Функциональный(конспекты и вопросы в конце)

1.4. ЗАДАЧИ

11

продолжением системы векторов f, если в системе e сначала идут векторы из системы f, при-

чем в том же порядке в котором они расположены в системе f. Определим частичный порядок 6 на X следующим образом:

f 6 e система e является продолжением ситемы f.

Утверждается, что для множества X выполнены предположения леммы Цорна. Действительно, пусть {ei}i I вполне упорядоченное подмножество множества X. Образуем систему векторов e следующим образом. Как множество, эта система состоит из векторов, входящих

хотя бы в одну систему ei. Упорядочим векторы в системе e следующим образом. Пусть

v, v′ e и, тем самым, v ei è v′ ei′ для некоторых i, i′ I. Так как подмножество {ei}i I вполне упорядочено, то можно считать, что ei′ 6 ei. Последнее означает, что оба вектора v è

v′ входят в систему ei. Будем считать, что в системе e вектор v идет за (перед) вектором v′, если он идет за (перед) ним в системе ei. Нетрудно заметить, что для построенной системы e имеем

ei 6 e для любого i I.

По лемме Цорна, в X существует максимальный элемент emax. Нетрудно заметить, что

этот максимальный элемент и будет базисом Гамеля пространства V .
Пример 1.3.3. Пусть {ei}i N счетное упорядоченное множество символов. Положим
V := {	λiei | λi = 0 для почти всех i}.
	∑

i N

ßñíî, ÷òî V является бесконечномерным векторным пространством и {ei}i N является бази- сом Гамеля в V .

В функциональном анализе изучают бесконечномерные векторные пространства, но при этом не используют базисы Гамеля. Причина этого в том, что в важных для теории и приложений пространствах (например, в банаховых пространствах) дополнительные структуры, которые есть на таких пространствах, "плохо взаимодействуют" с базисами Гамеля.

1.4. Задачи

Задача 1.4.1. Докажите, что для любых множеств A, B è C выполнено

A∆C (A∆B) (B∆C).

Задача 1.4.2. (1) Докажите, что для всякой последовательности {An} подмножеств множества X выполнено

lim infAn lim supAn.

n→∞ n→∞

(2) Приведите пример множества X и последовательности {An} его подмножеств, таких, что

lim infAn ≠ lim supAn.

n→∞ n→∞

Задача 1.4.3. Пусть {An} последовательность подмножеств множества X. Докажите, что если An ↑ A èëè An ↓ A, òî

A = lim supAn = lim infAn

n→∞ n→∞

Задача 1.4.4. Докажите, что если X конечное множество, то |2X | = 2|X|.

Задача 1.4.5. Докажите, что всякое бесконечное подмножество счетного множества счет-

íî.

1.4. ЗАДАЧИ

12

Задача 1.4.6. Докажите, что множество конечных подмножеств счетного множества счетно.

Задача 1.4.7. Докажите, что произведение конечного и счетного множества счетно.

Задача 1.4.8. Докажите, что произведение конечного множества счетных множеств счетно (в частности, Zn счетно).

Задача 1.4.9. Докажите, что Q счетно.

Задача 1.4.10. Докажите, что объединение счетного множества множеств, каждое из которых не более чем счетно, является не более чем счетным множеством.

Задача 1.4.11. Докажите, что множество точек разрыва неубывающей (невозрастающей) функции f : R → R не более чем счетно.

Задача 1.4.12. Докажите, что полуинтервал и отрезок имеют мощность континуум.

Задача 1.4.13. Докажите, что множество

{0, 1}∞ := {(a1, a2, . . .) | ai {0, 1}}

(множество последовательностей из нулей и единиц) имеет мощность континуум.

Задача 1.4.14. Докажите, что произведение конечного множества множеств, имеющих мощность континум, имеет мощность континум (в частности, Rn имеет мощность континум).

Задача 1.4.15. Докажите, что произведение счетного множества множеств, имеющих мощность континум, имеет мощность континум.

Задача 1.4.16. Докажите, что множество непрерывных на отрезке функций имеет мощность континум.

Задача 1.4.17. Докажите, что векторное пространство C[a, b] непрерывных на отрезке [a, b] функций бесконечномерно.

ства треугольника является непростой геометрической задачей.

