Lin_Alg-BE
.pdf
December 6, 2011 Курбатов В.Г. |
|
|
|
|
|
|
40 |
|
Задача 25. Показать, что векторы a¯ = (1; 2; 3) |
, ¯ |
|
|
|||||
b = (2; ¡1; 0) è c¯ = (3; 1; ¡1) образуют |
||||||||
базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Составим определитель системы и вычислим его: |
||||||||
= ¯2 ¡1 0 |
¯ = 1 + 6 + 9 + 4 = 20: |
|||||||
¯3 |
1 |
1¯ |
|
|
|
|
||
¯ |
1 |
2 |
3 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¡ |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
22 векторы a¯ |
, |
¯b, c¯ образуют базис. |
|
Поскольку = 20 = 0, òî â ¯силу теоремы¯ |
|
|||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4 Скалярное произведение в n-мерном пространстве
По аналогии с теоремой 14 введем в Rn скалярное произведение двух векторов
x¯ = (x1; x2; : : : ; xn) è y¯ = (y1; y2; : : : ; yn) по правилу
hx;¯ y¯i = x1y1 + x2y2 + ¢ ¢ ¢ + xnyn:
Теорема 23. Скалярное произведение обладает свойствами:
hx;¯ y¯i = hy;¯ x¯i;
hx;¯ y¯ + z¯i = hx;¯ y¯i + hx;¯ z¯i; h®x;¯ y¯i = ®hx;¯ y¯i;
hx;¯ x¯i ¸ 0;
hx;¯ x¯i 6= 0; åñëè x¯ 6= 0:
Большинство свойств скалярного произведения является следствием только этих 4 свойств. Более того, имеется много других примеров линейных пространств, на которых определено скалярное произведение, для которого эти 4 свойства выполняются. Например, множество всех непрерывных на [a; b] функций со скалярным произведением hx; yi = Rab x(t)y(t) dt. Всякое линейное пространство, на котором задано скалярное произведение, называют евклидовым пространством, а эти 4 свойства аксиомами скалярного произведения.
Длиной (нормой) вектора x¯ евклидова пространства называют число
p
kxk = hx;¯ x¯i:
В случае пространства Rn это определение приобретает вид
q
kxk = x21 + x22 + ¢ ¢ ¢ + x2n:
Косинусом угла между векторами называют число
cos ! = hx;¯ y¯i : jx¯j ¢ jy¯j
December 6, 2011 Курбатов В.Г. |
41 |
4.5 Ортогональные векторы
Векторы x¯ = (x1; x2; : : : ; xn) è y¯ = (y1; y2; : : : ; yn) называют ортогональными, если
hx;¯ y¯i = 0:
Теорема 24. Любая система, состоящая из ненулевых попарно ортогональных векторов является линейно независимой.
Базис, состоящий из попарно ортогональных векторов называют ортогональным. Если векторы базиса дополнительно нормированы, то базис называют ортонормированным.
Теорема 25. Всякий набор ненулевых попарно ортогональных векторов (в конеч- номерном евклидовом пространстве) можно расширить до ортогонального базиса. В частности, ортогональные базисы существуют.
Теорема 26. Координаты вектора x¯ в ортонормированном базисе e¯1, e¯2, : : : , e¯n ñîâ-
падают с числами
xi = hx;¯ e¯ii:
Глава 5 Линейные операторы
5.1 Понятие линейного оператора
Рассмотрим два линейных пространства X è Y . Оператором, действующим из X â Y , называют любое правило A, которое каждому x¯ 2 X сопоставляет y¯ 2 Y .
Вектор y¯ = Ax¯ называют образом вектора x¯, а вектор x¯ прообразом вектора y¯. Оператор называют линейным, если выполнены два свойства:
A(¯x1 + x¯2) = Ax¯1 + Ax¯2; A(®x¯) = ®Ax:¯
Основной пример. Пусть X = Y = Rn. Возьмем произвольную матрицу:
01
a11 |
a12 |
: : : a1n |
|
|
A = Ba.21 |
a.22 |
:.:..: |
a2.nC |
: |
Ban1 an2 |
: : : |
annC |
|
|
B |
|
|
C |
|
@ |
|
|
A |
|
Очевидно, привило
y¯ = Ax;¯
ãäå y¯ è x¯ записаны в виде столбцов, определяет линейный оператор. Отметим. что
yj = Pni=1 aijxj.
