Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lab 5 TВиМС (1)

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
14.03.2015
Размер:
597.76 Кб
Скачать

“Теория вероятностей и математическая статистика” Лабораторная работа № 5

Тема: "Случайные величины".

Цель работы: построение законов распределения, вычисление числовых характеристик случайных величин. Применение электронных таблиц Microsoft Excel для решения задач.

Рекомендуемая литература: [1–6].

1. Задания лабораторной работы

1.Изучить методы построения закона распределения, функции распределения дискретных случайных величин, вычисление математического ожидания, дисперсии

исреднего квадратического отклонения дискретных случайных величин; вероятности принадлежности нормальной случайной величины заданному интервалу.

2.Решить задачи лабораторной работы в среде электронных таблиц Microsoft

Excel.

3.Оформить отчет по лабораторной работе (титульный лист, основные определения, формулы, теоремы и т.п., вычисления в Microsoft Excel)

2.Выполнение работы

2.1. Дискретная случайная величина

Дискретными называются случайные величины, которые принимают конечное или бесконечное счетное множество значений.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями:

Х

х1

x2

xn–1

xn

Р

p1

p2

pn–1

pn

Задача 1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х

1

3

6

8

11

13

14

Р

0,14

0,09

0,22

0,11

0,17

0,08

0,19

1.Построить многоугольник распределения.

2.Найти функцию распределения F(x)

3.Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х.

Решение.

1. При графическом изображении закона распределения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины xi , а по оси ординат – соответствующие вероятности P(X xi) pi . Соединив

ломаной линией

полученные

точки

M1(1; 0,14),

M2(3; 0,09),

M3(6; 0,22),

M4(8; 0,11), M5(11; 0,17),

M6(13; 0,08),

M7(14; 0,19),

построим многоугольник

или полигон распределения случайной величины Х (рис. 1).

 

 

 

Многоугольник распределения

 

 

 

0,25

 

 

0,22

 

 

 

 

0,2

 

 

 

0,19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,15

0,14

 

 

 

0,17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

0,11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1

 

0,09

 

 

0,08

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,05

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

3

6

9

12

15

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

Рис 1. Многоугольник распределения

 

2. Найдем функцию распределения F(x) дискретной случайной величины Х. Задавая различные значения x, определим значения F(x) P(X x):

1)

Если x 1, то F(x) 0. Действительно, значений, меньших числа 1, величина X

не принимает. Следовательно, при x 1 функция F(1) P(X 1) 0.

2)

Если 1 x 3. Тогда F(x) 0,14. Действительно, X может принять значение 1

с вероятностью 0,14. Следовательно, F(3) P(X 3) P(X 1) 0,14.

3)

Если 3 x 6, то F(x) 0,23. Действительно, X может принять значение 1 с

вероятностью 0,14 или значение 3 с вероятностью 0,09. Тогда по теореме сложения

вероятностей

несовместных

событий

получим

F(6) P(X 6) P(X 1)

P(X 3) 0,14 0,09 0,23.

 

 

 

 

 

4)

Если

6 x 8,

то

F(x) 0,45, поскольку

F(8) P(X 8)

P(X 1) P(X 3) P(X 6) 0,14 0,09 0,22 0,45.

 

 

5)

Если

8 x 11,

то

F(x) 0,56,

в

силу

равенства

F(11) P(X 11) P(X 1) P(X 3) P(X 6) P(X 8) 0,14 0,09 0,22

0,11 0,56.

 

 

 

 

 

 

 

6)

Если 11 x 13, то

F(x) 0,73, т.к. F(13) P(X 13) P(X 1) P(X 3)

P(X 6) P(X 8) P(X 11) 0,14 0,09 0,22 0,11 0,17 0,73.

7)Если 13 x 14, то F(x) 0,81, т.к. F(14) P(X 14) P(X 1) P(X 3)

P(X 6) P(X 8) P(X 11) P(X 13) 0,14 0,09 0,22 0,11 0,17 0,08

0,81.

8) Если 14 x, то F(x) 1. Действительно, событие X 14 достоверно и вероятность его равна 1.

Итак, функция распределения имеет вид

2

 

0

 

при

x 1,

 

0,14

 

при

1 x 3,

 

 

0,23

 

при

3 x 6,

 

0,45

 

при

6 x 8,

 

 

F(x)

0,56

 

при

8 x 11,

 

 

0,73

при

11 x 13,

 

 

при

13 x 14,

0,81

 

 

 

14 x.

1 при

3. Числовые характеристики случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности:

n

 

M(X) xi pi ,

(1)

i 1

где хi – значение дискретной случайной величины, pi – вероятность того, что случайная величина примет значение хi, n – количество значений случайной величины.