Например, для рассмотренного выше метрического пространства

Глава 2

Метрические пространства

2.1. Определение и примеры метрических пространств

Метрическим пространством называется пара (X, d), ãäå X пространство есть множество, а d метрика есть функция расстояния между элементами множества X (другими словами, d(x, y) есть расстояние между x, y X). При этом для метрики d должны быть

выполнены следующие аксиомы.

(Metr1) d(x, y) > 0, причем d(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y.

(Metr2) d(x, y) = d(y, x).

(Metr3) d(x, y) + d(y, z) > d(x, z) (неравенство треугольника).

Метрическое пространство (X, d) иногда обозначают через X, когда из контекста ясно, как определена метрика d.

Вот некоторые геометрические примеры метрических пространств.

(1)

(R1

, d2), ãäå R1

прямая с системой координат (x), расстояние

(R , d2)

R плоскость с

√

(x, y), расстояние

d2(x1, x2) := (x1 − x2)2

= |x1 − x2|.

(2)

2

, ãäå

2

системой координат

(R , d2), где R пространство с

√

(x, y, z), расстояние

d2((x1, y1), (x2, y2)) := (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.

(3)

3

3

системой координат

√

d2((x1, y1, z1), (x2, y2, z2)) := (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2.

(4)S2 - сфера радиуса 1 в пространстве, расстояние между точками на сфере равно длине кратчайшей дуги, соединяющей эти точки.

Всякий раз, определяя метрические пространства, необходимо доказывать выполнение аксиом метрики. При этом практически всегда выполнение аксиом (Metr1) è (Metr2) î÷å-

видно. Доказательство неравенства треугольника (Metr3) нередко является трудной задачей. S2 доказательство неравен-

В этом курсе, определяя метрические пространства, мы не всегда будем доказывать неравенство треугольника (Metr3). Соответствующие доказательства можно найти в книгах [ KG] è [KF].

Следующие метрические пространства играют важную роль в функциональном анализе и его приложениях.

Пример 2.1.1. [Обобщение примеров (1) - (3) выше] Eвклидово координатное пространство (Rn, d2) есть вещественное n-мерное координатное пространство

Rn := {(x1, . . . , xn) | xi R},

с функцией расстояния

(∑n )1/2

d2((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) :=	|xi − yi|2	.
	i=1

13

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

14

Пример 2.1.2. (Rn, d1) åñòü n-мерное координатное пространство Rn с функцией рассто-

ÿíèÿ	n
d1((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) :=	|xi − yi|.
	=1
	∑i

Пример 2.1.3. (Rn, d∞) åñòü n-мерное координатное пространство Rn с функцией рассто- ÿíèÿ

d∞((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) := max{|x1 − y1|, . . . , |xn − yn|}.

Пример 2.1.4. Äëÿ p > 1 метрическое пространство (Rn, dp) åñòü n-мерное координатное пространство Rn с функцией расстояния

(∑n )1/p dp((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) := |xi − yi|p .

i=1

Нетрудно заметить, что

•(Rn, d2) åñòü (Rn, dp) ïðè p = 2;

•(Rn, d1) åñòü (Rn, dp) ïðè p = 1;

•(Rn, d∞) есть "предел пространства" (Rn, dp) ïðè p → ∞.

Пример 2.1.5. Äëÿ p > 1 метрическое пространство (Cn, dp) есть комплексное n-мерное

координатное пространство

Cn := {(x1, . . . , xn) | xi C},

с функцией расстояния

dp((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) := (	∑i	1/p
	n
	=1 |xi − yi|p) .

Замечание 2.1.6. То, что указанные в примерах 2.1.1, 2.1.2, 2.1.4 и 2.1.5 метрики удо-

влетворяют аксиоме (Metr3) несложно доказать используя

Неравенство Минковского. Для любого p > 1 и любых вещественных или комплексных чисел x1, . . . , xn, y1, . . . , yn выполнено

(	∑i	1/p	∑	1/p	∑	1/p
	n		n		n
	=1 |xi + yi|p)		6 (i=1 |xi|p)		+ (i=1 |yi|p) .

Заметим, что неравенство Минковского не выполнено при p < 1 (несложно привести соот-

ветствующие контрпримеры). Доказательство неравенства Минковского (а также его обобщений, которые также называют неравенствами Минковского) см. в [ KF].

Положим

R∞ := {(x1, x2, . . .) | xi R}, C∞ := {(x1, x2, . . .) | xi C}.