5.2Матрица линейного оператора
Âдальнейшем будем считать, что X = Y . Рассмотрим в X базис e¯1, e¯2, : : : , e¯n. Разложим векторы Ae¯1, Ae¯2, : : : , Ae¯n по базису:
n |
|
Xi |
(5.1) |
Ae¯j = a1je¯1 + a2je¯2 + : : : anje¯n = aije¯i: |
|
=1 |
|
0
a11 a12
BBa21 a22
A = B
@an. 1 an. 2
1
: : : a1n
: : : a2nCC:
... . C
A
: : : ann
December 6, 2011 Курбатов В.Г. |
|
|
43 |
||
Возьмем произвольный вектор x¯ и разложим его по базису: |
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Xj |
|
x¯ = x1e¯1 + x2e¯2 + ¢ ¢ ¢ + xne¯n = |
xje¯j: |
||||
|
|
|
|
=1 |
|
Применим к этому равенству оператор A и воспользуемся соотношением (5.1): |
|||||
|
|
n |
n |
|
|
|
|
Xj |
X |
xjAe¯i |
|
y¯ = Ax¯ = A xje¯j |
= |
|
|||
|
|
=1 |
j=1 |
|
|
n |
|
n |
n n |
|
|
X Xi |
XX |
|
|||
= |
xj |
aije¯i = |
|
aijxje¯i |
|
j=1 |
|
=1 |
j=1 i=1 |
|
|
n |
n |
|
n |
n |
n |
XX |
|
X X |
Xi |
||
= |
|
aijxje¯i = |
e¯i |
aijxj = |
e¯iyj; |
i=1 j=1 |
|
i=1 |
j=1 |
=1 |
|
ãäå yj = Pni=1 aijxj. Замечая, что это правило умножения матрицы A на столбец x¯, приходим к теореме.
Теорема 27. Координаты вектора y¯ = Ax¯ выражаются через координаты вектора
x¯ по формуле |
0y2 |
1 |
= A |
0x2 1 |
: |
|
|
||||||
|
y1 |
|
|
x1 |
|
|
|
B:y: :C |
|
B:x: :C |
|
||
|
B n C |
|
B n C |
|
||
Или сокращенно |
@ |
A |
|
@ A |
|
|
|
|
Y = AX: |
|
|
||
Матрицу A называют матрицей оператора A в данном базисе. Рангом оператора A называют ранг ее матрицы.
Суммой операторов A è B называют оператор, действующий по правилу
¡A + B¢x¯ = Ax¯ + Bx:¯
Произведением операторов A è B называют оператор, действующий по правилу
¡AB¢x¯ = A¡Bx¯¢:
Теорема 28. Сумме и произведению операторов соответствуют сумма и произведение их матриц.
Нулевым называют оператор, который все векторы переводит в ноль. Ему соответствует нулевая матрица.
Тождественным называют оператор, который все векторы переводит в себя. Ему соответствует единичная матрица.
December 6, 2011 Курбатов В.Г. |
44 |
5.3Собственные значения и собственные векторы
Число ¸ |
и ненулевой вектор ¯ |
|
|
|
|
|
b называют, соответственно, собственным значением |
||||
и собственным вектором квадратной матрицы A, åñëè |
|
||||
|
|
|
¯ |
¯ |
(5.2) |
|
|
|
Ab = ¸b: |
||
Равенство (5.2) можно переписать в матричном виде |
¯ |
||||
|
¯ |
¯ |
èëè |
¯ |
|
|
Ab = ¸Eb |
|
(A ¡ ¸E)b = 0; |
||
ãäå ¯ матрица-столбец, составленная из координат вектора ¯ |
|||||
b |
|
|
|
|
b. |
Теорема 29. Собственные значения матрицы A совпадают с корнями характери-
стического уравнения
jA ¡ ¸Ej = 0:
Таким образом, чтобы найти собственные значения ¸, нужно решить уравнение
jA ¡ ¸Ej = 0; |
(5.3) |
|
а чтобы найти собственные векторы, надо решить уравнение |
|
|
¯ |
¯ |
|
(A ¡ ¸E)b = 0: |
|
|
Если определитель раскрыть, то получится многочлен степени n относительно ¸. Такое уравнение имеет не более n решений. Для каждого решения ¸ можно найти
соответствующий ему собственный вектор ¯
b.