Дисперсия случайной величины определяется следующей формуле:

n

2 .

 

D(X) xi2 pi (MX)

(2)

i 1

равно арифметическому квадратному корню из дисперсии

(X) D(X).

(3)

Математическое ожидание равно

7

M(X) xi pi 1 0,14 3 0,09 6 0,22 8 0,11 13 0,08 14 0,19 8,18.

i 1

7

D(X) xi2 pi (MX)2 12 0,14 32 0,09 62 0,22 82 0,11 132 0,08 142 0,19 (8,18)2

i 1

20,33

Найдем среднее квадратическое отклонение:

(X) D(X) 20,33 4,51.

Решение в Microsoft Excel.

1.Создать рабочую книгу Lab 5_ФИО.xls. Переименовать рабочий лист Лист 1 в рабочий лист Задача 1.

2.В ячейки А1, А2 листа Задача 1 ввести Дискретная случайная величина и Закон распределения дискретной случайной величины Х: (рис. 1).

3.В ячейках А3:H4 листа Задача 1 построить таблицу закона распределения заданной дискретной случайной величины (рис. 1).

3

 

Рис.1. Дискретная случайная величина►

 

 

4. Для построения в Microsoft Excel

 

многоугольника распределения

дискретной случайной величины в ячейки А6 листа Задача 1 ввести

Многоугольник распределения и, установив курсор в ячейку А6, вызвать

Мастер

диаграмм,

выбрав

в

строке

меню

команду

Вставка Диаграмма…(рис. 2).

Рис.2. Вызов Мастера диаграмм

4

5.На первом шаге Мастера диаграмм выбрать Тип диаграммы График График с маркерами, помечающими точки данных (рис. 3) и нажать кнопку Далее>.

Рис.3. Выбор типа диаграммы

6.На втором шаге Мастера диаграмм выбрать исходные данные

диаграммы.

Выбрать вкладку Диапазон данных и на рабочем листе Задача 1 левой кнопкой мыши выделить диапазон ячеек $B$4:$H$4 (рис. 4а).

Выбрать вкладку Ряд и в поле Подписи оси Х ввести $B$3:$H$3, выделив на рабочем листе Задача 1 левой кнопкой мыши диапазон ячеек B3:H3 (рис. 4б). Нажать кнопку Далее>.

а)

5

б)

Рис.4. Исходные данные диаграммы

7.На третьем шаге Мастера диаграмм определить параметры диаграммы:

название диаграммы: "Многоугольник распределения" (вкладка Заголовки,

рис. 5);

убрать легенду под диаграммой сняв отметку в поле Добавить легенду (вкладка Легенда, рис. 6);

убрать линии сетки диаграммы, сняв все отметки в полях вкладки Линии сетки;

включить в подписи значения (вкладка Подписи данных, рис. 8) и нажать кнопку Далее>.

Рис.5. Заголовок диаграммы

Рис.6. Легенда диаграммы

6

Рис.7. Подписи данных диаграммы

Рис.8. Размещение диаграммы

8.На четвертом шаге Мастера диаграмм выбрать размещение диаграммы на имеющемся листе Задача 1 (рис. 8) и нажать кнопку Готово.

9.В рабочей книге Pract 2_ФИО.xls на листе Задача 1 появится многоугольник распределения дискретной случайной величины (рис. 1).

10.Для построения функции распределения F(x) дискретной случайной величины Х в ячейки В25:В32 листа Задача 1 ввести формулы, приведенные на рис. 9.

Рис.9. Функция распределения F(x), числовые характеристики случайной величины

11.Вычисление числовых характеристик случайной величины:

для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины в ячейку В36 листа Задача 1 ввести формулу

=B3*B4+C3*C4+D3*D4+E3*E4+F3*F4+G3*G4+H3*H4

7

и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 9);

для вычисления дисперсии дискретной случайной величины в ячейку В39 листа Задача 1 ввести формулу

=B3^2*B4+C3^2*C4+D3^2*D4+E3^2*E4+F3^2*F4+G3^2*G4+H3^2*H4-B36^2

и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 9);

для вычисления среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины в ячейку В42 листа Задача 1 ввести формулу =B39^0,5 и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 9).

2.2. Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины

Пусть случайная величина X есть число появлений события A в n независимых испытаниях. Вероятность появления события A в каждом испытании постоянна и равна p. Значениями случайной величины Х являются целые числа 0, 1, 2,…, n. Это означает, что случайная величина X дискретная.