Пример 2.1.7 (Вещественное ℓp). Для всякого p > 1 подмножество

ℓp := {(x1, x2, . . .) R∞ | ðÿä	∑	|xi|p сходится}
	i>1
является метрическим пространством с метрикой	(	|xi − yi|p)1/p .
dp((x1, x2, . . .), (y1, y2, . . .)) :=
	∑

i>1

То, что для любых x, y ℓp расстояние dp(x, y) определено и то, что dp является метрикой, вытекает из неравенства Минковского.

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

15

Пример 2.1.8 (Вещественное ℓ∞). Множество

ℓ∞ := {(x1, x2, . . .) R∞ | последовательность {xn} ограничена} является метрическим пространством с метрикой

d∞((x1, x2, . . .), (y1, y2, . . .)) := sup |xi − yi|.
		i>1
Нетрудно заметить, что вещественное ℓ∞ есть "предел" вещественного ℓp ïðè p			→ ∞	.
Пример 2.1.9 (Комплексное ℓp). Для всякого p > 1 подмножество
ℓp := {(x1, x2, . . .) C∞ | ðÿä	∑	|xi|p сходится}
	i>1
является метрическим пространством с метрикой	(	|xi − yi|p)1/p .
dp((x1, x2, . . .), (y1, y2, . . .)) :=
	∑

i>1

То, что для любых x, y ℓp расстояние dp(x, y) определено и то, что dp является метрикой, вытекает из неравенства Минковского.

Пример 2.1.10 (Комплексное ℓ∞). Множество

ℓ∞ := {(x1, x2, . . .) C∞ | последовательность {xn} ограничена} является метрическим пространством с метрикой

d∞((x1, x2, . . .), (y1, y2, . . .)) := sup |xi − yi|.

i>1

Нетрудно заметить, что комплексное ℓ∞ есть "предел" комплексного ℓp ïðè p								→ ∞	.
Пример 2.1.11. Для действительных чисел a < b определим пространство C[a, b]										êàê
множество непрерывных на отрезке [a, b]			функций с равномерной метрикой
d f	t	, g t	max	f(t)	−	g(t)	.
(	( )	( )) := a6t6b |				|
Пример 2.1.12. Для действительных чисел a < b определим пространство C1[a, b]										êàê
множество непрерывных на отрезке [a, b]			функций с метрикой
d1(f(t), g(t)) := ∫ab |f(t) − g(t)|dt.

Пример 2.1.13. Пусть Γ произвольный связный граф и V множество его вершин. Для

v, v′ V положим	{соединяющего вершину v ñ v′}
d(v, v′) =
	длина кратчайшего пути,

(длина каждого ребра графа считается равной 1). Докажите, что V с функцией расстояния d является метрическим пространством.

Пример 2.1.14. Пусть (X1, d1), . . . , (Xn, dn) метрические пространства. Рассмотрим произведение

X = X1 × . . . × Xn := {(x1, . . . , xn) | xi Xi}.

Íà X можно определить различные функции расстояния относительно которых X будет метрическим пространством. Укажем наиболее часто используемые функции расстояния:

d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = d1(x1, y1) + . . . + dn(xn, yn),

d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = max{d1(x1, y1), . . . , dn(xn, yn)},

√

d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = d1(x1, y1)2 + . . . + dn(xn, yn)2.

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

16

В функциональном анализе и его приложениях встречаются и другие метрические пространства с некоторыми из которых мы познакомимся позже.

Имеются довольно экзотические метрические пространства, знать которые полезно для понимания определения метрических пространств. Вот пример такого пространства.

Пример 2.1.15. Пусть X произвольное множество. Для x, x′ X положим

d(x, x′) :=	{1,	åñëè x = x′′.
	0,	åñëè x = x ,

̸

Как это ни выглядит странным, так определенная функция расстояния d является метрикой.

Определенную выше метрику называют дискретной, а метрическое пространство с дискретной метрикой называют дискретным метрическим пространством.

Пример 2.1.16 (Обобщение предыдущего примера) . Рассмотрим прямое произведение

X = X1 × . . . × Xn,

ãäå X1, . . . , Xn произвольные множества. Для (x1, . . . , xn), (x′1, . . . , x′n) X положим d((x1, . . . , xn), (x′1, . . . , x′n)) := {число позиций i на которых xi ≠ x′i}.

