11	. Определить оптимальный план распределения
	3	18		19	20
	4	24		22	25

средств и найти максимальную прибыль.

6. Дайте определения доминирования по Парето. Приведите примеры. Эффективное (недоминируемое) решение.

7. Игра с седловой точкой. Решение игры в чистых стратегиях. Найдите решение игры с

	3		3	3
платежной матрицей		2	1	3		в чистых стратегиях.
		3	3	2

	2		1
8.	Даны производственная функция Кобба-Дугласа Q (K, L)=5K		L3	и цены на
		3
ресурсы	pK =1, pL = 4 . С помощью теоремы Куна-Таккера найдите объемы ресурсов

K и L , при которых затраты на производство не менее 960 единиц продукции минимальны.

12

Билет № 2

1.Пусть C (q)= q3 −22q2 +80q +230 − функция полных затрат на производство q единиц товара, R (q)=8q −q2 − функция дохода от продажи. Найти максимум прибыли.

2.Для товаров X1 и X2 известны функции спроса: q1 =54 − p1 , q2 =35 − 12 p2 .

Фирма-монополист имеет функцию издержек C = 2q2	+6 q q +3q2			+4 . Вычислите
1	1	2	2

максимальную прибыль фирмы в этих условиях и найдите соответствующий производственный план.

		B1	B2	B3	B4
	A1	1	3	4	5	90
3. Пусть в транспортной задаче	A2	5	3	1	2	30	перевозки от A1 к B3
	A3	2	1	4	2	40
		70	30	20	40

и от A3 к B4 временно запрещены. Найти оптимальный план и стоимость перевозок.

4. Двойственный симплекс-метод. Псевдорешение. Условия применимости двойственного симплекс-методы.

5. Постановка задачи целочисленного программирования. Примеры задач с экономическим содержанием.

	f1 = 4x1 + x2 → max
	f	2	= x	+3x	2	→ max
			1
6. Найти компромиссное решение задачи	x1		+ x2	≤9,		методом идеаль-
	x		≤ 6,
	1
	x	2	≤ 7,
			≥ 0, x ≥ 0.
	x
	1			2

ной точки.

7. Найти решение игры (оптимальные стратегии игроков, цену игры), заданной

10		4	2
	8	3	−4
платежной матрицей A =				.
	4	3	5
	2	2	−2

8. Планируется работа двух предприятий на 3 года. Начальные ресурсы равны s0 =10000 . Средства x , вложенные в 1-е предприятие в начале года, дают в конце года

прибыль f1 (x)= 0,3x , и возвращаются в размере ϕ1 (x)= 0,1x . Средства y , вложенные в 2-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль f2 (y)= 0,2y и возвращаются в размере ϕ2 (y)= 0,3y . В конце года возвращенные средства заново перераспре-

деляются между отраслями. Определить оптимальный план распределения средств и найти максимальную прибыль.

13

IV. Ответы к задачам и образцам экзаменационных билетов

1.p0 = 2, ED (2)= − 43 . Спрос эластичен.

2.Πmax = Π(120)=1510000 .

3.p0 = 5 , S '(5)/ (−D '(5))= 53 .

4.p0 = 4,5, ∆p = 23 t .

5.q0 = 5, qt = 5 / 2, t = 60 −12qt = 30 , T = 75 .

6.(q1,q2 )= (5,4), Πmax (5,4)= 271.

7.набор (6,7) - оптимален.

8.набор (7,10) - оптимален.

9.набор (27,8) - оптимален.

10.набор (4,9) - оптимален.

				0	10	0	60
11.	X	*		50	0	0	0		,	F (X		*	)= 3030.
			=
				50	0	70
							100
				60	0	60	0							50	0	70	0
12.	X	*		0	70	10	0		или X			*		10	70	0	0		,	F (X	*	)=870 .
			=										=
				40	0	0	20							40	0	0	20
				0	20	40	0
13.	X	*		10	50	20	50			F (X	*	)= 2090 .
			=					,
				20	10	0	60

14.zmax = z (6,8)=105, z ≤8 .

15.fmax = f (3,1,0,3,0)= 6.

16.Отрезок [3 +2t,4 −2t],t [0,1].

17.	X	*	24	,	11			*	*	*	107		,	46
			=		5		, f		= (f1	, f2	)=	5		5	.
			5
18.	X * = (5,2),					f =15,5
19.

20.fmax = f (1,0,1,0,3)= 9.

21.Отрезок [0,4t],t [0,1]

22.

23.

24.Отрезок AB = (1−t)(0,5)+t (3,4)= (3t,5 −t),t [0,1].

25.Ломаная BCO , где B(6,3),C (6,0),O(0,0).