Задача 26. |
Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданно- |
|||||||||||
го матрицей |
|
|
A = µ6 |
3¶ |
: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его: |
= |
|||||||||||
|
A ¡ ¸E = |
µ6 3¶ ¡ ¸ µ0 1¶ = |
µ6 3¶ |
¡ µ0 ¸¶ |
||||||||
|
|
3 6 |
|
µ |
|
1 0 |
|
|
3 |
6 |
¸ 0 |
|
|
|
|
|
6 3 ¡ ¸¶ |
|
|
|
|||||
|
¯ |
|
= |
|
3 ¡ ¸ |
6 |
|
; |
|
|
|
|
|
6 |
3 |
¡ |
¸¯ |
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
¯ |
3 ¡ ¸ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
6 |
¯ |
= (3 ¸)2 |
|
62 = 0; |
|
||||
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
(3 ¡ ¸ ¡ 6)(3 ¡ ¸ + 6) = 0; (¡3 ¡ ¸)(9 ¡ ¸) = 0:
Получили два собственных значения ¸1 = ¡3, ¸2 = 9. Теперь для каждого ¸i найдем соответствующий ему собственный вектор.
December 6, 2011 |
Курбатов В.Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|||
1. Äëÿ |
¸1 = ¡3 |
составим уравнение |
|
¯ |
|
¯: |
|
|
|
||||||
|
A ¡ ¸1E = µ6 3¶ |
(A ¡ ¸E)b = 0 |
|
|
: |
||||||||||
|
|
|
¡ (¡3) µ0 1¶ = µ6 6¶ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
1 |
|
0 |
6 |
6 |
|
|
|
Обозначим координаты собственного вектора ¯ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(A ¡ ¸1E)¯b1 = |
µ6 6¶ ¢ |
b1 через (x; y). Äëÿ íèõ |
||||||||||
|
|
|
µy¶ |
= |
µ6x + 6y¶ |
: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
x |
|
|
6x + 6y |
|
|
|
Приравнивая к нулю, получим систему уравнений |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
6x + 6y = 0; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(6x + 6y = 0: |
|
|
|
|
|
|
||||
Прямой ход метода Гаусса |
6 |
6 |
¯ |
0 |
¶ » |
6 |
6 |
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
µ |
¯ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
6 |
6 |
¯ |
0 |
|
¡ |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|||
приводит к одному уравнению |
|
6x + 6y = 0: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|||
Положим y = C (т. е. примем y в качестве свободной неизвестной, см. Ÿ 2.8). Тогда все
решения можно описать формулами x |
= ¡ |
C, y = C. Таким образом, все собственные |
|||
векторы описываются формулой ¯ |
|
|
èëè ¯ |
= C(¡1; 1). |
|
b1 |
= (¡C; C) |
b1 |
|||
Решение однородной системы всегда устроено подобным образом. Поэтому обыч- но ограничиваются нахождением одного собственного вектора, т. е. одного нетриви-
¯
ального решения системы (A ¡ ¸1E)b = 0. Для этого вместо того, чтобы взять y = C
полагают, что y есть некоторое фиксированное ненулевое число. Например, полагают
y = 1 |
. Тогда, повторяя предыдущие выкладки, приходят к ответу: ¯ |
|
= (¡1; 1). |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
||||||
2. Äëÿ ¸2 = 9 имеем |
|
µ6 3¶ ¡ |
|
µ0 1¶ µ |
6 ¡6¶ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
A |
|
¸2E = |
3 6 |
|
|
9 1 0 |
= |
¡6 6 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В результате получаем систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
6x + 6y = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(¡6x |
¡ |
6y = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
система сводится к одному уравнению |
6x ¡ 6y = 0 |
. Положим |
|
|
, тогда и |
|||||||||||||||||
Опять. В итоге ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = C |
|
|
|
|
||||||||
x = C |
b2 = C(1; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, матрица A имеет два собственных значения |
¸1 |
= ¡3 |
è ¸ |
2 |
= 9 |
. |
||||||||||||||||||
Им отвечают собственные векторы ¯ |
|
|
|
|
|
è ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
b1 = (¡1; 1) |
|
b2 = (1; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Теорема 30. Матрица оператора A в базисе, состоящем из собственных векторов |
||||||||||||||||||||||||
¯ ¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1, b2, . . . , bn диагональна: |
0 |
01 |
|
¸2 : : : |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
¸ |
|
0 : : : 0 |
C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
A = B . |
|
|
. ... |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
|
0 : : : |
|
¸nC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
причем по диагонали стоят собственные значения.