Нетрудно проверить, что так определенная функция расстояния d является метрикой. В частном случае, когда

X1 = . . . = Xn = A

конечное множество, метрику d называют метрикой Хемминга. Метрика Хемминга часто встречается в приложениях.

Доказательство следующей леммы очевидно.

Лемма 2.1.17. Пусть (X, dX ) метрическое пространство, Y подмножество про-

странства X. Определим функцию расстояния dY	íà Y полагая
dY (y1, y2) := dX (y1, y2),	y1, y2 Y.

Тогда (Y, dY ) является метрическим пространством (определенную так метрику dY íà ïîä- множестве Y называют индуцированной метрикой, а метрическое пространство (Y, dY ) называют подпространством метричекого пространства (X, dX )).

Например, на отрезке Y = [a, b], рассматриваемом как подмножество метрического пространства (X = R1, d2) (обычной прямой), определена индуцированная метрика и с этой метрикой отрезок [a, b] является метрическим пространством. Ясно, что эта индуцированная метрика на отрезке [a, b] является обычной метрикой, то есть

dY (y1, y2) = |y1 − y2|, y1, y2 [a, b].

У леммы 2.1.17 имеется следующее обобщение.

Лемма 2.1.18. Пусть (X, dX ) метрическое пространство, Y произвольное множество,

φ: Y → X

произвольное инъективное отображение. Определим функцию расстояния dY íà Y следующим образом:

dY (y1, y2) := dX (φ(y1), φ(y2)), y1, y2 Y.

Тогда Y с функцией расстояния dY является метрическим пространством (метрику dY

называют проообразом метрики dX при отображении φ).

pi(Aj) =

2.2. ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С МЕТРИЧЕСКИМИ ПРОСТРАНСТВАМИ

17

Замечание 2.1.19. Лемма 2.1.18 может быть использована в следующей ситуации. Допу- стим, имеются однотипные объекты A1, . . . An (например, марки автомобилей, супермаркеты в данном городе) для которых необходимо определить то, насколько они отличаются друг от друга. Говоря формально, необходимо определить метрику на множестве {A1, . . . An}. Для этого сначала составляем список признаков p1, . . . , pm, по которым эти объекты будут срав- ниваться. Признак pi может быть

• количественным ; в этом случае pi(Aj) R.

• качественным; в этом случае{pi(Aj) {Y, N} (Y = yes, N = no), ãäå Y, åñëè Aj обладает признаком pi,

N, åñëè Aj не обладает признаком pi.

Например, для автомобилей количественным признаком является мощность двигателя в лошадиных силах, а качественным наличие или отсутствие кондиционера. Признаков должно быть достаточно много так, чтобы разные объекты различались по крайней мере по одному признаку. Допустим признаки p1, . . . , pk количественные, а признаки pk+1, . . . , pm êà÷å-

ственные. Имеем отображение

φ : {A1, . . . An} → Rk × {Y, N}m−k, φ(Ai) = (p1(Ai), . . . , pm(Ai)).

Выбирем метрику в пространстве Rk × {Y, N}m−k (это можно сделать многими способа-

ми, см. пример 2.1.14) и, применяя лемму 2.1.18, получаем метрику на множестве объектов {A1, . . . An}. Разумеется, чтобы получить "хорошую" метрику на {A1, . . . An} нужно "правильно" подобрать признаки p1, . . . , pm и "правильно" выбрать метрику на Rk × {Y, N}m−k.

2.2. Понятия, связанные с метрическими пространствами

Определение 2.2.1. Рассмотрим метрическое пространство (X, d).

• Для каждой точки x0 X определена ее ε-окрестность

B(x0, ε) := {x X | d(x0, x) < ε}.

Иногда ε-окрестность B(x0, ε) называют открытым шаром радиуса ε с центром в точке x0. Если хотят указать, что шар лежит в метрическом пространстве X, то его обозначают через BX (x0, ε).

•Подмножество U пространства X называют открытым, если для любой u U существует ε > 0 такое, что B(u, ε) U (другими словами, если U содержит некоторую точку, то U также содержит некоторую ε-окрестность этой точки). По определению, пустое подмножество пространства X открыто. Отметим, что из определения следует, что X (как подмножество самого себя) открыто.