Вероятность каждого значения случайной величины Х вычисляется по формуле Бернулли:

P(X k) Pn(k) Cnk pk qn k ,

где q 1 p, k 0,1,2,...,n.

Закон распределения данной случайной величины X называется биномиальным законом, т.к. вероятности возможных ее значений равны элементам разложения

бинома Ньютона (q p)n.

Биномиальный закон может быть задан в виде ряда распределения:

X

X=0

X=1

X=k

X=n–1

X=n

 

 

 

 

 

 

 

 

P

qn

n p1qn–1

 

Cnk pkqnk

 

n pn–1q1

pn

Значения n и p являются параметрами биномиального распределения. Утверждение, что случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, можно более кратко записать в виде X B(n, p).

Числовые характеристики биномиальной случайной величины можно вычислить двумя способами:

1)по определению с помощью формул (1)-(3);

2)по упрощенным формулам: математическое ожидание биномиального

распределения равно M(X) np,

дисперсия D(X) npq, среднее

квадратическое отклонение (X) npq .

Задача 2. Случайная величина X – число появлений события A в 7 независимых испытаниях. Вероятность появления события A в каждом испытании постоянна и равна 0,67.

1)построить биномиальный закон распределения случайной величины Х;

2)построить многоугольник распределения случайной величины Х;

3)найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

8

отклонение случайной величины Х.

Решение. Дискретная случайная величина Х принимает следующие возможные значения: x1 0, x2 1, x3 2, x4 3,x5 4,x6 5,x7 6,x8 7. Найдем вероятности возможных значений по формуле Бернулли. Учитывая, что по условию,

n 7, p 0,67(следовательно,

q 1 p 1 0,7 0,33), получим:

 

P(X 0) P

(0) C

0

0,670

0,337

0,0004;

 

 

 

 

 

 

7

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(X 1) P (1) C1 0,671 0,336 0,0061;

 

 

 

 

 

 

7

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(X 2) P

(2) C

2

0,672

0,335

0,0369;

 

 

 

 

 

 

7

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(X 3) P

(3) C

3

0,673

0,334

0,1248;

 

 

 

 

 

 

7

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(X 4) P

(4) C

4

0,674

0,333

0,2535;

 

 

 

 

 

 

7

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(X 5) P

(5) C

5

0,675

0,332

0,3088;

 

 

 

 

 

 

7

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(X 6) P7(6) C76

0,676

0,331

0,2090;

 

 

 

 

P(X 7) P

(7) C

7

0,677

0,330

0,0606.

 

 

 

 

 

 

7

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем биномиальный закон распределения случайной величины X:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

0

 

1

 

2

 

3

 

4

5

6

7

 

P(X=k)

0,0004

 

0,0061

 

0,0369

0,1248

 

0,2535

0,3088

0,2090

0,0606

Найдем числовые характеристики биномиальной случайной величины:

математическое ожидание M(X) np 7 0,67 4,69;

дисперсия D(X) npq 7 0,67 0,33 1,55;

среднее квадратическое отклонение (X) npq 7 0,67 0,33 1,24.

Решение в Microsoft Excel.

1.Открыть рабочую книгу Lab 5_ФИО.xls. Переименовать рабочий лист Лист 2 в рабочий лист Задача 2.

2.В ячейку А1 листа Задача 2 ввести Биномиальный закон дискретной случайной величины.

Замечание. Для ввода выражения

P(X k) P

(k) Ck

pk

qn k

 

n

n

 

 

целесообразно использовать редактор математических формул Microsoft Equation или его более мощный коммерческий аналог MathType Equation.

Для запуска редактора формул Microsoft Equation необходимо выполнить команду главного меню: Вставка-Объект... и выбрать тип объекта Microsoft Equation 3.0. Появится окно Формула: панель инструментов с шаблонами и место, зарезервированное под формулу с мигающим курсором (рис. 10):

Рис.10. Панель редактора формул Microsoft Equation

9

3.В ячейки G11:G13 листа Задача 2 ввести число испытаний, числовые значения вероятностей появления и непоявления события А в каждом испытании (рис. 11).

4.В ячейках А17:J18 листа Задача 2 построить таблицу биномиального закона распределения дискретной случайной величины (рис. 11).

Рис.11. Биномиальный закон дискретной случайной величины

Для вычисления вероятностии P(X 0) P7(0) в ячейку В18 листа Задача 2 ввести формулу

=(ФАКТР($G$11)/(ФАКТР(B17)*ФАКТР($G$11-B17)))*($G$12^B17)*($G$13^($G$11-B17))

и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 11);

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]