lect3

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши.

Интегральные кривые. Особое решение.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у’ = f(х).

Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли.

Метод Лагранжа. Уравнение Бернулли.

Уравнения в полных дифференциалах. Условие тотальности.

Уравнения вида у = f(y’) и x = f(y’). Уравнения Лагранжа и Клеро.

Геометрическая интерпретация решений дифференциального уравнения первого порядка.

Поле направлений. Изоклины.

Численные методы решения дифференциальных уравнений. Метод Эйлера.

Ломаная Эйлера. Уточненный метод Эйлера. Метод Рунге – Кутта.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнения вида y(n) = f(x).

Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка n-1 включительно.

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.

Структура общего решения. Фундаментальна система решений. Определитель Вронского.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.

Метод вариации произвольных постоянных.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Уравнения с правой частью специального вида. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Элементы теории устойчивости.

Устойчивость по Ляпунову. Точка покоя.

Теорема Ляпунова. Классификация точек покоя. Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.

Классификация основных типов уравнений математической физики. Уравнение колебаний струны.

Граничные, начальные и краевые условия.

Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье). Решение задачи Коши методом Даламбера.

Уравнение теплопроводности. Уравнение Лапласа.

Задача Дирихле.

Решение задачи Дирихле для круга. Ряды.

Основные определения. Свойства рядов. Критерий Коши.

Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения.

Признак Даламбера. Предельный признак Даламбера. Признак Коши.

Интегральный признак Коши. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Абсолютная и условная сходимость рядов.

Признак Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Функциональные последовательности.

Область сходимости. Функциональные ряды.

Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса.

Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды.

Теоремы Абеля. Радиус сходимости.

Действия со степенными рядами. Разложение функций в степенные ряды.

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Ряды Фурье.

2

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье.

Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Ряд Фурье для функций любого периода.

Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Интеграл Фурье.

Преобразование Фурье.

Элементы теории функций комплексной переменной. Свойства функций комплексной переменной. Основные трансцендентные функции.

Производная функций комплексной переменной. Условия Коши – Римана.

Интегрирование функций комплексного переменного. Теорема Коши.

Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки. Теорема о вычетах.

Вычисление интегралов с помощью вычетов. Операционное исчисление. Преобразование Лапласа.

Свойства изображений.

Таблица изображений некотрых функций. Теорема свертки и запаздывания. Интеграл Дюамеля.

Решение дифференциальных уравнений с помощью операционного исчисления.

Криволинейные интегралы. Криволинейные интегралы первого рода.

Свойства криволинейных интегралов первого рода. Криволинейные интегралы второго рода. Свойства криволинейных интегралов второго рода. Формула Остроградского – Грина. Поверхностные интегралы первого рода. Свойства поверхностных интегралов первого рода. Поверхностные интегралы второго рода.

Связь поверхностных интегралов первого и второго рода. Формула Гаусса – Остроградского.

Элементы теории поля. Поток векторного поля. Потенциал.

Формула Стокса. Ротор.

Оператор Гамильтона. Циркуляция. Дивиргенция. Соленоидальное поле.

3

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:

			S =V0t +			at 2
						2
В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V,
которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.
V =	dS		;	a =		dV		=	d 2 S	;
	dt					dt			dt 2
Тогда получаем: S = f (t) =V0t +		f ′′(t) t		-		уравнение связывает функцию f(t) с
			2

независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение,

связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением,

если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение,

называется порядком дифференциального уравнения.

Пример.

x3 y′+8y − x + 5 = 0 - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В

								′
	общем виде записывается F(x, y, y ) = 0 .
	x	d 2 y	+ xy		dy		+ x2	= y - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В
		dx2			dx
								′	′′
	общем виде записывается F(x, y, y , y								) = 0
	y2 ∂z		+ xy	∂z			= 0	- дифференциальное уравнение в частных производных первого
				∂y
		∂x

порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = ϕ(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

4

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Свойства общего решения.

1)Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2)При какихлибо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является

функция у = ϕ(х, С0).

Определение. Решение вида у = ϕ(х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = ϕ(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную y′ = f (x, y) , то какова бы

не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение y = ϕ(x) уравнения y′ = f (x, y) , определенное в некотором интервале, содержащем точку х0,

принимающее при х = х0 значение ϕ(х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения xy′+ y = 0 .

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью

интегрирования

левой и

правой частей уравнения, которое предварительно

преобразовано следующим образом:

x

dy

+ y = 0

dx

xdy = −ydx

dy

= −

dx

y

x

Теперь интегрируем:

∫

dy

= −∫

dx

x

y

ln y = −ln x + C0 ln y + ln x = C0 ln xy = C0

xy = eC0 = C

5

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

		y =		C			- это общее решение исходного
				x
	дифференциального уравнения.
	Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем
	2 =	С	;		C = 2;
	1
	При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем
	частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).
		y =		2
					x

Определение. Интегральной кривой называется график y = ϕ(x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

Определение. Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теорема Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.

Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: y′+ y = 0.

Найти особое решение, если оно существует. dydx = −y dyy = −dx

∫dyy = −∫dx ln y = −x +C y = e−x eC

y = C1 e−x

Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С1 = 0 ошибочно, ведь C1 = eC ≠ 0.

Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

6

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

F(x, y, y′) = 0

Если такое соотношение преобразовать к виду y′ = f (x, y) то это

дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением,

разрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:

		dy	= f (x, y); dy = f (x, y)dx; f (x, y)dx − dy = 0;
		dx
				P(x, y)
	Функцию f(x,y) представим в виде: f (x, y) = −				, Q(x, y) ≠ 0; тогда при
				Q(x, y)

подстановке в полученное выше уравнение имеем:

P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0

-это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.

Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

Уравнения вида y’ = f(x).

Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале

a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как y = ∫ f (x)dx + C . Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно определить постоянную С.

	Уравнения с разделяющимися переменными
Определение.	Дифференциальное	уравнение	y′ = f (x, y) называется

уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде y′ = α(x)β( y) .

Такое уравнение можно представить также в виде:

	y	′	− α(x)β( y) = 0;	dy − α(x)β( y)dx = 0;		dy
					β( y) − α(x)dx = 0 при β( y) ≠ 0;
	Перейдем к новым обозначениям α(x) = −X (x);				1			= Y ( y);
						β( y)
	Получаем:			X (x)dx +Y ( y)dy = 0;

7

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

∫X (x)dx + ∫Y ( y)dy = C

После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: yy′ = − 2x cos y

y cos y dydx = −2x y cos ydy = −2xdx

∫y cos ydy = −2∫xdx

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):

u = y;	dv = cos ydy;		= y sin y − ∫sin ydy = y sin y + cos y
∫y cos ydy =
du = dy; v = sin y

y sin y + cos y = −x2 +C y sin y + cos y + x2 + C = 0

-это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

y′sin y + yy′cos y − y′sin y + 2x = 0 yy′ = − cos2xy - верно

Пример. Найти решение дифференциального уравнения yy′ = ln y при условии у(2) = 1.

ydxdy = ln y dx = ln ydyy

∫dx = ∫ln ydyy

x+C = ∫ln yd(ln y)

8

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

x + C =

ln2 y

2

при у(2) = 1 получаем 2 +C =

ln2

1

;

2 +C = 0;

C = −2;

2

Итого: 2(x − 2) = ln2

y;

или y = e±

2 x−4 - частное решение;

Проверка: y

′

= e

±

2 x−4

2

, итого

± 2

2x − 4

y

=

e± 2 x−4 (± 2x − 4)

= ± 2x − 4 = ln y - верно.

y′

e±

2x−4

Пример. Решить уравнение y′ = y 23 .

dy

= y 23

dx

y

−

2

3 dy = dx

∫y−23 dy = ∫dx

3y 13

= x + C

27 y = (x + C)3 - общий интеграл

y =

1

(x + C)3

- общее решение

27

Пример. Решить уравнение y′ = x( y2 +1).

dy

= dx;

∫

dy

= ∫dx;

y

2

+1

y

2

+1

x

2

2

x

arctgy =

+ C;

y = tg

2

+ C ;

2

Пример. Решить уравнение

yy′

+ e

y

= 0 при условии у(1) = 0.

x

ydy

+ xe y

= 0

dx

y

ydy + xe y dx = 0;

dy = −xdx;

e y

y

∫

dy = −∫xdx;

y

e

Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см.

по частям. ).

e

−y

u = y;

dy = dv;

= −e y y − ∫− e y dy = −e−y y − e−y = −e−y ( y

∫ye−y dy =

y

du = dy;

v = −e ;

Интегрирование

+1);

9

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

e

−y

( y +1) =

x2

+ C0 ;

2

2e−y ( y +1) = x2 + C

Если у(1) = 0, то 2e0 (0 +1) =1+ C;

2 =1+ C;

C =1;

Итого, частный интеграл: 2e−y ( y +1) =x2 +1.

Пример. Решить уравнение y′+ sin(x + y) = sin(x − y) .

y′+ sin(x + y) −sin(x − y) = 0

y′− 2sin

x − y − x − y

cos

x − y + x + y

= 0

2

2

y′− 2sin(−y) cos x = 0

y′+ 2sin y cos x = 0

dy

= −2cos xdx;

∫

dy

= −2∫cos xdx;

sin y

sin y

Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных интегралов. п.16. Получаем общий интеграл:

ln tg 2y = −2sin x + C

Пример. Решить уравнение 2xe−x2 + yy′ = 0

Преобразуем заданное уравнение:

2xe−x2 + ydxdy = 0 2xe−x2 dx + dyy = 0

∫2xe−x2 dx + ∫dyy = C

− e−x2 + ln y = C

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

Пример. Решить уравнение y′ = x( y2 +1) .

dydx = x( y2 +1)

10