•Подмножество Z метрического пространства (X, d) называют замкнутым, если его

дополнение X \Z открыто. Таким образом, подмножество Z замкнуто тогда и только тогда, когда для любой точки x X \ Z существует ε > 0 такое, что пересечение B(x, ε) ∩ Z пусто. По определению, пустое подмножество пространства X замкнуто. Отметим, что из определения следует, что X (как подмножество самого себя) замкнуто.

•Подмножество A метрического пространства X называют ограниченным, если оно содержится в некотором шаре.

Пример 2.2.2. ε-окрестностью точки x0 â (R1, d2) является обычная ε-окрестность точки x0, то есть интервал (x0 − ε, x0 + ε).

Пример 2.2.3. ε-окрестностью точки (x0, y0) на плоскости (R2, d2) является круг радиуса

ε без границы с центром в точке (x0, y0), òî åñòü

√

B((x0, y0), ε) = {(x, y) | (x − x0)2 + (y − y0)2 < ε}.

2.2. ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С МЕТРИЧЕСКИМИ ПРОСТРАНСТВАМИ

18

Пример 2.2.4. В метрическом пространстве (R1, d2) интервал (a, b) является открытым подмножеством, отрезок [a, b] замкнутым, полуинтервалы (a, b] è [a, b) не являются ни открытыми, ни замкнутыми подмножествами.

Пример 2.2.5. Несложно доказать, что любом метрическом пространстве (X, d) замкну-

òûé øàð

Bc(x, ε) := {y X | d(x, y) 6 ε}

замкнут.

Пример 2.2.6. В дискретном метрическом пространстве всякое подмножество является одновременно открытым и замкнутым.

Теорема 2.2.7. Пусть X метрическое пространство. Тогда

(1)объединение любого множества открытых подмножеств открыто;

(2)пересечение конечного множества открытых подмножеств открыто;

(3)объединение конечного множества замкнутых подмножеств замкнуто;

(4)пересечение любого множества замкнутых подмножеств замкнуто.

Доказательство. (1) Пусть {Ui}i I открытые подмножества метрического простран-

ñòâà X è
	U = Ui
	i I

объединение этих подмножеств. Мы должны доказать, что U открыто. Пусть x U. Имеем

x Ui0 для некоторого i0 I. Òàê êàê Ui0 открыто, то существует ε > 0 такое, что B(x, ε) Ui0 . Но тогда

B(x, ε) Ui0 U.

Это доказывает, что U открыто.

(2) Пусть {Ui}16i6n конечное множество открытых подмножеств метрического пространства X,

∩n

U = Ui

i=1

пересечение этих подмножеств. Мы должны доказать, что U i 6 n имеем x Ui и из открытости Ui следует, что существует εi

Но тогда

∩n

B(x, ε) Ui = U,

открыто. Для каждого 1 6 > 0 такое, что B(x, εi) Ui.

i=1
äëÿ ε = min{ε1, . . . , εn}. Это доказывает, что U	открыто.
(3) и (4) доказываются аналогично (1) и (2).

Определение 2.2.8. Пусть (X, d) - метрическое пространство. Последовательность {xn} точек пространства X называют сходящейся к x X и пишут xn → x, åñëè

lim d(xn, x) = 0;

n→∞

точку x при этом называют пределом последовательности {xn}. Таким образом, xn → x тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 все члены последовательности {xn}, начиная с некоторого n, принадлежат ε-окресткности точки x. Последовательность, которая сходится к какой-нибудь точке, называют сходящейся.

Пример 2.2.9. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве (R1, d2) есть в точности сходящиеся в обычном смысле последовательности на R.

2.2. ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С МЕТРИЧЕСКИМИ ПРОСТРАНСТВАМИ

19

Лемма 2.2.10. Всякая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве сходится к одной точке.

Доказательство. Пусть {xn} сходящаяся последовательность, причем xn → x è xn → y. Тогда

d(x, y) 6 d(x, xn) + d(xn, y) → 0 ïðè	n → ∞
и, следовательно, d(x, y) = 0, откуда x = y.

Определение 2.2.11. Замыканием подмножества Y метрическое пространство X называют наименьшее (по включению) замкнутое подмножество в X, содержащее Y . Замыкание подмножества Y обозначают через Y .

Лемма 2.2.12. У всякого подмножества Y метрического пространства X замыкание

существует и единственно; а именно,			∩
				Y
è
	Y :=			Z

Z замкнуто в X содержит

(пересечение всех замкнутых подмножеств множества X, содержащих Y ).