Глава 6 Квадратичные формы
6.1 Определение квадратичной формы, ее матрица
Квадратичной формой называют функцию n переменных, имеющую вид
n |
n |
Xi |
X |
L = |
aijxixj: |
=1 j=1
Здесь aij заданные числа, называемые коэффициентами. Можно считать, что aij = aji. Пример:
L(x1; x2; x3) = 2x21 ¡ 5x1x2 + 4x22 ¡ 7x23 + 2x1x3 ¡ 8x2x3:
Матрицу A, состоящую из коэффициентов aij, называют матрицей квадратичной формы.
Задача 27. Дана квадратичная форма
L(x1; x2) = 3x21 ¡ 5x1x2 + 4x22:
Выписать ее матрицу.
Решение. Запишем квадратичную форму в симметричном виде: L(x1; x2) = 3x21 ¡
25 x1x2 ¡ 25 x2x1 + 4x22 |
. Теперь легко написать матрицу: |
|||
|
|
µ¡2 |
4 |
¶ |
|
A = |
35 |
¡25 |
: |
Теорема 31. Всякую квадратичную форму можно представить в матричном виде
L = X0AX;
ãäå |
0x2 |
1 |
|
|
|
||
|
x1 |
C |
|
|
X = B . |
: |
|
|
BxnC |
|
|
|
B |
C |
|
|
@ |
A |
|
И обратно, всякая функция вида L = X0AX является квадратичной формой.
December 6, 2011 Курбатов В.Г.
Доказательство. Имеем
|
|
a11 |
X0AX = ¡x1 |
x2 |
0a21 |
: : : xn¢B . |
||
|
|
Ban1 |
|
|
B |
|
|
@ |
Xn Xn
=aijxixj:
i=1 j=1
47
a22 |
: : : a2n10x21 |
|
|||
a12 |
: : : a1n |
CB |
x1 |
C |
|
. |
... . |
. |
= |
||
an2 |
: : : annCBxnC |
|
|||
|
|
CB |
|
C |
|
|
|
A@ |
|
A |
|
Пусть столбцы переменных
X =
0
x1
BBx2 B @x.n
10 1
y
CBy1C
CY = B 2C
CB C A è @ . A
yn
связаны линейным преобразованием X = CY , ãäå C матрица, состоящая из за-
данных чисел cij. Выполняя в представлении L = X0AX замену X = CY , приходим к представлению
L = X0AX = (CY )0ACY = Y 0C0ACY = Y 0(C0AC)Y:
Видно, что получилась квадратичная форма относительно переменных y1, y2, . . . , yn, имеющая матрицу C0AC. Тем самым доказана
Теорема 32. При линейной замене X = CY матрица квадратичной формы преоб-
разуется по правилу |
|
|
|
|
0), то ранги матриц A è A = C0AC |
|
Если матрица C невырождена (т.eå.=det C = |
||||||
|
A |
C0AC: |
|
|
||
|
|
|
|
6 |
|
e |
совпадают. Ранг этих матриц называют рангом квадратичной формы. |
|
|||||
Пример 26. Мы знаем, что ранг единичной матрицы |
|
|||||
E = |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
00 |
1 |
01 |
|
|||
|
|
@ |
|
A |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
равен 3. Эта матрица порождает квадратичную форму L = x21 + x22 + x23 ранга 3.
