Курс лекций по математике

(составитель: старший преподаватель кафедры МНО Керова Г. В. )

Раздел 1. Общие понятия математики

Глава 1. Высказывания

§ 1. Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания

Когда мы говорим, пишем, то свои мысли выражаем при помощи предложений.

Рассмотрим ряд простых повествовательных предложений:

1. Студенты педфака изучают математику 5 лет.

2. Чепца – судоходная река.

3. Ижевск – столица Удмуртии.

4. Все птицы – перелетные.

Все эти предложения различны по содержанию, но есть для них нечто общее – в одних предложениях утверждается нечто истинное (правильное, верное), а в других нечто ложное (неправильное, неверное). Так, предложения 1 и 3 считаем истинными, а предложения 2 и 4 ложными.

Определение. Повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно, называется высказыванием.

Вопросительные, восклицательные предложения высказываниями не являются. Например, предложения «Который час?», «Пусть всегда будет мир!» высказываниями не являются.

Предложения, содержащие переменные, которые могут принимать различные значения, тоже не считают высказываниями, т.к. при одних значениях переменных они становятся истинными высказываниями, а при других – ложными. Например, предложение х + 2 < 5 не является высказыванием, т.к. при х = 2 получим истинное предложение, а при х = 7 – ложное предложение.

Высказывания могут обозначаться не только с помощью слов, но и с помощью различных символов: 5 · 5 = 25, 7 · 8 < 50, Н₂О – вода (первое и третье высказывание являются истинными, а второе – ложным).

Условимся обозначать высказывания заглавными буквами латинского алфавита, значение истинного высказывания буквой «И», ложного высказывания – буквой «Л».

Уже с первых уроков математики учащиеся начальных классов встречаются с высказываниями, в основном, с истинными, например: 1 < 2, 2 + 3 = 5 и т.д. Позже появляются высказывания о числах двузначных и трехзначных, геометрических фигурах и т.д.

Так, выполняя упражнение: «Проверьте, правильно ли выполнено действие: 364 + 287 = 641», требуется установить, истинным или ложным является данное предложение. Легко определить, что оно ложно.

Высказывания бывают элементарные (простые) и составные.

Определение. Высказывание называется элементарным, если его нельзя расчленить на другие высказывания.

Определение. Высказывание называется составным, если его можно расчленить на другие высказывания.

Пример. «Число 135 делится на 5.» – элементарное высказывание, а «Число 135 трехзначное и делится на 5.» - составное высказывание.

Составные высказывания образуются из элементарных при помощи связок «и», «или», «если, то», «неверно, что», «тогда и только тогда», причем их смысловая характеристика не рассматривается. Допускаются, например, такие высказывания: «Земля вращается вокруг Солнца и параллельные прямые не пересекаются».

Операции над высказываниями

1. Отрицание высказываний

Пусть А – некоторое высказывание.

Определение. Высказывание «не А» называют отрицанием высказывания А (обозначают ). Оно истинно, когда высказываниеА ложно, и ложно, когда высказывание А истинно.

Связь между высказыванием и его отрицанием можно изобразить с помощью таблицы, которую называют таблицей истинности:

А
И	Л
Л	И

Чтобы получить отрицание некоторого высказывания А, можно перед данным высказыванием поставить слова «неверно, что» или к сказуемому добавить частицу «не» (или ее отбросить, если она стоит перед сказуемым в высказывании). Например, если В – высказывание «8 делится на 2», то – высказывание «неверно, что 8 делится на 2» или «8 не делится на 2».

Пусть А – некоторое высказывание. Его отрицание тоже является высказыванием, и, следовательно, можно рассмотреть отрицание высказывания, т.е. высказывание. Оно называется двойным отрицанием высказыванияА. Легко показать, что двойное отрицание высказывания А есть само высказывание А, т.е. отрицая дважды какое-либо высказывание, получаем исходное высказывание.

2. Конъюнкция высказываний

Определение. Высказывание «А и В» (обозначают А  В называют конъюнкцией высказываний А, В (от латинского слова соnjunctio – связываю). Оно истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А, В истинны; если хотя бы одно из высказываний ложно, то и конъюнкция ложна. Из определения следует, что таблица истинности будет такой:

А	В	А  В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Рассмотрим высказывание «Глазов расположен на севере Удмуртии и является ее столицей». Оно является конъюнкцией двух высказываний «Глазов расположен на севере Удмуртии» и «Глазов является столицей Удмуртии». Первое высказывание истинно, а второе ложно, следовательно, все высказывание будет ложным.

Высказывание «2 < 4 и 3 · 3 = 9» является истинным, т.к. истинны оба высказывания, входящие в конъюнкцию.

С конъюнкцией двух высказываний мы встречаемся, оперируя двойным неравенством. Так, неравенство 23 < 34 < 45 является конъюнкцией двух высказываний «23 < 34» и «34 < 45», т.е. его можно записать так: «23 < 34  34 < 45» и оно истинно, т.к. истинны оба высказывания, из которых оно составлено.

3. Дизъюнкция высказываний

Определение. Высказывание «А или В» (обозначают А  В называют дизъюнкцией высказываний А, В (от латинского слова disjunctio – различаю). Оно ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А, В ложны; если хотя бы одно из высказываний истинно, то и конъюнкция истинна. Из определения следует, что таблица истинности имеет вид:

А	В	А  В
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Высказывание «Стихотворение «Идет бычок, качается» написал Пушкин или Лермонтов» является ложным, т.к. ложны оба элементарные высказывания, в него входящие.

Высказывание «2 · 2 = 4 или 2 · 2 = 5» является истинным, т.к. одно из элементарных высказываний «2 · 2 = 4» истинно.

Нестрогое неравенство, например, «12  4» представляет собой дизъюнкцию высказываний «12 > 4» и «12 = 4». Поскольку одно из высказываний истинно, то и вся дизъюнкция истинна.

4. Импликация высказываний

Определение. Высказывание «если А, то В» (обозначают А  В) называют импликацией высказываний А, В (от латинского слова implicatio – тесно связываю). Оно ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А истинно, а высказывание В ложно; во всех остальных случаях импликация истинна. Из определения следует, что таблица истинности имеет вид:

А	В	А  В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Рассмотрим импликацию: «Если 3 < 5, то 7 · 8 = 48». Т.к. условие импликации «3 < 5» истинно, а заключение импликации «7 · 8 = 48» ложно, то все высказывание является ложным.

Высказывание «Если 2 · 2 = 5, то Земля – спутник Луны» истинно, т.к. представляет собой импликацию, условие и заключение которой – ложные высказывания.

5. Эквиваленция высказываний.

Определение. Высказывание «А в том и только в том случае, если В» (обозначают А  В) называют эквиваленцией высказываний А, В. Оно истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А, В истинны или оба высказывания А, В ложны; если одно из высказываний истинно, а другое ложно, то эквиваленцию считают ложной. Таблица истинности для эквиваленции имеет вид:

А	В	А В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

Например, высказывание «Число 123 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3» истинно, т.к. оба высказывания истинны.

Высказывание «Число 29 делится на 3 в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 3» является истинным, т.к. оба элементарных высказывания ложные.

Высказывание «Число 27 делится на 3 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 3» будет ложным, т.к. высказывание «Число 27 делится на 3» истинно, а высказывание «Последняя цифра числа 27 делится на 3» ложно.

Определение. Составные высказывания А и В называются равносильными, если принимают одинаковые значения истинности при любых значениях истинности входящих в них элементарных высказываний (обозначают А  В)