Доказательство. Действительно, по теореме 2.2.7(4) подмножество Y замкнуто в X и если некоторое подмножество Z замкнуто в X и содержит Y , òî

Y = Y ∩ Z Z.

Пример 2.2.13. В метрическом пространстве (R1, d2) замыканием интервала (a, b) (также как полуинтервалов (a, b] è [a, b) и отрезка [a, b]) является отрезок [a, b].

Лемма 2.2.14. Пусть X - метрическое пространство и Y произвольное подмножество в X. Тогда

Y = {x X | существует последовательность yn Y , сходящаяся к x}.

Другими словами, замыкание подмножества есть множество предельных точек этого подмножества.

Доказательñòâî. Мы должны доказать, что

(1)åñëè x Y , то существует последовательность yn Y сходящаяся к x;

(2)если последовательность {yn} лежит в Y è yn → x, òî x Y .

(1)Заметим, что для любого n N пересечение Y ∩ B(x, n1 ) непусто. Действительно, если Y ∩ B(x, n1 ) = , то замкнутое подмножество X \ B(x, n1 ) содержит Y и, следовательно,

содержит Y , но при этом не содержит x, что противоречит тому, что x Y . Для каждого n N выберем произвольно yn Y ∩ B(x, n1 ). Тогда d(x, yn) < n1 и, следовательно, yn → x.

(2) Åñëè x / Y , òî òàê êàê X \ Y открыто, x X \ Y è yn → x, то существует N N такое, что yn X \ Y äëÿ n > N. Но тогда yn / Y и, значит, yn / Y äëÿ n > N.

Для функций на метрических пространствах определено понятие непрерывности.

Определение 2.2.15. Функцию

f : X → R

на метрическом пространстве X называют непрерывной в точке x X, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что

f(B(x, δ)) (f(x) − ε, f(x) + ε) = B(f(x), ε).

Функцию f называют непрерывной, если она непрерывна в каждой точке.

2.2. ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С МЕТРИЧЕСКИМИ ПРОСТРАНСТВАМИ

20

Это определение обобщается следующим образом. Определение 2.2.16. Отображение

φ : X → Y

метрического пространства X в метрическое пространство Y называют непрерывным в точке x X, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что

φ(B(x, δ)) B(φ(x), ε).

Отображение φ называют непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке.

Пример 2.2.17. Обычная функция f : R → R непрерывна тогда и только тогда, когда эта функция, рассматриваемая как отображение метрического пространства (R1, d2) в себя, непрерывна.

Пример 2.2.18. Сдвиг вправо

ℓ2 → ℓ2, (x1, x2, x3, . . .) 7→(0, x1, x2, . . .)

является непрерывным отображением.

Пример 2.2.19. Пусть f(t) C[a, b]. Отображение умножения

	µf : C[a, b] → C[a, b],	µf (g)(t) = g(t)f(t)
	является непрерывным отображением.
	Пример 2.2.20. Операция интегрирования	∫ t
	φ : C[a, b] → C[a, b],
		φ(g)(t) = g(τ)dτ
		a
	является непрерывным отображением.

Пример 2.2.21. Линейное отображение

(λ1, . . . , λn) : (Rn, dp) → R, (x1, . . . , xn) 7→λ1x1 + . . . + λnxn

является непрерывным отображением.

Следующая лемма является обобщением леммы из анализа о том, что композиция непрерывных функций непрерывна.

Лемма 2.2.22. Пусть X, Y , Z метрические пространства и

φ : X → Y, ψ : Y → Z

непрерывные отображения метрических пространств. Тогда их композиция

ψ◦ φ : X → Z

непрерывна.

Доказательство. Пусть x X è ε > 0; мы должны доказать, что существует δ > 0 такое, что

(2.2.1)	ψ(φ(BX (x, δ))) BZ(ψ(φ(x)), ε).
Òàê êàê ψ непрерывно, то существует α > 0 такое, что
(2.2.2)	ψ(BY (φ(x), α)) BZ(ψ(φ(x)), ε).
Òàê êàê φ непрерывно, то существует δ > 0 такое, что
(2.2.3)	φ(BX (x, δ)) BY (φ(x), α).
Теперь (2.2.1) следует из (2.2.2) и (2.2.3).