6.2 Канонический вид и закон инерции
Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если ее матрица является диагональной. В этом случае
L = a11x21 + a2x22 + ¢ ¢ ¢ + annx2n:
December 6, 2011 Курбатов В.Г. |
48 |
Теорема 33. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного преобразования X = CY приводится к каноническому виду.
Доказательство. Проведем на примере:
L= x21 ¡ 6x1x2 + 8x1x3 + 5x2 ¡ 16x2x3 + 10x23 =
=x2 + 2x1(¡3x2 + 4x3) + 5x2 ¡ 16x2x3 + 10x2 =
¡x1 1 + (¡3x2 + 4x3)¢2¡ 3
¡ (¡3x2 + 4x3)2 + 5x2 ¡ 16x2x3 + 10x23 =
= x1 ¡ 3x2 + 4x3 |
2 ¡ 4x22 + 8x2x3 ¡ 6x32 |
|
= |
¡x1 ¡ 3x2 + 4x3¢2 ¡ 4(x22 ¡ 2x2x3) ¡ 6x32 |
|
= |
¡x1 ¡ 3x2 + 4x3¢2 ¡ 4(x2 ¡ x3)2 + 4x32 ¡ 6x32 |
|
приведет¡квадратичную форму к ¢каноническому виду. |
||
= |
¡x1 ¡ 3x2 + 4x3¢2 ¡ 4(x2 ¡ x3)2 ¡ 2x32: |
|
Видно, что замена y1 = x1 ¡3x2 +4x3, y2 = x2 ¡x3, y4 = x3 (с треугольной матрицей)
Одна и та же квадратичная форма может быть преобразована к различным каноническим видам. Общим во всех этих представлениях является только свойство, описываемое в следующей теореме.
Теорема 34 (закон инерции). Число слагаемых с положительными (отрицательными, нулевыми) коэффициентами не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Следствие 35. Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых слагаемых в любом ее каноническом представлении.
6.3 Знакоопределенные квадратичные формы
Из формулы |
n |
n |
|
||
|
Xi |
X |
|
L = |
aijxixj: |
=1 j=1
видно, что при x1 = x2 = ¢ ¢ ¢ = xn = 0 любая квадратичная форма L равна нулю. Квадратичную форму называют
~ положительно определенной, если
L(x1; x2; : : : ; xn) > 0;
при условии, что вектор (x1; x2; : : : ; xn) отличен от нуля,
December 6, 2011 Курбатов В.Г. |
49 |
~ отрицательно определенной, если
L(x1; x2; : : : ; xn) < 0;
если хотя бы один аргумент x1, x2, . . . , xn отличен от нуля,
~ знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Очевидно, факт знакоопределенности не меняется при замене переменных X = CY . Для канонической формы
L = a11x21 + a2x22 + ¢ ¢ ¢ + annx2n:
положительная (отрицательная) определенность, очевидно, означает, что все коэффициенты aii положительны (отрицательны). А знакопеременность что есть как
положительные, так и отрицательные коэффициенты.
Теорема 36. Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения ее матрицы были положительными (отрицательными).
Теорема 37 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была
положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры |
|||||||||||||||||
1 = a11; |
2 |
= |
a11 |
a12 |
|
; |
3 |
= |
¯a21 a22 a23¯ |
; : : : : |
|||||||
|
|
¯ |
21 |
22¯ |
|
|
|
¯a |
|
a |
|
a |
|
¯ |
|
||
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|||
|
|
a |
a |
|
|
|
|
31 |
|
32 |
|
33¯ |
|
||||
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
ее матрицы были положительны.
Задача 28. Доказать, что квадратичная форма L = 13x21 ¡4x1x2 + 7x22 положительно определена.
Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы:
A = µ13 ¡2¶ ¡2 7
I. Собственные значения этой матрицы равны 5 и 15. Поэтому по теореме 36 |
||||||
квадратичная форма положительно определена. |
||||||
|
¯ |
|
2 |
7 |
¯ |
|
II. a11 = 13 > 0, |
¯¡ |
|
¡2 |
¯ |
= 75 > 0. По теореме 37 квадратичная форма положи- |
|
¯ |
13 |
¯ |
||||
тельно определена. |
|
|
|
|
||
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|