14

26.			ν =α = β = a13 = 3. Для I игрока – 1-я стратегия, а для II – 3-я стра-
тегия.
27.			I игрок																											II игрок
		f	= x1 + x2 + x3 → min																								ϕ = y1 + y2 + y3 → max
	2x			+6x					+5x					≥1,													2y		+5y			2	+	6y ≤		1,
			1					2				3																1						3
	5x1 +2x2 +6x3 ≥1,																										6y1 +2y2 +5y3 ≤1,
																													+6y2 +2y3 ≤1,
	6x1 +5x2 +2x3 ≥1,																										5y1
	x ≥ 0, x								≥ 0, x					≥ 0.													y ≥ 0, y				2		≥	0, y ≥ 0.
			1					2				3																1						3
Если x*					,			y*			- оптимальные решения задач (I) и (II), то цена игры
			min					max
ν =			1	=				1				и оптимальные стратегии игроков p* =ν x*																								,q* =ν y* .
		fmin				ϕmax																													min	max
28.					p	*		=	5			,0,		3	,0			q	*	=		7	,	1		ν =		51	.
										8				8		,					0,	8		8	,			8
29.
				Все критерии рекомендуют принять решение A1 .
30.				Вальд А3,8; Гурвиц А3, 11.5; Сэвидж А2, 8; Байес-Лаплас А3, 11.5, А3,
				0.75.																	z (s		)= 0.2834s
31.				u*				= u* = u* = u* = 0,																					= 2834.
					1				2			3				4					0	0						0
																		1 год				2 год					3 год			4 год
														I						0				0				0				0
32.														II				10000				3000					900			300
				u*				= 0, u* = 4, u*										= 0 ,			z	(s	0	)=19			.
					1							2				3					0
33.				K = 48, L = 48,												Q (48,48)=192.

34.на первом заводе - 60 ед., на втором - 120 ед.

35.x1 =92,5; x2 = 65,05 .

Билет № 1.

1.p0 = 2 , ED (2)= −1. Спрос нейтрален.

2.Набор (4,9) - оптимален.

		0		70	0	0
3. X	*		0	0	60	60		,	F (X	*	)=1210 .
		=
			30	10	0	50

4.zmax = z (3,7)=53.

5. u1* =3, u2* = 0, u3* =1, z0 (s0 )= 27 .

6.

7.

8. K = 264, L =33, Q (264,33)= 264.

15

Билет № 2.

1.Πmax = Π(12)= 202 .

2.Оптимальный план (q1, q2 )=(5, 4), Πmax (5, 4)= 271.

					70					0					0		20
3.	X		*	=		0				0				10			20		, F			(X	*	)=	290 .
						0				30				10			0
4.
5.					62					55						= 303 , f * = 227 .
6.	X * =							,					,		f *
						13			13						1		13				2		13
7.	p	*		=		3	,0,			1	,0				, q	*		0,		1	,	1	,ν =		7	.
						4				4							=			2					2
																						2

8. u1* =u2* =u3* = 0 ,		z0 (s0 )= 0.278s0 = 278.
			1 год	2 год	3 год
	I		0	0	0
	II		10000	3000	900

V. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике. Ч.2. Математический анализ. Финансы и статистика, 2007.

2.Липагина Л.В. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Учебное пособие для подготовки бакалавров. М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, 2009.

3.Ягодовский П.В. Функции нескольких переменных. Учебное пособие для подготовки бакалавров. М.: Финансовая академия при Прави-

тельстве РФ, 2009.

4. Винюков И.А., Попов В.Ю., Пчелинцев С.В. Линейное про-

граммирование. Учебное пособие для подготовки бакалавров. М.: Финан-

совая академия при Правительстве РФ, 2009.

5.Бабайцев В.А. и др. Сборник задач по курсу математики. Под редакцией А.С. Солодовникова и А.В. Браилова. М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, 2001.

6.Гончаренко В.М., Попов В.Ю. Экономические приложения ли-

нейного программирования. Учебное пособие. М.: Финансовая академия

при Правительстве РФ, 2003.

16

7. Гончаренко В.М. Математические модели и методы исследования операций. Руководство к решению задач. М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, 2006.

8. Солодовников А.С. Динамическое программирование. Лекции по курсу «Математические модели и методы исследования операции». М.:

Финансовая академия при Правительстве РФ, 2003.

9.Акулич И.Л. Математическое программирования в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1993.

10.Бабайцев В.А., Гисин В.Б., Рябов П.Е. Математические ме-

тоды финансового анализа. Руководство к решению задач. М.: Финансо-

вая академия при Правительстве РФ, 2003.

11.Колемаев В.А. Математические методы и модели исследования операций. Учебник. М.: ЮНИТИ, 2008.

12.Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Айрис-Пресс, 2002.

13.Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. М.: ЮНИ-

ТИ, 1996.

17